Методическая разработка по учебной дисциплине ЕН.01 «Математика». - Краткий курс лекций и примеры типового расчёта заданий практической работы по теме «Комплексные числа»

МИНИСТЕРСТВО ЭНЕРГЕТИКИ, ПРОМЫШЛЕННОСТИ И СВЯЗИ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Невинномысский химико-технологический колледж»

                                                                                                              Утверждаю

                                                                                                               Заместитель директора по учебно-

                                                                                                               методической работе

                                                                                                              ________________Каширина И. В.

                                                                                                               «___» _____________20__г.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ

и примеры типового расчёта заданий

практической работы по теме

«Комплексные числа»

по учебной дисциплине ЕН.01 «Математика»

программы подготовки специалистов среднего звена

по специальности СПО

15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)

15.02.01 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)

38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Согласовано Методист ________________К. А. Жмайлова «___»_____________ 20__ г.

Обсуждено на заседании цикловой комиссии «Общеобразовательных дисциплин» «___»_______________20__г. Протокол №___ Председатель цикловой комиссии _______________/Е. М. Шек

Невинномысск, 2020

УДК 511.24 К 45

Рассмотрено на заседании ПЦК  ООД протокол №____ «___»____________2020 г.  УТВЕРЖДЕНО Заместитель директора по учебно-методической работе И.В. Каширина

К 45

МАТЕМАТИКА: методическая разработка Краткий курс лекций и примеры типового расчёта заданий практической работы по теме «Комплексные числа» для обучающихся специальностей СПО 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)» , 15.02.01 «Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)», 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» / сост. Нелли Анатольевна Кихтенко, преподаватель высшей квалификационной категории дисциплин естественнонаучного цикла -  Невинномысск: ГБПОУ НХТК, – 2020.- 22 с.

Методическая разработка «Краткий курс лекций и примеры типового расчёта заданий практической работы по теме «Комплексные числа»» учебной дисциплины ЕН.01 «Математика» предназначается для обучающихся специальностей СПО 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)» , 15.02.01 «Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)», 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)». Пособие содержит краткий лекционный теоретический материал по теме «Комплексные числа» учебной дисциплины для указанных специальностей, примеры типового расчёта заданий практической работы по теме «Комплексные числа».

Методическая разработка составлена на основании Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования

© Кихтенко Н.А., 2020

© ГБПОУ НХТК, 2020

Пояснительная записка

                Методическая разработка «Краткий курс лекций и примеры типового расчёта заданий практической работы по теме «Комплексные числа»» учебной дисциплины ЕН.01 «Математика» предназначается для обучающихся всех форм обучения специальностей СПО 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)» , 15.02.01 «Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)», 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» для усвоения дидактической единицы «Комплексные числа» и выполнения практической работы по теме «Действия над комплексными числами. Переход от одной формы записи комплексного числа к другой».

               В методической разработке в краткой форме изложен курс лекций по теме «Комплексные числа», при этом соблюдён принцип доступности, наглядности, научной точности. Пособие составлено  с выполнением дидактических принципов и методики построения математического учебника. Также в методической разработке приведены примеры решения задач и примеры типового расчёта зданий практической работы по теме «Действия над комплексными числами. Переход от одной формы записи комплексного числа к другой». Решения заданий приведены с подробными комментариями и математическими выкладками.

          В результате усвоения обучающимися дидактической единицы «Комплексные числа» дисциплины ЕН.01 «Математика»

студенты должны знать:

·        основные понятие и определения: алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи комплексного числа;

·        модуль и аргумент комплексного числа;

·        геометрическая интерпретация комплексного числа;

·        правила выполнения действий над комплексными числами в разной форме записи;

студенты должны уметь:

·        находить модуль и аргумент комплексного числа;

·        переводить комплексное число из одной формы записи в другую;

·        выполнять действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической, показательной формах записи.

                 

Содержание

Пояснительная записка .......................................................................................... 3

Понятие о комплексном числе................................................................................ 5

1. Действия над комплексными числами в алгебраической форме ....................... 5

2. Геометрическая интерпретация комплексного числа ........................................ 6

3. Тригонометрическая форма комплексного числа .............................................. 7

4. Переход от алгебраической формы комплексного числа к

   тригонометрической форме записи ..................................................................... 8

5. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме ............... 9

6. Показательная форма комплексного числа ...................................................... 10

7. Действия над комплексными числами в показательной форме записи ........... 11

8. Пример решения задания по выполнению действий над комплексными

    числами в разных формах записи .................................................................... 11

9. Типовой расчёт практической работы по теме «Действия над комплексными числами. Переход от одной формы записи комплексного числа к другой».............. 14

Примечания ......................................................................................................... 20

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов,

      дополнительной литературы......................................................................................21

Понятие о комплексном числе

Комплексные числа введены в алгебру в середине 16 века в связи с решением кубического уравнения. С конца XVII века они применяются и в анализе.

Опр. Мнимой единицей называется число i, квадрат которого равен -1:     (i – начальная буква французского слова imaginare – «мнимый»).

        Тогда .

Введение мнимой единицы позволяет извлекать квадратные корни из отрицательные чисел: .

Опр. Числа вида , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица (символ), называются комплексными. Число a – действительная часть комплексного числа; bi – мнимая часть комплексного числа; b – коэффициент при мнимой части.

Опр. Запись комплексного числа в виде  называется алгебраической формой комплексного числа.

Опр.  Два комплексных числа  и  равны тогда и только, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице:

1.    Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами (с последующей заменой ).

Пример:

Даны комплексные числа Найти: а) ;     б) ;      в) Решение:

а)

б)

в)

.

Опр.	Два комплексных числа  и  называются сопряжёнными комплексными числами, если они отличаются друг от друга только знаком перед мнимой частью.
Правило:		Чтобы выполнить деление комплексных чисел, можно числитель и знаменатель дроби одновременно умножить на число, сопряжённое знаменателю дроби.
Пример:		Выполнить деление комплексных чисел в алгебраической форме а)  б) Решение: а) ; б) .

2.    Геометрическая интерпретация комплексного числа

Изобразим комплексное число  на плоскости. Для этого выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью.

Каждой точке плоскости с координатами  соответствует один и только один вектор с началом  и концом . Поэтому комплексное число  можно изобразить в виде вектора  с началом  и концом в точке .

3.    Тригонометрическая форма комплексного числа

Опр.	Модулем комплексного числа  называется длина вектора , изображающего это комплексное число. Обозначается модуль комплексного числа  или r. Применив теорему Пифагора, определим, что .
Опр.	Аргументом комплексного числа называется угол , который образует вектор  с положительным направлением оси абсцисс.

         Угол считается положительным, если поворот от оси  к  совершается против часовой стрелки, и отрицательным, если поворот от оси  к  совершается по часовой стрелке.

         Обозначается аргумент комплексного числа: .

.

Примечание: в отличие от модуля, аргумент комплексного числа определяется не однозначно. Каждое комплексное число имеет бесконечно много аргументов, отличающихся на слагаемое, кратное .

         На практике удобнее решать не саму эту систему уравнений, а уравнение, которое следует из неё:

         .

         Действительно, .

         Это уравнение не равносильно системе уравнений. Но если корни уравнения найдены, то выбрать из них те, которые удовлетворяют системе, несложно. Для этого нужно определить, в каком квадранте координатной плоскости находится угол j, т.е. вектор .

         Из соотношений  и  следует:

         .

         Если в алгебраическую форму записи комплексного числа  подставить вместо a и b эти выражения, то получим:

        

Опр.	Форма записи комплексного числа  называется тригонометрической формой комплексного числа.

4.    Переход от алгебраической формы комплексного числа к

тригонометрической форме записи

1.     Найти модуль комплексного числа: .

2.           Для нахождения аргумента j комплексного числа определяют геометрически, в какой четверти находится вектор . Составляют уравнение .

Решение его имеет вид:  где .

Тогда в зависимости от четверти, в которой находится вектор , угол j принимает значения:

3.           Записывают комплексное число z  в тригонометрической форме.

Пример:

Записать число  в тригонометрической форме. Решение:

1.     Здесь . Найдём модуль комплексного числа ;

2.     Изобразим вектор  геометрически.

Мы видим, что числу z соответствует точка , лежащая во II четверти, и вектор .

Для нахождения аргумента j составим уравнение

 

,

отсюда ;

.

3.     Записываем число в тригонометрической форме  

.

Ответ: .

5.    Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

1. При умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:

2.     При делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются:

3.     Для возведения комплексного числа  в степень n используют формулу Муавра:

.

При возведении в степень комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, модуль числа нужно возвести в степень n, а аргумент умножить на число n:

     .

4.     Корнем n-й степени из комплексного числа z (где n – натуральное число) называется такое комплексное число w, для которого справедливо равенство wⁿ = z. Итак, .

Корень n-й степени из комплексного числа  имеет ровно n значений, которые находятся по формуле:

где k может принимать n значений: 0; 1; 2; …; n – 1.

6.    Показательная форма комплексного числа

Формула Эйлера:          ,

где  – иррациональное число;

- число Непера.

Любое комплексное число  можно представить в виде . Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

Итак, существуют три формы записи комплексного числа:

	– алгебраическая форма;
	– тригонометрическая форма;
	– показательная форма.

7.    Действия над комплексными числами в показательной форме записи

Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производятся по правилам действия со степенями:

1.    

2.    

3.    

4.     , где .

8.                Пример решения задания по выполнению действий над комплексными числами в разных формах записи

Задание:

Даны комплексные числа  и . Построить  и  в комплексной плоскости. а) Найти в алгебраической форме . б) Записать числа  и  в тригонометрической форме и выполнить действия: .

Решение:

Изобразим комплексные числа на комплексной плоскости:

         Число  является чисто действительным числом (его мнимая часть равна нулю), оно изобразится вектором , лежащем на действительной оси (т.е. оси Ox).

         Число  изобразится вектором , находящемся в III четверти.

а) Выполним действия в алгебраической форме записи:

1.

2.

3.

4.

б) Запишем числа  и  в тригонометрической форме:

 (т.к.  лежит на положительной части оси Ox).

Значит, .

 определяем

 

отсюда   (т.к. III четверть).

Значит, .

Теперь выполним действия над числами  и  в тригонометрической форме:

1.

2.

3.

здесь учли, что аргументов у комплексного числа бесконечно много, но все они отличаются друг от друга на слагаемое, кратное , поэтому вместо аргумента  можно выбрать аргумент .

4.  где .

Найдём . Имеется три различных корня 3-й степени из комплексного числа , все они содержатся в формуле:

 при .

 

учтём, что .

Найдём эти три корня:

при k = 0:

;

при k = 1:

;

при k = 2:

.

9. Типовой расчёт практической работы по теме «Действия над комплексными числами. Переход от одной формы записи комплексного числа к другой»

Задание 1. Выполнить действия в алгебраической форме записи:

а)     б)            в) .

Решение:

а)

б)

в) .

Ответ: а)                 б)            в) .

Задание 2. Записать комплексные числа в тригонометрической форме и выполнить действия: а) ; б) ; в) , если

                   

Решение:

               

      

    

(т.к. IV четверть).

   

Значит, .

            .

(т.к. IV четверть);                 .

Значит, .

а)

б)

в)

Ответ: а)  б) ; в) .

Задание 3. Записать комплексные числа в показательной форме и выполнить действия: ;         .

Найти: а) ;  б) ; в) .

Решение

Запишем числа в показательной форме:

;          ;      

Модуль комплексного числа: ;

;

Аргумент комплексного числа: ;

III четверть: ;  .

Значит, в показательной форме  число .

Переведём в показательную форму число

Модуль комплексного числа: ;

Аргумент комплексного числа: ;

III четверть:   .

Значит, .

Выполним действия над комплексными числами в показательной форме:

а) ;

, 

т.к. ;

б) ;

;

в)

,         т.к. .

Ответ:            

           а) ;              б) ;          в) .

Задание 4. Выполнить действия в показательной форме и ответ записать в алгебраической форме: , где ; ;

Решение

       Переведём эти числа из алгебраической формы в показательную:

1) , действительная часть , мнимая часть ;

модуль комплексного числа ;

; т.к. I четверть, то  - аргумент;

Значит, в показательной форме число имеет вид .

2)  , действительная часть , мнимая часть

модуль ;

;

     т.к. II четверть, то аргумент найдём по формуле

      ;

Значит, в показательной форме число  имеет вид .

3) , действительная часть , мнимая часть

;

; т.к. III четверть, то ;

Значит, в показательной форме число  имеет вид  .

Тогда в показательной форме выполним действия:

,  т.к. .

Чтобы перевести число z в алгебраическую форму, запишем его сначала в тригонометрической форме:

.

Вычислим ;     .

Подставим эти значения в тригонометрическую форму комплексного числа, выполним умножение, тогда получим алгебраическую форму записи комплексного числа:

.

Ответ: .

Примечания

Примечание 1. При выполнении практической работы необходимо помнить:

; ; ; ;

Примечание 2. Для чисто мнимых и чисто действительных комплексных чисел аргумент определяется уже при построении вектора .

Например,

1)

         2) , ;

       3) , ; 4) ,   ;

Примечание 3. При переводе комплексного числа из тригонометрической формы в алгебраическую необходимо помнить значения тригонометрических функций в табличных углах

ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСОВ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Основные источники:

1.     Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс]: учебное пособие для СПО/ Алпатов А.В.— Электрон. текстовые данные.— Саратов: Профобразование, Ай Пи Эр Медиа, 2019.— 162 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/80328.html.— ЭБС «IPRbooks»

2.     Башмаков М. И. Математика: учебник. - М.: Академия, 2018.

Дополнительные источники:

1.     Башмаков М. И. Математика: учебник.- М.: Академия, 2015.

3.     Григорьев В. П. Математика: учебник. - М.: Академия, 2016.

4.     Григорьев В. П. Математика: учебник. - М.: Академия, 2015.

5.     Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для СПО. - М.: Профобразование, 2017.

6.     Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для всех специальностей. — М. : Российский государственный университет правосудия, 2015

Интернет-ресурсы:

1.   КноРус - Электронно-библиотечная система. Режим доступа: BOOK.RU

       Электронный каталог Библиотеки МосГУ. Режим доступа: http://elib.mosgu.ru

       IPRbooks - Электронно-библиотечная система. Режим доступа: KNIGAFUND.RU

2.   Сайт для помощи студентам, желающим самостоятельно изучать и сдавать экзамены по высшей математике, и помощи преподавателям в подборке материалов к занятиям и контрольным работам. Режим доступа: http://mathportal.net/

3.   Файловый архив студентов. Режим доступа: https://studfiles.net/

4.   Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач. Режим доступа: http://matematika.electrichelp.ru/matricy-i-opredeliteli/

5.   Материалы по математике для самостоятельной подготовки. Режим доступа: http://www.mathprofi.ru/

6.   Изучение математики онлайн. Режим доступа: https://ru.onlinemschool.com/math/library/

7.   Банк рефератов. Режим доступа: https://www.bestreferat.ru/

8.   Доступная математика. Режим доступа: http://www.cleverstudents.ru/

9.   Собрание учебных онлайн калькуляторов, теории и примеров решения задач. Режим доступа: http://ru.solverbook.com/

Краткое описание документа:

Методическая разработка «Краткий курс лекций и примеры типового расчёта заданий практической работы по теме «Комплексные числа»» учебной дисциплины ЕН.01 «Математика» предназначается для обучающихся специальностей СПО 15.02.07 «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)» , 15.02.01 «Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)», 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)».

Пособие содержит краткий лекционный теоретический материал по теме «Комплексные числа» учебной дисциплины ЕН.01«Математика» для указанных специальностей, примеры типового расчёта заданий практической работы по теме «Комплексные числа». Дан список рекомендуемых литературных и других источников.