Методическая разработка ,,Система подготовки к ЕГЭ по математике,,

Система подготовки к ЕГЭ по математике

Учитель математики МОУ СОШ 15 г.Борзя 

Тюкавкина Елена Анатольевна

      Существует множество вариантов подготовки учеников к итоговой аттестации. Но, идеального варианта подготовки не существует. Хочу поделиться опытом своей работы по подготовке обучающихся 11 класса к сдаче итоговой аттестации.

При подготовке обучающихся к ЕГЭ выделяю следующие направления деятельности:

1) Методическая подготовка учителя к ЕГЭ.                                                                       2) Создание банка заданий.                                                                                                       3) Организация вводного, текущего и итогового повторения.                                           4) Диагностика и анализ качества знаний обучающихся при подготовке к ЕГЭ:                                                                                                                                           5) Организация самостоятельной работы обучающихся при подготовке к ЕГЭ.                                                                                                                            6) Психологическая подготовка обучающихся к ЕГЭ.   

     Подробнее остановлюсь на методической подготовке.         

Основные цели и задачи, стоящие перед учителем:

1.  Повторить отдельные темы или весь курс математики 5-9 класса и пройти, с учениками  курс математики 10-11 класса.

Задача учителя – не «натаскать» учеников перед экзаменом, а передать ученику полное и целостное понимание всего курса школьной математики. Не показать разрозненные приемы решения отдельных задач, а научить решать творчески и при этом математически грамотно любую экзаменационную задачу.

2. При работе с учеником учителю необходимо выявить пробелы, возникшие при изучении тех или иных тем, и проработать эти темы наиболее тщательно.

К сожалению, старшеклассники практически всегда имеют такие пробелы.

3. Одна из задач учителя - дать навыки решения простых задач ЕГЭ быстро и без калькулятора.

Как показывает статистика, большая часть ошибок на экзамене связана с арифметическими вычислениями. Именно из-за ошибок в вычислениях выпускник часто теряет баллы и получает результат ниже, чем рассчитывал. Связано это с тем, что на уроках в школе и тем более при выполнении домашних заданий многие ученики привыкают пользоваться калькулятором.

4. Следующая задача учителя - научить выпускника рассчитывать время на экзамене.

Профильный ЕГЭ по математике – это и относительно простые задачи части 1, которые можно считать выпускным экзаменом за курс средней школы, и задачи части 2, более сложные, требующие подробного ответа и выполняющие роль вступительного экзамена в вуз. На все эти задачи дается 3 часа 55 минут. Это значит, что у ученика нет времени искать методом проб и ошибок решение задачи на экзамене. Ему необходимо заранее знать все алгоритмы и нюансы решения каждой задачи, уметь доводить решение до результата, не бросая на полпути, уметь оценивать и проверять результат, а также следить за временем, зная, сколько минут можно потратить на решение тех или иных задач.

5.  Одна из важнейших задач учителя - дать будущему студенту базу для дальнейшего освоения высшей математики и других связанных с математикой дисциплин при учебе в вузе.

Чем более качественной была подготовка выпускника школы к ЕГЭ, тем проще студенту, будут даваться математические дисциплины в вузе.

Основные принципы работы по подготовке к ЕГЭ.

- Любую тему школьной математики нужно объяснить просто и понятно, сохраняя при этом необходимую математическую строгость изложения.

- Изучение каждой темы начинается с основных понятий, определений, связи этих понятий с уже пройденными темами. Любой новый термин, который вводится в курсе, объясняется через уже известные ученику.

- Курс математики изучается как целостная система. При этом учитель знает, какое место займет данная тема в общей математической картине учащегося, когда она понадобится в будущем и как связана с темами, которые еще предстоит пройти.

- Каждая тема занимает свое определенное место. Такой порядок тем обусловлен необходимостью построить систему знаний, прежде всего понятную для ученика, где каждый новый «уровень знаний» логически опирается на предыдущие.

- Основа мотивации учащихся – небольшие ежедневные успехи в освоении математики. Необходимо чтобы независимо от предыдущего уровня подготовки, ученик видел результаты занятий с первых же пройденных тем. Тогда его мотивация становится выше, самооценка растет, и за счет этого он выходит на более высокий уровень.

- Один из основных принципов– понимание вместо зубрежки. Математические понятия вводятся на понятном уровне, причем не изолированно, а как элементы системы, связанные и с пройденным ранее материалом, и с тем, который будет в дальнейшем.

- Освоение каждой темы предполагает решение довольно большого количества практических задач по данной теме. Часть из этих задач разбирается на уроках и дополнительных занятиях, часть задается на дом или изучается самостоятельно, с помощью ЦОР.

                  Подготовка к ЕГЭ  разделена на несколько блоков.

Первый блок

курса подготовки к ЕГЭ – арифметика  и алгебра. Курс начинается с тем «Текстовые задачи» и «Задачи на проценты». Это материал 5-8 класса, который чаще всего к 11 классу оказывается многими учениками уже забытым.

Текстовые задачи.

1.Задачи на проценты на ЕГЭ по математике.

2. Текстовые задачи на работу.

3. Задачи на смеси, сплавы, растворы.

4. Задачи на движение.

5. Задачи с физическим содержанием.

6. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

7. Задачи с экономическим содержанием (подготовительные занятия)

Цели такого подхода следующие:

-  Повторить основные темы алгебры: арифметические действия, порядок действий, десятичные и обыкновенные дроби и действия с ними, решение квадратных и дробно-рациональных уравнений.

- Повторить и улучшить основные математические навыки учащихся.

- Вспомнить навыки составления и решение уравнений. Построение математических моделей.

- Освоить навыки быстрого счета и проверки ответа. На ЕГЭ пользоваться калькулятором не разрешается, поэтому выпускнику надо уметь считать быстро без калькулятора.

Второй блок

Геометрия и стереометрия на ЕГЭ по математике, часть 1.

1. Планиметрия, основные формулы. Вычисление площадей фигур, формулы площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции.

2. Тригонометрия на ЕГЭ по математике. Определения синуса, косинуса, тангенса угла в прямоугольном треугольнике.

3. Внешний угол треугольника – как найти его синус, косинус и тангенс. Понятие смежных углов. Высота в прямоугольном треугольнике.

4. Определения медианы, биссектрисы, высоты. Простые геометрические построения. Сумма углов треугольника.

5. Векторы на плоскости.

6.  Стереометрия. Формулы объема и площади поверхности многогранников и тел вращения.

Планиметрия и тем более стереометрия – темы, по которым даже школьные хорошисты в начале курса подготовки к ЕГЭ показывают плохие результаты.

Геометрии и стереометрии в школьной программе по математике уделяется значительно меньше внимания, чем алгебре.

Изучение планиметрии в школьной математике в 7 классе начинается с аксиом и доказательства очевидных для ученика утверждений. Как правило, ученик уже на этом этапе перестает что-либо понимать. В 10 классе, опять с непонятных аксиом, начинается стереометрия.

В курсе подготовки к ЕГЭ изучение геометрии начинаю с темы Площади фигур. Формулы для площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции иллюстрируются простыми и наглядными примерами.

Рекомендую ученикам на начальном этапе пользоваться справочным материалом, содержащим изображения, определения, формулы, основные свойства геометрических фигур.

На этом этапе вводятся также понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, основные формулы тригонометрии в прямоугольном треугольнике, формулы для тригонометрических функций смежных углов.

Подбор задач осуществляется по уровню сложности, для того чтобы результатом каждого занятия становился рост понимания и уверенности учащегося.

Аналогичным образом происходит изучение стереометрии.

Изучение стереометрии начинается со знакомства с основными типами многогранников и тел вращения, понятия объема и площади поверхности, формулы для вычисления объемов и площадей поверхности.

На этом этапе используются для наглядности объемные модели многогранников и тел вращения. То, что можно подержать в руках, повернуть и рассмотреть с разных сторон, оказывается для начинающего более понятным и применимым, чем оперирующие отвлеченными понятиями аксиомы.   Обучающиеся выполняют практическую работу по изготовлению моделей многогранников, что невозможно без развертки многогранника. А это в свою очередь помогает сформировать понятие площади поверхности многогранника.

Третий блок

Алгебра

1. Корни и степени.

2. Понятие функции. Исследование графика функции. Понятия возрастания и убывания функции, нулей функции, промежутков знакопостоянства, точек максимума и минимума функции, четности и нечетности функции.

3. Квадратичная функция и квадратичные неравенства.

4. Дробно-рациональная функция и метод интервалов. Решение дробно-рациональных неравенств.

5. Модуль числа. Уравнения и неравенства с модулем.

6. Показательная функция. Показательные уравнения (часть 1 + задачи из классических сборников).

7. Логарифмы. Преобразования логарифмических выражений. Логарифмические уравнения (часть 1 + задачи из классических сборников).

8. Логарифмическая функция. Понятие обратной функции.

9. Задачи с физическим содержанием по пройденным темам.

Этот блок посвящен понятию функции в математике – ключевому в курсе алгебры 10-11 класса.

В школьной программе тема «Функции» начинает изучаться  в 7 классе, причем семиклассники чаще всего воспринимают эту тему поверхностно, не понимая, зачем она нужна. Далее, при изучении других типов функций, в школе самому определению функции уже не уделяется достаточного внимания, поскольку формально его «прошли» в 7 классе. В итоге абитуриент, закончив общеобразовательную школу и став студентом, обычно не готов к изучению математического анализа и тоже заучивает его формально, чтобы только сдать сессию.

Темы этого блока содержат максимальное, по сравнению с другими, количество строгих определений и математических формулировок, без знания которых ученик не может понять последующий материал. Это, например, определения модуля, арифметического квадратного корня, логарифма, точек максимума и минимума функции.

И закреплением темы являются задачи с физическим содержанием, теперь уже включающие в себя показательные, логарифмические и степенные зависимости одной величины от другой.

Четвертый блок

Тригонометрия на ЕГЭ по математике.

1. Определения синуса, косинуса, тангенса для произвольного угла.

2. Тригонометрический круг. Тригонометрические функции.

3. Формулы тригонометрии.

4. Тригонометрические преобразования. Простейшие тригонометрические уравнения.

5. Обратные тригонометрические функции и их графики.

6. Тригонометрические уравнения (часть 2).

Тема «Тригонометрия» базируется на знаниях, полученных  во втором блоке и начинается с повторения понятий тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике. Для введения определений тригонометрических функций произвольного угла используется тригонометрическая окружность.

С помощью тригонометрической окружности объясняются понятия и правила, которые в школьной программе ученику часто приходится бессмысленно зубрить . Эта удобная иллюстрация заменяет десяток таблиц.

Особая тема – решение простейших тригонометрических уравнений и обратные тригонометрические функции. Решения простейших тригонометрических уравнений также идут с опорой на окружность. Формулы не заучиваются, а выводятся из простых соображений и определений. Тема «Обратные тригонометрические функции» является логическим продолжением темы «Обратная функция», пройденной в блоке 3 (Алгебра).

 Пятый блок

Производная функции. Геометрический смысл производной.

1. Производная функции. Исследование функции с помощью производной.

2. Первообразная функции.

Тема «Производная функции» закономерно изучается после того, как учащемуся уже знакомы тригонометрические функции. Точнее, к этому моменту учащийся уже знаком со всеми типами элементарных функций: степенными, показательными, логарифмическими, тригонометрическими и обратными тригонометрическими, знает особенности их графиков, а также знаком с основными характеристиками поведения функции, такими, как возрастание и убывание функции, точка минимума и точка максимума, наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Также к этому моменту ученик владеет методом интервалов и знает, как находить промежутки закон постоянства дробно-рациональной функции.

Понятие производной функции даю на основе геометрического смысла производной – как тангенс угла наклона касательной или угловой коэффициент касательной. Понятие предела функции при этом не вводится, поскольку эта непростая тема требует более высокого, чем у среднего старшеклассника, уровня математической подготовки. Особое внимание уделяется связи поведения функции с поведением производной.

Шестой блок

Стереометрия на ЕГЭ по математике.

1.Классический метод решения задач по стереометрии.

2.Векторы в пространстве. Векторно-координатный метод.

Работа начинается с подготовительной темы – методы построения сечений объемных тел и развитие пространственного мышления учащихся. При этом важно не просто нарисовать сечение, а описать его построение и положение вершин сечения относительно исходного объемного тела.

Особое внимание уделяется грамотному и математически корректному оформлению решения, строгому доказательству каждого утверждения, построению дополнительных чертежей вычленению из стереометрической задачи планиметрических.

Векторно-координатный способ дается в объеме школьной программы, причем особое значение также имеет грамотное и математически корректное оформлению решения.

Учащиеся получают рекомендации по применению каждого из методов в тех или иных задачах.

 Седьмой блок

Неравенства на ЕГЭ по математике.

1. Неравенства на ЕГЭ по математике.

2. Показательные и логарифмические неравенства. (часть 2).

3. Метод рационализации (замены множителя). Метод оценки.

Тема «Неравенства отличается обманчивой легкостью и рекордным количеством ошибок.

В этом блоке рассматриваются приемы решения неравенств различных типов: иррациональных неравенств, неравенств с модулем, логарифмических и показательных неравенств. Особое внимание уделяется разбору типичных ошибок и отработке навыков правильного решения и оформления.

Восьмой блок

Задачи с экономическим содержанием на ЕГЭ по математике.

1. Задачи с экономическим содержанием на ЕГЭ по математике.

2. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

3. Формулы для решения задач с экономическим содержанием.

В этом блоке рассматриваются способы решения таких задач, а также готовые формулы и приемы. Методические материалы по этой теме, как и по другим, постоянно дорабатываются, чтобы находиться в соответствии с последними тенденциями ЕГЭ по математике.

Девятый блок

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике.

1. Элементарные функции и их графики.

2. Преобразования графиков функций.

3. Множества точек на плоскости. Окружность, круг, полуокружность, ромбик, сумма модулей, полуплоскость, полоса, отрезок.

4. Тренировочные задачи с параметрами.

5. Квадратичные уравнения и неравенства с параметрами.

6. Графический метод решения задач с параметрами.

7. Метод симметрии, параметр как переменная и другие методы.

Эта задача – из тех, о которых не пишут в школьных учебниках.

Необходимая подготовительная работа в изучении данной темы – это типы элементарных функций и их графики (5 типов), преобразования графиков функций (сдвиги, растяжения-сжатия, инверсии по горизонтали и вертикали), построение графиков сложных функций.

От привычных функций одной переменной и их графиков происходит плавный переход к неявным функциям, задающих множества точек на плоскости. Учащийся знакомится с такими базовыми схемами решения задач с параметрами, как окружность, круг, полуокружность, ромбик, сумма модулей, полуплоскость, полоса, отрезок, и с уравнениями, задающими эти объекты на плоскости.

Десятый блок

Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике.

1. Делимость. Признаки делимости. Деление с остатком.

2. Метод «Оценка плюс пример».

3. Реальные нестандартные задачи на ЕГЭ по математике.

Задача 19, последняя в вариантах ЕГЭ по математике, считается самой необычной. В учебниках для 10-11 класса нет даже намеков на существование таких задач.

Теоретической основной решения задачи являются признаки делимости, приемы записи для деления с остатком, знание об арифметической и геометрической прогрессиях, в том числе целочисленных, основная теорема алгебры (о каноническом разложении натурального числа на множители). 

Среди методов одним из основных является «Оценка плюс пример». Сложность задачи еще и в том, что эта задача подразумевает умение выражать свои мысли точным математическим языком, требует определенной математической культуры.

 Повторение всех тем и решение вариантов ЕГЭ.

Пробные ЕГЭ для учащихся проводятся 1 раз в месяц, причем задачи, не пройденные к данному моменту, не обязательны для решения. На заключительном этапе подготовки обязательны все задачи.

Заключительная часть подготовки к ЕГЭ нацелена на тренировку решения варианта ЕГЭ без ошибок и в точно отведенное время.