Методическая разработка "Теория вероятностей. Задачи на «Стрельбу»".

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №1

имени генерал-лейтенанта Б. П. Юркова

г. Зверева Ростовской области

Теория вероятностей.

        Задачи на «Стрельбу».

Работа   учителя математики

Куца Фёдора Ивановича

г. Зверево

2015г.

№ 1. Стрелок  стреляет  по  мишени  один  раз.  В  случае  промаха  стрелок  делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна  0,8.  Найдите  вероятность  того,  что  мишень  будет  поражена  (либо  первым  либо вторым выстрелом).

Решение. Первый способ.

 Пусть A - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на стрел­ком с пер­во­го вы­стре­ла, B - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на со вто­ро­го вы­стре­ла. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия A равна P(A) = P₁(A) = 0,8. Со­бы­тие B на­сту­па­ет, если, стре­ляя пер­вый раз, стре­лок про­мах­нул­ся P₁() =1 – 0,8 = 0,2, а, стре­ляя вто­рой раз, попал P₂(A) = 0,8. Это не­за­ви­си­мые со­бы­тия, их ве­ро­ят­ность равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(B) = P₁() ∙ P₂(A) = 0,2·0,8 = 0,16. Со­бы­тия A и B не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P (A + B) = P(A) + P(B) = 0,8 + 0,16 = 0,96.

Ответ: 0,96.

Второй способ. Пусть A - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на стрел­ком при одном выстреле, B - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на (либо  первым  либо вторым выстрелом).

Так как вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,8, то есть P(A) = 0,8, то ве­ро­ят­ность того, что, стре­ляя пер­вый раз, стре­лок про­мах­нул­ся, равна P₁() = 1 - 0,8 =  0,2. Ве­ро­ят­ность того, что, стре­ляя второй  раз, стре­лок про­мах­нул­ся, равна P₂() = 1 - 0,8 =  0,2. Ве­ро­ят­ность того, что, стре­лок про­мах­нул­ся оба раза,  равна P₁() ∙ P₂() = 0,2∙0,2 = 0,04. Ве­ро­ят­ность противоположного события (хотя бы один раз не промахнется) равна P(B)= 1 – 0,04 = 0,96.

Ответ: 0,96.

№ 2. Стрелок  4  раза  стреляет  по  мишеням. Вероятность  попадания  в  мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первый раз попал

 в мишень, а последние 3 раза промахнулся.

Решение. Пусть A - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на стрел­ком при одном выстреле, B - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на.

Так как вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7, то вероятность попадания при первом выстреле равна P₁(A) = 0,7, тогда ве­ро­ят­ность того, что, стре­ляя второй раз, стре­лок про­мах­нул­ся, равна P₂() = 1 - 0,7 =  0,3. Ве­ро­ят­ность того, что, стре­ляя третий  раз, стре­лок про­мах­нул­ся, равна P₃() = 1 - 0,8 =  0,2. Ве­ро­ят­ность того, что, стре­ляя четвертый раз, стре­лок про­мах­нул­ся, равна P₃() = 1 - 0,8 =  0,2. Все события независимы. Ве­ро­ят­ность того, что стрелок первый раз попал в мишень, а последние 

3 раза промахнулся. P(B)= P₁(A)∙ P₂()∙ P₃()∙ P₄() = 0,7∙0,3∙0,3∙0.3 = 0,0189

Ответ: 0,0189.

№ 3. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7 , а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Решение. Пусть A₁ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на первым стрелком, A₂ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на вторым стрелком. С - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что в ми­шень попал только один из стрелков, то есть (первый попадет и второй промажет) либо (первый промажет и второй попадет).

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р (А₁)=0,7, вероятность его промаха
р ()=1-р(А₁)=1- 0,7 = 0,3.

 Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р (А₂)=0,8, вероятность его промаха
 р ()=1-р(А₂)=1 - 0,8 = 0,2.
р (С) = р(А₁)∙р () + р(А₂)∙р () = 0,7∙0,2 + 0,8∙0,3 = 0,38

Ответ.0,38.

№ 4. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.

Решение.

 Пусть A₁ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на первым стрелком, A₂ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на вторым стрелком. A₃ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на третьим стрелком. С - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что в ми­шень попали только двое из трех из стрелков,

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р (А₁)=0,8, вероятность его промаха
р ()=1-р(А₁)=1- 0,8 = 0,2.

 Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р (А₂)=0,7, вероятность его промаха
 р ()=1-р(А₂)=1 – 0,7 = 0,3.

Вероятность попадания в мишень третьим стрелком р (А₃)=0,6, вероятность его промаха
 р ()=1-р(А₂)=1 – 0,6 = 0,4.

Чтобы вычислить вероятность (двое из трех попали), надо вычислить вероятности, когда:
1. Промахнулся только первый стрелок, а второй и третий попали.
2. Промахнулся только второй стрелок,  а первый и третий попали.
3. Промахнулся только третий стрелок, а первый и второй попали.
Вероятность того, что промахнулся только первый стрелок, а второй и третий попали: P₁ = р ()∙ р (А₂)∙ р (А₃)=  0,2∙0,7∙0,6 = 0,084.
Вероятность того, что промахнулся только второй стрелок, а первый и третий попали P₂ = р (А₁) ∙ р () р (А₃)= 0,8∙0,3∙0,6 = 0,144.
Вероятность того, что промахнулся только третий стрелок, а первый и второй попали P₃ = р (А₁) ∙ р (А₂) ∙ р () = 0,8∙0,7∙0,4 = 0,224.
Отсюда вероятность (2 из 3 попали) р (С) = P₁+ P₂+ P₃ = 0,084+0,144+0,224 = 0,452
Ответ: 0,452

№5. Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при  одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал  в мишени, а последний раз промахнулся.

Решение. Пусть A - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на стрел­ком при одном выстреле, B - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на.

Так как вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,8, то вероятность попадания при первом выстреле равна P₁(A) = 0,8, вероятность попадания при втором выстреле равна P₂(A) = 0,8, ве­ро­ят­ность того, что, стре­ляя третий раз, стре­лок про­мах­нул­ся, равна P₃() = 1 - 0,8 =  0,2.

Все события независимы. Ве­ро­ят­ность того, что стрелок первые 2 раза попал  в мишени, а последний раз промахнулся.

P(B)= P₁(A)∙ P₂(А)∙ P₃() = 0,8∙0,8∙0,2 = 0,128

Ответ: 0,128

№ 6. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,8. Какова вероятность, что он попал в мишень 4 раза и один промахнулся? 

Решение.

Промахнуться он мог первым, вторым, ..пятым выстрелом.
ХОООО; ОХООО; ООХОО; ОООХО; ООООХ.
Вероятность каждого исхода равна 0,8⁴ ∙ 0,2 .
Суммируем вероятности: p = 5∙(0,8⁴ ∙ 0,2) = 0,8⁴ = 0,4096.
Ответ.0,4096.

№ 7.  Три стрелка стреляют в цель. Вероятность попадания в цель для первого, второго и третьего стрелка соответственно равна 0,6; 0,7 и 0,75; Определить вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение.

 Пусть A₁ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на первым стрелком, A₂ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на вторым стрелком. A₃ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на третьим стрелком. С - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что в ми­шень попали хотя бы один раз.

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р (А₁)=0,6, вероятность его промаха
р ()=1-р(А₁)=1- 0,6 = 0,4.

 Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р (А₂)=0,7, вероятность его промаха
 р ()=1-р(А₂)=1 – 0,7 = 0,3.

Вероятность попадания в мишень третьим стрелком р (А₃)=0,75, вероятность его промаха
 р ()=1-р(А₂)=1 – 0,75= 0,25.

Посчитаем вероятность события: никто не попал (то есть  все промазали):

Р= р ()∙ р ()∙ р ()= 0,4∙0,3∙0,25= 0,03.
Вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу р (С) = 1 – Р = 1 – 0,03 = 0,97.

Ответ .0,97.

№ 8. Три стрелка один за другим стреляют в цель. Вероятность попадания первого - 0,8. Второго - 0,75. Третьего 0,7.
Какова вероятность того, что попадут все три стрелка?

Решение.

 Пусть A₁ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что цель по­ра­же­на первым стрелком, A₂ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что цель по­ра­же­на вторым стрелком. A₃ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что цель по­ра­же­на третьим стрелком. С - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что в цель попали все три стрелка.

Вероятность попадания в мишень первым стрелком р (А₁)=0,8. Вероятность попадания в мишень вторым стрелком р (А₂)=0,75. Вероятность попадания в мишень третьим стрелком р (А₃)=0,7.

Вероятность того, что в цель попали все три стрелка:

р (С) = р (А₁)∙ р (А₁)∙ р (А₁)=0,8∙0,75∙0,7= 0,42

Ответ. 0,42.

 № 9. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет

 из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов,  из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение.1 способ.

 Пусть A₁ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой берет пристрелянный револьвер, A₂ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой берет не пристрелянный револьвер. В₁- со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой попадает в муху из пристрелянного револьвера. В₂- со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой попадает в муху из не пристрелянного револьвера. С - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что Джон  не промахнётся.

Вероятность того, что ковбой схватит пристрелянный револьвер р (А₁) = 0,4. Вероятность того, что ковбой попадает в муху из пристрелянного револьвера р (В₁) = 0,9. Вероятность того, что попадется пристрелянный револьвер и Джон попадет, равна Р₁= р (А₁)∙ р (В₁)  = 0,4∙0,9 = 0,36.

Вероятность того, что ковбой схватит не  пристрелянный револьвер р (А₂) = 0,6. Вероятность того, что ковбой попадает в муху из не пристрелянного револьвера р (В₂) = 0,2. Вероятность того, что попадется не пристрелянный револьвер и Джон попадет, равна Р₁= р (А₂)∙ р (В₂) = 0,6∙0,2 = 0,12.

Вероятность того, что Джон  не промахнётся р(С) = Р₁ + Р₂ = 0,36 +0,12 = 0,48.

Вероятность противоположного события Джон  промахнётся р()= 1 - р(С) = 1 - 0,48 = 0.52.

Ответ. 0,52.

2 способ.

 Пусть A₁ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой берет пристрелянный револьвер. A₂ - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой берет не пристрелянный револьвер. В₁- со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой попадает в муху из пристрелянного револьвера. В₂- со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой попадает в муху из не пристрелянного револьвера. - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой промахнется из пристрелянного револьвера. - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ковбой промахнется из не пристрелянного револьвера. С - со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что Джон   промахнётся.

 Вероятность того, что ковбой схватит пристрелянный револьвер р (А₁) = 0,4. Вероятность того, что ковбой попадает в муху из пристрелянного револьвера р (В₁) = 0,9, вероятность промаха Р() =  1 - р (В₁) = 1 - 0,9 = 0,1.Вероятность того, что попадется пристрелянный револьвер и Джон промахнется, равна Р₁= р (А₁)∙ р () = 0,4∙0,1 = 0,04.

Вероятность того, что ковбой схватит не  пристрелянный револьвер р (А₂) = 0,6. Вероятность того, что ковбой попадает в муху из не пристрелянного револьвера р (В₂) = 0,2, вероятность промаха Р() =  1 - р (В₁) = 1 - 0,2 = 0,8.Вероятность того, что попадется не пристрелянный револьвер и Джон промахнется, равна Р₂= р (А₂) ∙ р () = 0,6∙0,8= 0,48.

 Вероятность того, что Джон  промахнётся р(С) = Р₁ + Р₂ = 0,04 +0,48 = 0,52.

Ответ. 0,52.

№10. При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98?

Решение. Переформулируем вопрос задачи:

Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность промаха была бы меньше 1 -0,98 = 0,02?

При первом  выстреле вероятность промаха  1- 0,4 = 0,6.

При каждом последующем выстреле вероятность промаха 1 - 0,6 = 0,4.

При двух выстрелах вероятность промаха  0,6∙0,4 = 0,24  (первый выстрел – промах и второй выстрел – промах).

При трех выстрелах вероятность промаха

0,6∙0,4∙0,4 = 0,096

При четырех выстрелах вероятность промаха

0,6∙0,4∙0,4 ∙0,4= 0,0384

При пяти выстрелах вероятность промаха

0,6∙0,4∙0,4 ∙0,4∙0,4 = 0,01536

Замечаем, что  0,015360,2

Итак, пяти выстрелов достаточно, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98.

Ответ: 5.

№11. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,6, а при каждом последующем — 0,8. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,95?

Сколько бы не было сделано выстрелов, все эти события (каждый отдельный выстрел) будут независимыми. При совершении независимых событий (в данном случае группы выстрелов) одновременно вероятность такого события будет равна произведению вероятностей этих независимых событий.

Вероятность поразить цель при первом выстреле равна 0,6.

Значит, вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,4.

Вероятность поразить цель при каждом последующем выстреле (втором ит.д.) равна 0,8.

Значит, вероятность промаха при каждом последующем выстреле равна 0,2.

Необходимо поставить  вопрос: каким образом может быть поражена цель?              

Цель может быть поражена либо при первом выстреле, либо вторым выстрелом, либо третьим, либо четвёртым, либо пятым выстрелом и т.д. …

Все перечисленные события независимые. Найдём их вероятности.

При первом:

Вероятность поражения равна 0,6.

При втором:

Вероятность поражения равна  0,4 ∙ 0,8 = 0,32 (мимо -попал).

То есть, вероятность поражения цели не более, чем двумя выстрелами равна  0,6 + 0,32 = 0,92 < 0,95

При третьем:

Вероятность поражения равна  0,4 ∙ 0,2 ∙ 0,8 = 0,064 (мимо –мимо -попал).

То есть, вероятность поражения цели не более, чем тремя выстрелами равна  0,6 + 0,32 + 0,064 = 0,984 > 0,95

Таким образом, необходимо сделать три выстрела, чтобы мишень была поражена  с вероятностью не менее  0,95.

Ответ: 3

№ 12. Вероятность  попасть  в  мишень  равна  0,6.  Произведено  три  выстрела.  Какова  вероятность, что мишень была поражена не менее  двух раз?

Решение: 

Вероятность того, что все три  выстрела попадут в цель, равна P₁=0,6³=0,216.

Вероятность того, что мишень будет поражена два раза, равна P₂=3∙(0,4∙0,6∙0,6)=3∙0,144=0,432.  Здесь умножили на 3, потому что возможны три варианта (попал - не попал  -попал, попал – попал - не попал и не попал-попал-попал). Тогда искомая вероятность равна P=P1+P₂=0,216 +0,432 = 0,648.

Ответ 0.648.

Интернет ресурсы:

otvet.mail.ru,

http://reshuege.ru/,

http://egemaximum.ru/zadaniya-5-teoriya-veroyatnosti-chast-2/

http://znanija.com