Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Статьи / Методическая разработка урока на тему "Теорема Виета и ее применение"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка урока на тему "Теорема Виета и ее применение"

библиотека
материалов

Методическая разработка

Теорема Виета для квадратного уравнения

Теоретические сведения.

Теорема Виета (прямая):

Если квадратное уравнение (a≠0) имеет корни и, то

и .

Доказательство: По формуле корней квадратного уравнения

Таким образом, первая формула теоремы доказана.

Для доказательства второй формулы воспользуемся тем, что D = b² - 4ac, поэтому

что и требовалось доказать.

Замечание. Корни приведенного квадратного уравнения удовлетворяют соотношениям: и .

Действительно, не приведенное квадратное уравнение (a≠0) можно связать с приведенным уравнением следующим образом: или т.к. а≠0, то.Это и есть приведенное квадратное уравнение, которое можно записать в виде, где , , поэтому , если в теореме заменить на р,

а на q, то получим, что, .

Теорема Виета(обратная):

Если числа α и β таковы, что α+β=р, а αβ=q, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения .

Доказательство: Докажем, действительно ли числа удовлетворяют этому уравнению. Подставим в левую часть уравнения р = α + β и q = αβ :

.

Таким образом, квадратное уравнение принимает вид, а корнями этого уравнения, очевидно, являются числа α и β, что и требовалось доказать.

Замечание1. Обратная теорема Виета используется для составления квадратного уравнения по его известным корням.

Замечание 2. Если один из корней квадратного уравнения с рациональными коэффициентами – иррациональный и имеет вид , то второй корень этого уравнения ( это следует из формулы корней квадратного уравнения и ).

Решение типовых задач.

Пример 1. Не находя корней квадратного уравнения , найти, чему равны выражения :

а) ; б); в) ; г) ; д)

Решение: Из уравнения по теореме Виета находим

,

а) .

б) .

в) .

г)

д )

Пример 2. Составить приведенное квадратное уравнение, корни которых обратны корням уравнения .

Решение. Пусть корни искомого уравнения и. Тогда по условию задачи и. Чтобы составить приведенное квадратное уравнение, нужно знать и



.

Тогда по обратной теореме Виета искомое уравнение имеет вид.

Пример 3. Составить приведенное квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен .

Решение. Учитывая замечание 2, получим второй корень данного уравнения . Тогда



Тогда по обратной теореме Виета искомое уравнение имеет вид

Пример 4. Пусть и - корни квадратного уравнения . Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) и ; б) и; в) и .

Решение. а) По условию , а . Составим

второе уравнение по его корням в виде х2 + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теоремеВиета.

Получим: р = -(Х1 + Х2) и q = Х1 · Х2, где , а



Составим квадратное уравнение с полученными коэффициентами:

или

Ответ:

Б) а) По условию , а . Составим

второе уравнение по его корням в виде х2 + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теоремеВиета.

Получим: р = -(Х1 + Х2) и q = Х1 · Х2, где , а



Составим квадратное уравнение с полученными коэффициентами:

Ответ:

Пример 5. Уравнение 2х– 7х – 3 = 0 имеет корни х1 и х2.Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х1 = 1/х1 и Х2 = 1/х2.

Решение. х1 + х2 = 7/2 и х1 · х2 = -3/2. Составим

второе уравнение по его корням в виде х2 + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теореме

Виета.

Получим: р = -(Х1 + Х2) и q = Х1 · Х2.

 р = -(х1 + х2)/(х· х2) =  7/3 и q = 1/(х1 · х2) = -2/3.

Искомое уравнение примет вид: х2 + 7/3 · х – 2/3 = 0.

Теперь легко посчитаем утроенную сумму его

коэффициентов: 3(1  + 7/3  – 2/3) = 8.

Ответ: 8



Теорему Виета удобно применять при решении систем уравнений

Пример 5. Решить систему уравнений:



Решение: Преобразуем выражение

Получим систему:





Пусть х + у = u, a xy=v , получим:

Сложив уравнения получим уравнение

u² + u -20 = 0, корни которого u=-5 и u=4

тогда v = 12 , v = 3. Возвращаясь к исходной

переменной получим две системы уравнений:

и

По теореме, обратной теореме Виета , составим

квадратные уравнения

и

Пары чисел, составленные из корней второго квадратного уравнения, являются решениями данной системы.

Ответ: (1; 3), (3; 1)

Рассмотрим применение теоремы Виета для решения задач с параметром.

Пример1 .При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения

равна ?

Решение. По теореме Виета

По условию













При а=-11 получим 2х² - 11х + 22 + 1 = 0. Это уравнение не имеет корней, т.к. D<0/

При а=3 получим уравнение 2х² +3х – 6 + 1 = 0 или 2х² + 3х – 5 = 0, корни которого х=1, х=-2,5

удовлетворяют условию .

Действительно, 1+6,25=7,25=

Ответ: при а = 3

Пример 2. При каком значении параметра k произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

Решение. Произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену, т.е. .Требуется выполнение условия. Решив данное уравнение, получим корни ,

Ответ: при k=3, k=4.

Пример 2. Найдите разность корней уравнения и значение параметра k, при котором корни уравненияотносятся как 2:3.

Решение. По условию х : х = 2:3, откуда х = 1,5х. Тогда

х + х = 5/2 (1) , а

хх = -а/2 (2)

Из соотношения (1) получим х +1,5 х = 5/2

х = 1

х = 1,5

Откуда х - х = 0,5

Подставив полученные значения в (2), получим k =-3



Пример 3. При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения 2х2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению?

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами

(а + 1)– 8(а – 1) > 0 или (а – 3)2 > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.

Для определенности будем считать, что х12 и получим х1 + х2 = (а + 1)/2 и

х1 · х2 = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х– х2 = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно

Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.

Получаем х1 = а/2, х2 = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х1 · х2 = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда,  а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.

Ответ: при а = 2.

Пример 4. Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней

уравнения х2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.

Решение. Прежде всего, приведем уравнение

к каноническому виду: х– 2ах + 2а – 1 = 0.Оно будет иметь корни, если

D/4 ≥ 0.

Следовательно: а2 – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1)2 ≥ 0.

А это условие справедливо при любом а.

Применим теорему Виета: х1 + х2 = 2а, 

х1 · х2 = 2а – 1

х12 + х22 = (х1 + х2)2 – 2х1 · х2

х12 + х22 = (2а)2 – 2 · (2а – 1) = 4а2 – 4а + 2.

По условию задачи: х1 + х2 = х12 + х22.

Получим: 2а = 4а2 – 4а + 2. Это квадратное

уравнение имеет 2 корня: а1 = 1 и а2 = 1/2.

Наименьший из них –1/2.

Ответ: 1/2.

Пример5.Найти все значения параметра а,при которых квадратное уравнение(а+2)х2 –ах-а=0 имеет два корня, расположенных на числовой прямой симметрично относительно точки х=1.

Решение.

При а+2=0, а=-2, тогда 2х+2=0, х=-1 –

единственное решение, следовательно данное значение а не удовлетворяет условию задачи.

Пусть а≠-2. Тогда , если х и х - корни уравнения, то х =1-у, х= 1+у, где у –некоторое действительное число.

По теореме Виета имеем:

или





Решим первое уравнение системы:

2(а+2)=а, а=-4.

Найдем дискриминант данного квадратного уравнения:







Данное значение а = -4 удовлетворяет

полученным значениям.

Ответ: а = -4.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 15.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров320
Номер материала ДБ-033328
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх