Методическая разработка урока на тему "Теорема Виета и ее применение"

Методическая разработка

Теорема Виета для квадратного уравнения

Теоретические сведения.

Теорема Виета (прямая):

Если квадратное уравнение (a≠0)  имеет корни  и, то

   и    .

Доказательство:  По формуле корней квадратного уравнения

Таким образом, первая формула теоремы доказана.

Для доказательства второй формулы воспользуемся тем, что D = b² - 4ac, поэтому

что и требовалось доказать.

Замечание. Корни приведенного квадратного уравнения  удовлетворяют соотношениям:    и .

Действительно, не приведенное квадратное уравнение  (a≠0) можно связать с приведенным уравнением следующим образом:  или т.к. а≠0, то.Это и есть приведенное квадратное уравнение, которое можно записать в виде, где  , , поэтому , если в теореме заменить  на р,

а    на  q, то получим, что, .

Теорема Виета(обратная):

Если числа α и β таковы, что  α+β=р, а αβ=q, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения  .

Доказательство: Докажем, действительно ли числа удовлетворяют этому уравнению. Подставим в левую часть уравнения  р =  α + β и q = αβ :

.

Таким образом, квадратное уравнение  принимает вид, а корнями этого уравнения, очевидно, являются числа α и β, что и требовалось доказать.

Замечание1. Обратная теорема Виета используется для составления квадратного уравнения по его известным корням.

Замечание 2.  Если один из корней квадратного уравнения с рациональными коэффициентами – иррациональный и имеет вид , то второй корень этого уравнения ( это следует из формулы корней квадратного уравнения  и  ).

Решение типовых задач.

Пример 1. Не находя корней квадратного уравнения , найти, чему равны выражения :

а) ;     б);     в) ;   г) ;   д)

Решение: Из уравнения по теореме Виета  находим

,

а) .

б) .

в) .

г)

д )

Пример 2.  Составить приведенное квадратное уравнение, корни которых обратны корням уравнения .

Решение. Пусть корни искомого уравнения  и. Тогда по условию задачи   и.   Чтобы составить приведенное квадратное уравнение, нужно знать  и

.

Тогда по обратной теореме Виета искомое уравнение имеет вид.

Пример 3.  Составить приведенное квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен .

Решение. Учитывая замечание 2, получим второй корень данного уравнения . Тогда

Тогда по обратной теореме Виета искомое уравнение имеет вид

Пример 4. Пусть и  - корни квадратного уравнения . Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) и ;   б) и;   в) и .

Решение.  а) По условию , а . Составим

второе уравнение по его корням в виде х² + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теоремеВиета.

 Получим: р = -(Х₁ + Х₂) и q = Х₁ · Х₂, где , а

Составим квадратное уравнение с полученными коэффициентами:

 или

Ответ:

Б) а) По условию , а . Составим

второе уравнение по его корням в виде х² + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теоремеВиета.

 Получим: р = -(Х₁ + Х₂) и q = Х₁ · Х₂, где , а

Составим квадратное уравнение с полученными коэффициентами:

 

Ответ:

Пример 5. Уравнение 2х² – 7х – 3 = 0 имеет корни х₁ и х₂.Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х₁ = 1/х₁ и Х₂ = 1/х₂.

Решение. х_{1 +} х₂ = 7/2 и х_{1 ·} х₂ = -3/2. Составим

второе уравнение по его корням в виде х² + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теореме

 Виета.

 Получим: р = -(Х₁ + Х₂) и q = Х₁ · Х₂.

 р = -(х_{1 +} х₂)/(х₁ · х₂) =  7/3 и q = 1/(х_{1 ·} х₂) = -2/3.

Искомое уравнение примет вид: х² + 7/3 · х – 2/3 = 0.

 Теперь легко посчитаем утроенную сумму его

 коэффициентов:   3(1  + 7/3  – 2/3) = 8.

 Ответ: 8

Теорему Виета удобно применять при решении систем уравнений

Пример 5. Решить систему уравнений:

 

Решение: Преобразуем выражение 

Получим систему:

 

Пусть х + у = u, a xy=v , получим:

Сложив уравнения получим  уравнение

u² + u -20 = 0, корни которого u=-5  и u=4

тогда v₁ = 12 , v₂ = 3. Возвращаясь к исходной

 переменной получим две системы  уравнений:

                                    и

По теореме, обратной теореме Виета , составим

 квадратные уравнения

                                      и

 Пары чисел, составленные из корней второго квадратного уравнения, являются решениями данной системы.

Ответ: (1; 3), (3; 1)

Рассмотрим применение теоремы Виета для решения задач с параметром.

Пример1 .При каком значении параметра а  сумма квадратов  корней уравнения

                                           равна          ?

Решение. По теореме Виета

По условию

 

При а=-11 получим 2х² - 11х + 22 + 1 = 0. Это уравнение не имеет  корней, т.к. D<0/

При а=3 получим уравнение 2х² +3х – 6 + 1 = 0 или 2х² + 3х – 5 = 0, корни которого х₁=1, х₂=-2,5

 

удовлетворяют  условию                     .

Действительно, 1+6,25=7,25=

Ответ: при  а = 3

Пример 2. При каком значении параметра k произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

Решение. Произведение корней приведенного  квадратного уравнения  равно свободному члену, т.е. .Требуется выполнение условия.  Решив данное уравнение, получим корни ,

Ответ: при k=3, k=4.

Пример 2. Найдите разность корней уравнения  и значение параметра k, при котором корни уравненияотносятся как 2:3.

Решение.   По условию х₁ : х₂ = 2:3, откуда х₂ = 1,5х₁. Тогда

х₁ + х₂ = 5/2  (1) , а

х₁х₂ = -а/2  (2)

 Из соотношения (1) получим х₁ +1,5 х₁ = 5/2

                                                         х₁ = 1

                                                          х₂ = 1,5

Откуда х₂ - х₁ = 0,5

Подставив полученные значения в (2), получим  k =-3

Пример 3. При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего  корней уравнения 2х² – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению?

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами

(а + 1)² – 8(а – 1) > 0 или (а – 3)² > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.

Для определенности будем считать, что х₁>х₂ и получим х₁ + х₂ = (а + 1)/2 и

 х₁ · х₂ = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х₁ – х₂ = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно

Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.

Получаем х₁ = а/2, х₂ = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х₁ · х₂ = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда,  а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.

Ответ: при а = 2.

Пример 4. Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней

 уравнения х² – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.

Решение. Прежде всего, приведем уравнение

 к каноническому виду: х² – 2ах + 2а – 1 = 0.Оно будет иметь корни, если

D/4 ≥ 0.

Следовательно: а² – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1)² ≥ 0.

 А это условие справедливо при любом а.

Применим теорему Виета: х₁ + х₂ = 2а, 

 х₁ · х₂ = 2а – 1

х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² – 2х₁ · х₂

х₁² + х₂² = (2а)² – 2 · (2а – 1) = 4а² – 4а + 2.

По условию задачи: х₁ + х₂ = х₁² + х₂².

 Получим: 2а = 4а² – 4а + 2. Это квадратное

уравнение имеет 2 корня: а₁ = 1 и а₂ = 1/2.

Наименьший из них –1/2.

Ответ: 1/2.

Пример5.Найти все значения параметра а,при которых квадратное уравнение(а+2)х² –ах-а=0 имеет два корня, расположенных на числовой прямой симметрично относительно точки х=1.

Решение.

При а+2=0, а=-2, тогда 2х+2=0, х=-1 –

единственное решение, следовательно данное значение а не удовлетворяет условию задачи.

Пусть  а≠-2. Тогда , если х₁ и х₂ - корни уравнения, то х₁ =1-у, х₂= 1+у, где у –некоторое действительное число.

По теореме Виета  имеем:

                                 или

Решим первое уравнение системы:

2(а+2)=а, а=-4.

Найдем дискриминант данного квадратного уравнения:

 

Данное значение а = -4 удовлетворяет

полученным значениям.

Ответ: а = -4.