Презентация по математике на тему "Решение уравнения в целых числах"

• 1 слайд

  Решение уравнений в целых числах
  Мирошниченко Н.Е.
  учитель математики
  МАУ ШИЛИ
  Г. Калининград
  

• 2 слайд

  1.Метод прямого перебора
  Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходимо взять тех и других деталей, чтобы получить груз 30 кг?
  Решение:
  Пусть х – количество деталей массой 3 кг, а у - количество деталей массой 8 кг.
  Составим уравнение: 3х + 8у=30
  Если х = 1, то 8у =27 , следовательно, у не является натуральным числом
  Если х =2, то 8у =24 , следовательно, у =3
  Если х = 3, то 8у =21 , следовательно, у не является натуральным числом
  Если х = 4, то 8у =18 , следовательно, у не является натуральным числом
  Если х =5, то 8у =15 , следовательно, у не является натуральным числом
  Если х = 6, то 8у =12 , следовательно, у не является натуральным числом
  Если х = 7, то 8у =9 , следовательно, у не является натуральным числом
  Если х = 8, то 8·3+8>30 ,
  Ответ: 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.
   
  
  
  

• 3 слайд

  2.Использование неравенств
  Решите в натуральных числах уравнение
  3x + 6y = 21.
  Решение. Для уменьшения перебора вариантов
  рассмотрим неравенства
  
  
  
  Проведем перебор по неизвестной у.
  Если y = 1, то x = 5
  Если y = 2, то x = 3
  Если y = 3, то x = 1.
  Ответ: (5;1), (3; 2)(;1;3).
  
  

• 4 слайд

  
  3.Использование отношения делимости
  
  Решить уравнение в целых числах 13x +16y = 300.
  Решение. 13x +13y + 3y = 13· 23 +1,
  3y −1 = 13(23 − x − y).
  Отсюда следует, что разность 3y −1 делится на 13.
  Если 3y −1 = 0, то у не является натуральным числом.
  Если 3y −1 = 13, то у не является натуральным числом.
  Если 3y −1 = 26, то y = 9 и x = 12.
  Если 3y −1 = 39, то у не является натуральным числом.
  Если 3y −1 = 52, то у не является натуральным числом
  Если 3y −1 = 65, то y = 22, но16·22 = 352 > 300.
  Ответ: (12;9)
  
  

• 5 слайд

  4. Выделение целой части
  
  Решить уравнение 8x + 5y = 39 .
  Решение. Выразим у из уравнения и выделим целую часть:
  
  
  
  Отсюда следует, что разность 3x − 4 делится на 5.
  Если 3x − 4 = 0, то х не является натуральным числом.
  Если 3x − 4 = 5, то x = 3 и y = 3.
  Если 3x − 4 = 10, то х не является натуральным числом.
  Если 3x − 4 = 15, то х не является натуральным числом.
  Если 3x − 4 = 20, то x = 8, но 8 8 = 64 > 39.
  Ответ: (3; 3).
  
  

• 6 слайд

  5. Метод остатков
  Решите уравнение 3x − 4y = 1 в целых числах.
  Решение.
  Перепишем уравнение в виде 3x = 4y +1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая.
  1) Если y = 3m, где m Z, то 4y +1 = 12m +1 не делится на 3.
  2) Если y = 3m +1, то 4y +1 = 4(3m +1) +1 = 12m + 5 не делится на 3.
  3) Если y = 3m + 2, то 4y +1 = 4(3m + 2) +1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9,
  x = 4m + 3.
  Ответ: x = 4m + 3, y = 3m + 2, где m Z.
  
  
  

• 7 слайд

  
  6. Метод «спуска»
  
  Решите в целых числах уравнение 5x − 7 y = 3.
  Решение. Выразим из уравнения то неизвестное, коэффициент при котором
  меньше по модулю:
  
  Дробь должна быть равна целому числу.
  
  Положим , где z – целое число.
  
  Тогда 2y + 3 = 5z. Из последнего уравнения выразим то
  неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю, и проделаем аналогичные преобразования:
  
  
  

• 8 слайд

  
  
  Дробь должна быть целым числом.
  
  Обозначим ,где t– целое число.
  
  Отсюда z = 2t − 3. Последовательно возвращаемся к
  неизвестным х и у:
  y = 3(2t − 3) − t = 5t − 9,
  x = y + z = 5t − 9 + 2t − 3 = 7t −12.
   
  Ответ: x = 7t – 12, y = 5t – 9, где t – целое число
  

• 9 слайд

  
  
  7.Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю
  
  Решить уравнение в целых числах 20х + 3у=10
  Решение. Коэффициенты при переменных х и у –
  взаимно простые числа и свободный член - целое число.
  Коэффициент при х больше коэффициента при у.
  Представим его в виде суммы двух натуральных слагаемых
  так, чтобы первое слагаемое было наибольшим числом,
  кратным числу 3 ( коэффициенту при у). Получим:
  20х + 3у = 10
  (18 +2) х +3у=10
  18х +2х+3у=10
  3(6х+у)+2х=10
  

• 10 слайд

  Обозначим выражение 6х + у = k. (1)
  Получим уравнение 3k+2x =10 с переменными k и х.
  Проведем аналогичные преобразования с полученным
  уравнением:
  (2 + 1) k + 2 x =10
  2(k + x) + k =10
  Обозначим выражение k + х = n (2).
  Получим уравнение 2 n + k =10
  k = 10 – 2n
  Подставим в равенство (2) вместо k выражение 10 – 2n:
  10 – 2n +x = n
  x = 3n – 10
   Мы получили одну из формул решений уравнения
  20x – 3y = 10
  

• 11 слайд

  Чтобы получить вторую формулу, подставим в равенство(1) вместо х
  выражение +3n -10, а вместо k выражение 10-2n:
  6(3n – 10)+y = 10 – 20n
  y = 70 – 20n
  Формулы х = 3n – 10; y = 70 – 20n
  при n = 0, ± 1, ±2; … дают все целочисленные
  решения уравнения
  
  

• 12 слайд

  
  8 . Использование формул
  
  Теорема. Если а и b – взаимно просты и пара - какое-нибудь целочисленное решение уравнения
  aх + by = c, то все целочисленные решения этого уравнения описываются формулами:
  , где
  Доказательство: Пусть пара - какое-нибудь
  целочисленное решение уравнения ах + by = c , т.е.
  . Сделаем замену переменных:
  
  
  Тогда в новых переменных уравнение примет вид:
  . Т.к. а и b – взаимно просты, то уравнение имеет решения, если
  
  
  
  
  
  
  

• 13 слайд

  Тогда получим
  Возвращаясь к старым переменным,
  получаем, что
  
  
  

• 14 слайд

  8 . Использование формул
  Найти целочисленные решения уравнения
  13х = 6у - 19
  Решение. Найдем одно целочисленное решение
  уравнения: , и выполним преобразования
  
  
  
  
  
  
  Ответ:
  

• 15 слайд

  
  9. Использование конечных цепных дробей
  
  Решите в целых числах уравнение 127x − 52y +1= 0
  Решение. Преобразуем отношение коэффициентов при
  неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть
  неправильной дроби .
  Правильную дробь заменим равной ей дробью
  Тогда получим
  
  .
  
  Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью
   
  
  

• 16 слайд

  Теперь исходная дробь примет вид: .
  
  Повторяя те же рассуждения для дроби получим
  
  . Выделяя целую часть
  
  
  
  неправильной дроби , придем к окончательному
  
  результату:
  
  
  
  

• 17 слайд

  Мы получили выражение, которое называется конечной
  цепной или непрерывной дробью.
  Отбросив последнее звено этой цепной дроби –одну
  пятую, превратим получающуюся при этом новую
  цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби
  : . Итак,
  
  
  Приведем полученное выражение к общему знаменателю и
  отбросив знаменатель, получим:
  Из сопоставления полученного равенства с уравнением
  127x − 52y +1= 0 следует, что x = 9 , y = 22 будет решением
  этого уравнения, и согласно теореме все его решения будут
  содержаться в формулах x = 9 + 52t , y = 22 +127t ,где t Z.
  Ответ: x = 9 + 52t , y = 22 + 127t , где t Z.
   
  
  

• 18 слайд

  НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  
  

• 19 слайд

  
  
  Метод разложения на множители
  а) вынесение общего множителя за скобки
  
  Решить уравнение : х² + 2ху = 4х + 7
  Решение: х² + 2ху - 4х = 7, (х + 2у -2)х = 7
  
  Составим четыре системы уравнений:
  
  
  решив которые, получим
  
  
  
  Ответ: (1; 5), (7; -1), (-1; -1), (-7; 5)
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 20 слайд

  б) применение формул сокращенного умножения
  Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 33.
  Решение. Запишем условие задачи в виде уравнения
  (m + n)(m - n) = 33
  
  т.к(m + n)>(m – n) ,то получим две системы уравнений:
  
  
  
  
  
  
  Ответ: (17; 16), (7; 4),
  
  

• 21 слайд

  
  в) способ группировки.
  
  Решить уравнение: xy - 2x + 3y = 16.
  Решение: х(у – 2) + 3у – 6 = 10
  х(у – 2 ) + 3(у – 2) = 10
  (х + 3)(у – 2) = 10
  
  получаем восемь систем уравнений:
  
  
  
  
  Решив полученные системы уравнений, получим:
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Решив полученные системы уравнений, получаем:
  
  
  
  
  
  Ответ: (7;3), (-2; 12), (-1;7), (2;4), (-13;1), (-4;-8), (-5;-3), (-8;0).
  
  

• 22 слайд

  Ответ: (7; 3), (-2; 12), (-1; 7), (2; 4), (-13; 1), (-4; -8),
  (-5; -3), (-8; 0)
  

• 23 слайд

  
  г) разложение квадратного трехчлена
  
  Решить уравнение в целых числах :
  х² - 5ху+4у²=13
  Решение: Решив уравнение х² - 5ху+4у²=0
  относительно переменной х , получим .
  Теперь можно разложить левую часть уравнения на
  множители. Получаем (х – у)(х – 4у)=13
  13 = 1·13=13·1=(-1)·(-13)=(-13)·(-1)
  Составим четыре системы уравнений:
  
  
  
  
  
  
  
  
  Решив полученные системы уравнений, получим ответ:
  Ответ: (-3; -4), (3; 4), (17;4), (-17;-4)
  
  

• 24 слайд

  д) использование параметра
  
  Решите уравнение 2x²− 2xy + 9x + y = 2 в целых числах.
  Решение. Перепишем уравнение в виде
  2x² − (2y − 9)x + y − 2 + a = a
  и разложим левую часть уравнения на множители
  как квадратный трехчлен относительно х. Находим
  дискриминант D = 4y² − 44y + 97 −8a. Очевидно,
  если 97 −8a =121, то дискриминант будет полным
  квадратом.
  При этом a = −3 и
  
  Отсюда .
  Уравнение принимает вид (2x −1)(x − y + 5) =−3.
  -3=1·(-3)=(-1)·3= 3·(-1)=(-3)·1
  
  

• 25 слайд

  Из этого уравнения получим следующие системы
  уравнений:
  
  
  
  
  Решив эти системы, получим:
  
  
  
  
  
  Ответ: (1;9); (0;2); (2;8); (−1;3).
  

• 26 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  2. Метод решения относительно одной переменной
  
  

• 27 слайд

  Выделение целой части
  
  Решить уравнение в целых числах: 3xy + 14x + 17y +71= 0
  Решение: 3xy+17y=-14x - 71 ; y(3x+17)=-14x-71
  
  , где 3х + 17≠0
  
  
  
  
  
  Т.к. у должно быть целым числом, то 3у тоже целое число,
  следовательно, дробь также целое число,и значит 25
  делится на (3х+17). Получаем:
  3x + 17 = -5→ 3x = -22→ х не является целым числом
  3x + 17 = 5 →3x = -12,→ x = -4, y = -3
  3x + 17 = 25→ 3x = 8 → х не является целым числом
  3x + 17 = -25→3x = -42→ x = -14,y = -5
  3x + 17 = 1→3x = -16→ х не является целым числом
  3x +17 = -1→3x = -18→x = -6, y = -13
  Ответ:(-4;-3), (-6;-13), (-14;-5)
  
  
  

• 28 слайд

  Выделение целой части
  
  Найти все целочисленные решения уравнения:
  2x²-2xy+9x+y = 2
  Решение. Выразим у через х и выделим целую часть:
  2xy-y = 2x² +9x - 2
  y (2x-1)=2x² + 9x- 2
  
  
  Т.к. у должно быть целым числом, то дробь
  также целое, а это значит что число 3 делится на (2х-1).
  Получаем: если 2x - 1=1, то x = 1, y = 9
  если 2x - 1=-1, то x = 0, y = 2
  если 2x - 1= 3, то x=2, y = 8
  если 2x - 1 = -3, то x = -1, y = 3
  Ответ: (1;9), (0;2), (2;8), (-1;3)
  
  

• 29 слайд

  
  Использование дискриминанта (неотрицательность)
  
  Решите уравнение 3(x² + xy + y² ) = x + 8y в целых числах.
  Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное
  относительно х: 3x² + (3y −1)x + 3y² −8y = 0.
  Найдем дискриминант уравнения D = −27y² + 90y +1.
  Данное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, т.е.
  − 27y² + 90y +1≥ 0.
  Так как y Z, то получаем 0 ≤ y ≤ 3. Перебирая эти
  значения, получим, что исходное уравнение в целых
  числах имеет решения (0;0) и (1;1).
  Ответ: (0;0); (1;1).
  
  

• 30 слайд

  
  Использование дискриминанта
  (полный квадрат)
  
  Решите уравнение x² − xy + y² = x + y в целых числах.
  Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х:
  x² − ( y +1)x + y² − y = 0.
  Его дискриминант D = −3y² + 6y +1 = t² должен быть квадратом некоторого целого числа t. Получаем новое уравнение
  3y² − 6y −1+ t² = 0; 3( y −1)² + t² = 4.
  Из последнего уравнения следует, что t² ≤ 4, т.е.|t| ≤ 2.
  1) Если t ² = 0, то уравнение 3(y −1)² = 4 не имеет целого решения у.
  

• 31 слайд

  2) Если t ² =1, то уравнение 3(y −1)² = 3 имеет
  целые решения
  При y = 2 получаем квадратное уравнение
  x² − 3x + 2 = 0 с корнями x = 1 или x = 2 .
  При y = 0 получаем квадратное уравнение
  x² − x = 0 с корнями x = 0 или x =1.
  3) Если t ² = 4, то уравнение 3( y −1)² = 0 имеет одно целое решение y =1.
  При y =1 получаем квадратное уравнение
  x² − 2x = 0 с корнями x = 0 или x = 2 .
  Ответ: (1;2); (2;2); (0;0); (1;0), (0;1); (2;1)
  
  

• 32 слайд

  
  
  
  
  
  
  3. Метод оценки
  
  

• 33 слайд

  Приведение к сумме неотрицательных выражений
  
  Решить уравнение в целых числах : x²+6xy+13y² = 40.
  Решение. Преобразуем левую часть уравнения,
  выделив полный квадрат относительно переменной х: x²+6xy+9y²+4y² = 40;
  (x+3y)²+4y² = 40.
  Откуда получаем что(2y)² ≤ 40 ,т.е. |y| ≤ 3
  Перебирая значения у, получим системы:
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Ответ: (1; 3), (1;-9), (-1; 9), (-1; -3)
   
  
  
  
  
  
  

• 34 слайд

  
  Метод «спуска»
  
  ● Решите уравнение 2x² − 5y² = 7 в целых числах.
  Решение. Так как 2x² - четное число, а 7 - нечетное, то
  5y² должно быть нечетным, т.е. у –нечетное. Пусть
  y = 2z +1, z Z , тогда данное уравнение можно
  переписать в виде x² −10z² −10z = 6.
  Отсюда видно, что х должно быть четным.
  Пусть x = 2m, тогда последнее уравнение примет вид
  2m² − 5z(z +1) = 3,
  что невозможно, так как число z(z +1) - четно, а
  разность двух четных чисел не может быть равна
  нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не
  имеет решений в целых числах.
  Ответ: нет решений