Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по математике на тему "Решение уравнения в целых числах"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация по математике на тему "Решение уравнения в целых числах"

библиотека
материалов
Решение уравнений в целых числах Мирошниченко Н.Е. учитель математики МАУ ШИЛ...
1.Метод прямого перебора Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходи...
2.Использование неравенств Решите в натуральных числах уравнение 3x + 6y = 21...
3.Использование отношения делимости Решить уравнение в целых числах 13x +16y...
4. Выделение целой части Решить уравнение 8x + 5y = 39 . Решение. Выразим у и...
5. Метод остатков Решите уравнение 3x − 4y = 1 в целых числах. Решение. Переп...
6. Метод «спуска» Решите в целых числах уравнение 5x − 7 y = 3. Решение. Выр...
Дробь должна быть целым числом. Обозначим ,где t– целое число. Отсюда z = 2t...
7.Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю Решить уравнени...
Обозначим выражение 6х + у = k. (1) Получим уравнение 3k+2x =10 с переменными...
Чтобы получить вторую формулу, подставим в равенство(1) вместо х выражение +3...
8 . Использование формул Теорема. Если а и b – взаимно просты и пара - какое...
Тогда получим Возвращаясь к старым переменным, получаем, что
8 . Использование формул Найти целочисленные решения уравнения 13х = 6у - 19...
9. Использование конечных цепных дробей Решите в целых числах уравнение 127x...
Теперь исходная дробь примет вид: . Повторяя те же рассуждения для дроби полу...
Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дро...
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Метод разложения на множители а) вынесение общего множителя за скобки Решить...
б) применение формул сокращенного умножения Найдите все пары натуральных чисе...
в) способ группировки. Решить уравнение: xy - 2x + 3y = 16. Решение: х(у – 2...
Ответ: (7; 3), (-2; 12), (-1; 7), (2; 4), (-13; 1), (-4; -8), (-5; -3), (-8; 0)
г) разложение квадратного трехчлена Решить уравнение в целых числах : х² - 5...
д) использование параметра Решите уравнение 2x²− 2xy + 9x + y = 2 в целых чис...
Из этого уравнения получим следующие системы уравнений: Решив эти системы, по...
 2. Метод решения относительно одной переменной
Выделение целой части Решить уравнение в целых числах: 3xy + 14x + 17y +71=...
Выделение целой части Найти все целочисленные решения уравнения: 2x²-2xy+9x+...
Использование дискриминанта (неотрицательность) Решите уравнение 3(x² + xy +...
Использование дискриминанта (полный квадрат) Решите уравнение x² − xy + y² =...
2) Если t ² =1, то уравнение 3(y −1)² = 3 имеет целые решения При y = 2 получ...
 3. Метод оценки
Приведение к сумме неотрицательных выражений Решить уравнение в целых числах...
Метод «спуска» ● Решите уравнение 2x² − 5y² = 7 в целых числах. Решение. Так...
34 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Решение уравнений в целых числах Мирошниченко Н.Е. учитель математики МАУ ШИЛ
Описание слайда:

Решение уравнений в целых числах Мирошниченко Н.Е. учитель математики МАУ ШИЛИ Г. Калининград

№ слайда 2 1.Метод прямого перебора Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходи
Описание слайда:

1.Метод прямого перебора Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходимо взять тех и других деталей, чтобы получить груз 30 кг? Решение: Пусть х – количество деталей массой 3 кг, а у - количество деталей массой 8 кг. Составим уравнение: 3х + 8у=30 Если х = 1, то 8у =27 , следовательно, у не является натуральным числом Если х =2, то 8у =24 , следовательно, у =3 Если х = 3, то 8у =21 , следовательно, у не является натуральным числом Если х = 4, то 8у =18 , следовательно, у не является натуральным числом Если х =5, то 8у =15 , следовательно, у не является натуральным числом Если х = 6, то 8у =12 , следовательно, у не является натуральным числом Если х = 7, то 8у =9 , следовательно, у не является натуральным числом Если х = 8, то 8·3+8>30 , Ответ: 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.  

№ слайда 3 2.Использование неравенств Решите в натуральных числах уравнение 3x + 6y = 21
Описание слайда:

2.Использование неравенств Решите в натуральных числах уравнение 3x + 6y = 21. Решение. Для уменьшения перебора вариантов рассмотрим неравенства Проведем перебор по неизвестной у. Если y = 1, то x = 5 Если y = 2, то x = 3 Если y = 3, то x = 1. Ответ: (5;1), (3; 2)(;1;3).

№ слайда 4 3.Использование отношения делимости Решить уравнение в целых числах 13x +16y
Описание слайда:

3.Использование отношения делимости Решить уравнение в целых числах 13x +16y = 300. Решение. 13x +13y + 3y = 13· 23 +1, 3y −1 = 13(23 − x − y). Отсюда следует, что разность 3y −1 делится на 13. Если 3y −1 = 0, то у не является натуральным числом. Если 3y −1 = 13, то у не является натуральным числом. Если 3y −1 = 26, то y = 9 и x = 12. Если 3y −1 = 39, то у не является натуральным числом. Если 3y −1 = 52, то у не является натуральным числом Если 3y −1 = 65, то y = 22, но16·22 = 352 > 300. Ответ: (12;9)

№ слайда 5 4. Выделение целой части Решить уравнение 8x + 5y = 39 . Решение. Выразим у и
Описание слайда:

4. Выделение целой части Решить уравнение 8x + 5y = 39 . Решение. Выразим у из уравнения и выделим целую часть: Отсюда следует, что разность 3x − 4 делится на 5. Если 3x − 4 = 0, то х не является натуральным числом. Если 3x − 4 = 5, то x = 3 и y = 3. Если 3x − 4 = 10, то х не является натуральным числом. Если 3x − 4 = 15, то х не является натуральным числом. Если 3x − 4 = 20, то x = 8, но 8 8 = 64 > 39. Ответ: (3; 3).

№ слайда 6 5. Метод остатков Решите уравнение 3x − 4y = 1 в целых числах. Решение. Переп
Описание слайда:

5. Метод остатков Решите уравнение 3x − 4y = 1 в целых числах. Решение. Перепишем уравнение в виде 3x = 4y +1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая. 1) Если y = 3m, где m Z, то 4y +1 = 12m +1 не делится на 3. 2) Если y = 3m +1, то 4y +1 = 4(3m +1) +1 = 12m + 5 не делится на 3. 3) Если y = 3m + 2, то 4y +1 = 4(3m + 2) +1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, x = 4m + 3. Ответ: x = 4m + 3, y = 3m + 2, где m Z.

№ слайда 7 6. Метод «спуска» Решите в целых числах уравнение 5x − 7 y = 3. Решение. Выр
Описание слайда:

6. Метод «спуска» Решите в целых числах уравнение 5x − 7 y = 3. Решение. Выразим из уравнения то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю: Дробь должна быть равна целому числу. Положим , где z – целое число. Тогда 2y + 3 = 5z. Из последнего уравнения выразим то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю, и проделаем аналогичные преобразования:

№ слайда 8 Дробь должна быть целым числом. Обозначим ,где t– целое число. Отсюда z = 2t
Описание слайда:

Дробь должна быть целым числом. Обозначим ,где t– целое число. Отсюда z = 2t − 3. Последовательно возвращаемся к неизвестным х и у: y = 3(2t − 3) − t = 5t − 9, x = y + z = 5t − 9 + 2t − 3 = 7t −12.   Ответ: x = 7t – 12, y = 5t – 9, где t – целое число

№ слайда 9 7.Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю Решить уравнени
Описание слайда:

7.Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю Решить уравнение в целых числах 20х + 3у=10 Решение. Коэффициенты при переменных х и у – взаимно простые числа и свободный член - целое число. Коэффициент при х больше коэффициента при у. Представим его в виде суммы двух натуральных слагаемых так, чтобы первое слагаемое было наибольшим числом, кратным числу 3 ( коэффициенту при у). Получим: 20х + 3у = 10 (18 +2) х +3у=10 18х +2х+3у=10 3(6х+у)+2х=10

№ слайда 10 Обозначим выражение 6х + у = k. (1) Получим уравнение 3k+2x =10 с переменными
Описание слайда:

Обозначим выражение 6х + у = k. (1) Получим уравнение 3k+2x =10 с переменными k и х. Проведем аналогичные преобразования с полученным уравнением: (2 + 1) k + 2 x =10 2(k + x) + k =10 Обозначим выражение k + х = n (2). Получим уравнение 2 n + k =10 k = 10 – 2n Подставим в равенство (2) вместо k выражение 10 – 2n: 10 – 2n +x = n x = 3n – 10  Мы получили одну из формул решений уравнения 20x – 3y = 10

№ слайда 11 Чтобы получить вторую формулу, подставим в равенство(1) вместо х выражение +3
Описание слайда:

Чтобы получить вторую формулу, подставим в равенство(1) вместо х выражение +3n -10, а вместо k выражение 10-2n: 6(3n – 10)+y = 10 – 20n y = 70 – 20n Формулы х = 3n – 10; y = 70 – 20n при n = 0, ± 1, ±2; … дают все целочисленные решения уравнения

№ слайда 12 8 . Использование формул Теорема. Если а и b – взаимно просты и пара - какое
Описание слайда:

8 . Использование формул Теорема. Если а и b – взаимно просты и пара - какое-нибудь целочисленное решение уравнения aх + by = c, то все целочисленные решения этого уравнения описываются формулами: , где Доказательство: Пусть пара - какое-нибудь целочисленное решение уравнения ах + by = c , т.е. . Сделаем замену переменных: Тогда в новых переменных уравнение примет вид: . Т.к. а и b – взаимно просты, то уравнение имеет решения, если

№ слайда 13 Тогда получим Возвращаясь к старым переменным, получаем, что
Описание слайда:

Тогда получим Возвращаясь к старым переменным, получаем, что

№ слайда 14 8 . Использование формул Найти целочисленные решения уравнения 13х = 6у - 19
Описание слайда:

8 . Использование формул Найти целочисленные решения уравнения 13х = 6у - 19 Решение. Найдем одно целочисленное решение уравнения: , и выполним преобразования Ответ:

№ слайда 15 9. Использование конечных цепных дробей Решите в целых числах уравнение 127x
Описание слайда:

9. Использование конечных цепных дробей Решите в целых числах уравнение 127x − 52y +1= 0 Решение. Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби . Правильную дробь заменим равной ей дробью Тогда получим . Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью  

№ слайда 16 Теперь исходная дробь примет вид: . Повторяя те же рассуждения для дроби полу
Описание слайда:

Теперь исходная дробь примет вид: . Повторяя те же рассуждения для дроби получим . Выделяя целую часть неправильной дроби , придем к окончательному результату:

№ слайда 17 Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дро
Описание слайда:

Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби –одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби : . Итак, Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросив знаменатель, получим: Из сопоставления полученного равенства с уравнением 127x − 52y +1= 0 следует, что x = 9 , y = 22 будет решением этого уравнения, и согласно теореме все его решения будут содержаться в формулах x = 9 + 52t , y = 22 +127t ,где t Z. Ответ: x = 9 + 52t , y = 22 + 127t , где t Z.  

№ слайда 18 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Описание слайда:

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

№ слайда 19 Метод разложения на множители а) вынесение общего множителя за скобки Решить
Описание слайда:

Метод разложения на множители а) вынесение общего множителя за скобки Решить уравнение : х² + 2ху = 4х + 7 Решение: х² + 2ху - 4х = 7, (х + 2у -2)х = 7 Составим четыре системы уравнений: решив которые, получим Ответ: (1; 5), (7; -1), (-1; -1), (-7; 5)

№ слайда 20 б) применение формул сокращенного умножения Найдите все пары натуральных чисе
Описание слайда:

б) применение формул сокращенного умножения Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 33. Решение. Запишем условие задачи в виде уравнения (m + n)(m - n) = 33 т.к(m + n)>(m – n) ,то получим две системы уравнений: Ответ: (17; 16), (7; 4),

№ слайда 21 в) способ группировки. Решить уравнение: xy - 2x + 3y = 16. Решение: х(у – 2
Описание слайда:

в) способ группировки. Решить уравнение: xy - 2x + 3y = 16. Решение: х(у – 2) + 3у – 6 = 10 х(у – 2 ) + 3(у – 2) = 10 (х + 3)(у – 2) = 10 получаем восемь систем уравнений: Решив полученные системы уравнений, получим: Решив полученные системы уравнений, получаем: Ответ: (7;3), (-2; 12), (-1;7), (2;4), (-13;1), (-4;-8), (-5;-3), (-8;0).

№ слайда 22 Ответ: (7; 3), (-2; 12), (-1; 7), (2; 4), (-13; 1), (-4; -8), (-5; -3), (-8; 0)
Описание слайда:

Ответ: (7; 3), (-2; 12), (-1; 7), (2; 4), (-13; 1), (-4; -8), (-5; -3), (-8; 0)

№ слайда 23 г) разложение квадратного трехчлена Решить уравнение в целых числах : х² - 5
Описание слайда:

г) разложение квадратного трехчлена Решить уравнение в целых числах : х² - 5ху+4у²=13 Решение: Решив уравнение х² - 5ху+4у²=0 относительно переменной х , получим . Теперь можно разложить левую часть уравнения на множители. Получаем (х – у)(х – 4у)=13 13 = 1·13=13·1=(-1)·(-13)=(-13)·(-1) Составим четыре системы уравнений: Решив полученные системы уравнений, получим ответ: Ответ: (-3; -4), (3; 4), (17;4), (-17;-4)

№ слайда 24 д) использование параметра Решите уравнение 2x²− 2xy + 9x + y = 2 в целых чис
Описание слайда:

д) использование параметра Решите уравнение 2x²− 2xy + 9x + y = 2 в целых числах. Решение. Перепишем уравнение в виде 2x² − (2y − 9)x + y − 2 + a = a и разложим левую часть уравнения на множители как квадратный трехчлен относительно х. Находим дискриминант D = 4y² − 44y + 97 −8a. Очевидно, если 97 −8a =121, то дискриминант будет полным квадратом. При этом a = −3 и Отсюда . Уравнение принимает вид (2x −1)(x − y + 5) =−3. -3=1·(-3)=(-1)·3= 3·(-1)=(-3)·1

№ слайда 25 Из этого уравнения получим следующие системы уравнений: Решив эти системы, по
Описание слайда:

Из этого уравнения получим следующие системы уравнений: Решив эти системы, получим: Ответ: (1;9); (0;2); (2;8); (−1;3).

№ слайда 26  2. Метод решения относительно одной переменной
Описание слайда:

2. Метод решения относительно одной переменной

№ слайда 27 Выделение целой части Решить уравнение в целых числах: 3xy + 14x + 17y +71=
Описание слайда:

Выделение целой части Решить уравнение в целых числах: 3xy + 14x + 17y +71= 0 Решение: 3xy+17y=-14x - 71 ; y(3x+17)=-14x-71 , где 3х + 17≠0 Т.к. у должно быть целым числом, то 3у тоже целое число, следовательно, дробь также целое число,и значит 25 делится на (3х+17). Получаем: 3x + 17 = -5→ 3x = -22→ х не является целым числом 3x + 17 = 5 →3x = -12,→ x = -4, y = -3 3x + 17 = 25→ 3x = 8 → х не является целым числом 3x + 17 = -25→3x = -42→ x = -14,y = -5 3x + 17 = 1→3x = -16→ х не является целым числом 3x +17 = -1→3x = -18→x = -6, y = -13 Ответ:(-4;-3), (-6;-13), (-14;-5)

№ слайда 28 Выделение целой части Найти все целочисленные решения уравнения: 2x²-2xy+9x+
Описание слайда:

Выделение целой части Найти все целочисленные решения уравнения: 2x²-2xy+9x+y = 2 Решение. Выразим у через х и выделим целую часть: 2xy-y = 2x² +9x - 2 y (2x-1)=2x² + 9x- 2 Т.к. у должно быть целым числом, то дробь также целое, а это значит что число 3 делится на (2х-1). Получаем: если 2x - 1=1, то x = 1, y = 9 если 2x - 1=-1, то x = 0, y = 2 если 2x - 1= 3, то x=2, y = 8 если 2x - 1 = -3, то x = -1, y = 3 Ответ: (1;9), (0;2), (2;8), (-1;3)

№ слайда 29 Использование дискриминанта (неотрицательность) Решите уравнение 3(x² + xy +
Описание слайда:

Использование дискриминанта (неотрицательность) Решите уравнение 3(x² + xy + y² ) = x + 8y в целых числах. Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х: 3x² + (3y −1)x + 3y² −8y = 0. Найдем дискриминант уравнения D = −27y² + 90y +1. Данное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, т.е. − 27y² + 90y +1≥ 0. Так как y Z, то получаем 0 ≤ y ≤ 3. Перебирая эти значения, получим, что исходное уравнение в целых числах имеет решения (0;0) и (1;1). Ответ: (0;0); (1;1).

№ слайда 30 Использование дискриминанта (полный квадрат) Решите уравнение x² − xy + y² =
Описание слайда:

Использование дискриминанта (полный квадрат) Решите уравнение x² − xy + y² = x + y в целых числах. Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х: x² − ( y +1)x + y² − y = 0. Его дискриминант D = −3y² + 6y +1 = t² должен быть квадратом некоторого целого числа t. Получаем новое уравнение 3y² − 6y −1+ t² = 0; 3( y −1)² + t² = 4. Из последнего уравнения следует, что t² ≤ 4, т.е.|t| ≤ 2. 1) Если t ² = 0, то уравнение 3(y −1)² = 4 не имеет целого решения у.

№ слайда 31 2) Если t ² =1, то уравнение 3(y −1)² = 3 имеет целые решения При y = 2 получ
Описание слайда:

2) Если t ² =1, то уравнение 3(y −1)² = 3 имеет целые решения При y = 2 получаем квадратное уравнение x² − 3x + 2 = 0 с корнями x = 1 или x = 2 . При y = 0 получаем квадратное уравнение x² − x = 0 с корнями x = 0 или x =1. 3) Если t ² = 4, то уравнение 3( y −1)² = 0 имеет одно целое решение y =1. При y =1 получаем квадратное уравнение x² − 2x = 0 с корнями x = 0 или x = 2 . Ответ: (1;2); (2;2); (0;0); (1;0), (0;1); (2;1)

№ слайда 32  3. Метод оценки
Описание слайда:

3. Метод оценки

№ слайда 33 Приведение к сумме неотрицательных выражений Решить уравнение в целых числах
Описание слайда:

Приведение к сумме неотрицательных выражений Решить уравнение в целых числах : x²+6xy+13y² = 40. Решение. Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат относительно переменной х: x²+6xy+9y²+4y² = 40; (x+3y)²+4y² = 40. Откуда получаем что(2y)² ≤ 40 ,т.е. |y| ≤ 3 Перебирая значения у, получим системы: Ответ: (1; 3), (1;-9), (-1; 9), (-1; -3)  

№ слайда 34 Метод «спуска» ● Решите уравнение 2x² − 5y² = 7 в целых числах. Решение. Так
Описание слайда:

Метод «спуска» ● Решите уравнение 2x² − 5y² = 7 в целых числах. Решение. Так как 2x² - четное число, а 7 - нечетное, то 5y² должно быть нечетным, т.е. у –нечетное. Пусть y = 2z +1, z Z , тогда данное уравнение можно переписать в виде x² −10z² −10z = 6. Отсюда видно, что х должно быть четным. Пусть x = 2m, тогда последнее уравнение примет вид 2m² − 5z(z +1) = 3, что невозможно, так как число z(z +1) - четно, а разность двух четных чисел не может быть равна нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: нет решений

Автор
Дата добавления 15.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров1427
Номер материала ДБ-033325
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх