Методические рекомендации для выполнения практической работы по теме "Доказательство тождеств"

Тема занятия:  Доказательства тождеств с помощью метода математической индукции (ММИ).

Цель занятия:

-                    закрепление теоретических знаний, полученных по теме: «Математическая индукция. Общий алгоритм метода»;

-                    приобретение навыков доказательства тождеств с помощью ММИ.

Основные теоретические положения

Способ доказательства математических утверждений с помощью принципа математической индукции называется методом математической индукции, который состоит в следующем:

1. Проверяют истинность утверждения при n=1 – первый шаг доказательства (первый индукционный шаг).

2. Допускают, что утверждение справедливо при n=k , где k – произвольное натуральное число (k∈N), и доказывают, что тогда утверждение верно и при n=k+1 – второй шаг доказательства (второй индукционный шаг).

Если обе части доказательства проведены, то на основании принципа математической индукции утверждение истинно для всех натуральных n (n∈N ) – вывод. В самом деле, если утверждение справедливо при n =1, то по доказанному в шаге 2 оно верно и при n=1+1=2. Далее, из того, что оно верно при n=2 вытекает его справедливость при n=2+1 =3. Затем от n=3 переходят к n=4 и т.д. Ясно, что при этом рано или поздно мы доберемся до любого натурального числа n , а потому данное утверждение истинно для всех n∈N .

Метод математической индукции можно применить и для доказательства утверждений, выполняющихся при всех целых n , начиная с некоторого целого, не равного 1. В этом случае речь идет об обобщенном принципе математической индукции. Обобщенный принцип математической индукции Если утверждение A(n), в котором n – целое число, истинно при
n=m.

Пример: Доказать, что всегда 1 + 3 + 5 … + (2n - 1) = n.

1.               Для n=1 это утверждение верно; действительно, (2-1)= 1.

2.               Предположив, что наше утверждение верно для n=k, т.е. что
1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) = k.

Убеждаемся, что тогда оно верно и для n=k+1.

1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

Рассмотрим левую часть этого равенства.

По предположению, сумма первых k слагаемых равна k и потому
1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2k + 1)=
 = k+ (2k + 1) = k+ 2k + 1.

Выражение k+ 2k + 1 тождественно равно выражению (k + 1).

Следовательно, истинность данного равенства для n = k + 1 доказана.

Задания:

Доказать методом математической индукции:

Контрольные вопросы:

1.     Что такое математическая индукция?

2.     Для чего применяют метод математической индукции?

3.     Чем отличается ММИ от обобщённого ММИ?

Литература:

Основные источники (ОИ):

№ п/п	Наименование	Автор	Издательство, год издания
ОИ1	Дискретная математика	Спирина М.С Спирин П.А.	М.: ОИЦ «Академия». 2019.
ОИ2	Дискретная математика. Сборник задач с алгоритмами решений	Спирина М.С Спирин П.А.	М.: ОИЦ «Академия», 2020.

Интернет-ресурсы (И-Р)

И-Р 1	www.mathnet.ru – общероссийский математический портал
И-Р 2	www.edu.ru – федеральный портал российского образования
И-Р 3	WWW.exponenta.ru- образовательный портал
И-Р 4	http://lib.mexmat.ru/books/1383-электронная библиотека МГУ