Методические рекомендации по дисциплине "Элементы высшей математики" на тему "Самостоятельные работы" (2 курс)

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ ХМАО-ЮГРЫ

БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ХМАО-ЮГРЫ

НЯГАНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА

Составитель

П.М. Ажулаева

первая квалификационная категория

Нягань, 2014

Пояснительная записка

Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы составлены в соответствии с ФГОС СПО специальности «Компьютерные сети», рабочей программой учебной дисциплины «Элементы высшей математики» для студентов второго курса дневной формы обучения.

В методические рекомендации включены: тематика внеаудиторных самостоятельных работ, тематический план, указана литература.

При самостоятельном изучении материала рекомендуются: составление конспектов, сообщений, рефератов исторического характера, расширенные конспекты по темам, анализ и разбор упражнений по темам, расчетные работы, презентации, графические работы, выполнений упражнений для самопроверки. В разработку включены контрольные вопросы по теоретической части, задания - образцы с решениями, задания для самопроверки, задания практического характера, тесты, контрольные работы.

Методические рекомендации по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ по дисциплине «Элементы высшей математики» ориентирована на достижение следующих целей:

формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения смежных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части

общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

Все внеаудиторные работы рекомендуется сдать в установленные сроки для проверки преподавателю. При существенных замечаниях работа возвращается студенту для доработки. Степень выполнения, сроки, защита работ учитывается при промежуточной аттестации по дисциплине.

Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения

дисциплины:

Студент должен обладать следующими компетенциями, включающими в себя способность:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

ПК 1.1. Выполнять проектирование кабельной структуры компьютерной сети.

ПК 1.2. Осуществлять выбор технологии, инструментальных средств и средств вычислительной техники при организации процесса разработки и исследования объектов профессиональной деятельности.

ПК 1.4. Принимать участие в приемо-сдаточных испытаниях компьютерных сетей и сетевого оборудования различного уровня и в оценке качества и экономической эффективности сетевой топологии.

ПК 2.3. Обеспечивать сбор данных для анализа использования и функционирования программно-технических средств компьютерных сетей.

ПК 3.5. Организовывать инвентаризацию технических средств сетевой инфраструктуры, осуществлять контроль поступившего из ремонта оборудования.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

- выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;

- применять методы дифференциального и интегрального исчисления функции

- решать дифференциальные уравнения;

- применять математические методы при решении типовых профессиональных задач.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

- основы математического анализа,

- линейной алгебры и аналитической геометрии;

- основы дифференциального и интегрального исчисления;

- обыкновенные дифференциальные уравнения, их виды и методы решения.

Форма промежуточной аттестации – экзамен.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Наименование тем

СПО

180 (120 аудит. + 60 самостоят.)

Введение

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

39

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

18

Раздел 3. Введение в анализ

24

Раздел 4. Дифференциальное исчисление

30

Раздел 5. Интегральное исчисление

24

Раздел 6. Дифференциальные уравнения

18

Раздел 7. Комплексные числа

18

Раздел 8. Численное интегрирование

9

Итого

180

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ

ОЦЕНКА «5» (отлично)

выставляется в случае полного выполнения всего объема работы, правильного оформления, отсутствия существенных ошибок при вычислениях и построениях чертежей, грамотного и аккуратного выполнения всех заданий, наличия выводов, умения применять формулы подтверждающихся содержанием работы.

ОЦЕНКА «4» (хорошо)

выставляется в случае полного выполнения всего объема работы при наличии несущественных ошибок при вычислениях и построениях чертежей, не повлиявших на общий результат работы (ошибки при округлении чисел, неточность в построении точек, отсутствие обозначений на чертежах и.т.д.)

ОЦЕНКА «3» (удовлетворительно)

выставляется в случае в основном полного выполнения всех разделов работы при наличии ошибок, которые не оказали существенного влияния на окончательный результат (например, неверное вычисление, что повлекло неверные вычисления всех других параметров; ошибки в построении и.т.д.), при правильном выполнении больше половины объема задания.

ОЦЕНКА «2» (неудовлетворительно)

выставляется в случае, когда допущены принципиальные ошибки в вычислениях (перепутаны формулы, чертежи не соответствуют расчетам, нарушена последовательность выполнения вычислений, работа выполнена крайне небрежно и.т.д.)

Перечень самостоятельных работ

№ практического

занятия

Формы и методы контроля

Наименование темы и содержание

1.

Сообщение, презентация «Математика в профессиональной деятельности»

Проверка выполнения заданий

2.

Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы. Определители 4-го порядка.

Проверка выполнения заданий

3

Решение систем уравнений.

Проверка выполнения заданий

4

Расчетная работа - решение систем уравнений различными методами

Проверка выполнения заданий

5

Работа с конспектом, с учебным материалом

Проверка выполнения заданий

6

Решение задач (аналит. геом.)

Проверка выполнения заданий

7

Расчетная работа по разделу «Векторы»

Проверка выполнения заданий

8

Домашняя работа по выполнению расчетов - упражнения (предел функции)

Проверка выполнения заданий

9

Домашняя работа по выполнению расчетов - вычисление пределов

Проверка выполнения заданий

10

Домашняя работа по выполнению расчетов - исследование построение графика функции

Проверка выполнения заданий

11

Домашняя работа по выполнению расчетов - упражнения. (дифференциал)

Проверка выполнения заданий

12

Расчетная работа по разделу (№ 4«Дифференциальное исчисление»)

Проверка выполнения заданий

13

Домашняя работа по выполнению расчетов - Вычисление интегралов

Проверка выполнения заданий

14

Домашняя работа по выполнению расчетов - Вычисление интегралов, площадь фигуры.

Проверка выполнения заданий

15

Расчетная работа по разделу (№ 5 «Интегральное исчисление)

Проверка выполнения заданий

16

Домашняя работа по выполнению расчетов - решение уравнений (диф. уравн.)

Проверка выполнения заданий

17

Расчетная работа по разделу (диф. ур.)

Проверка выполнения заданий

18

Домашняя работа по выполнению расчетов - Действия с комплексными числами

Проверка выполнения заданий

19

Презентация по теме «Комплексные числа»

Проверка выполнения заданий

20

Работа с конспектом, с учебным материалом, дополнение (численное интегрирование)

Проверка выполнения заданий

Самостоятельная работа № 1

Сообщение, презентация по теме: «Математика в профессиональной деятельности» (привести примеры, задачи профессионального характера).

Самостоятельная работа № 2

Вычисление обратной матрицы по алгоритму (привести пример)

Определители четвертого порядка (самостоятельно изучить по конспекту лекции, разобрать пример с решением, выполнить 1-2 примера по вычислению определителя 4 –того порядка)

Вычислить определители 4-го порядка:

Пример. Вычислить определитель матрицы

Решение. Разложим определитель по элементам 1-го столбца.

Выполнить самостоятельно

А) Б)

В) Г)

Самостоятельная работа – выполнение действий с матрицами.

Задание . Выполнить действия

Сложить матрицы А и В, если:

а) ,

б),

в) ,

Задание. Умножить матрицу на число k=8.

Найти матрицу, противоположную матрице А=

Задание. Найти произведение матриц АВ, если:

а) ,

б) ,

в),

г) , д),

Задание. Вычислить линейную комбинацию матриц 2А+3В-С, если

, ,

Вычислить а) , б) , где

,

Самостоятельная работа № 3-4

Расчетная работа – решение систем разными способами.

Пример 1. Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Решение. Вычислим определитель системы и определители и:

.

_{Ответ: (1;2)}

Пример.

Решить систему уравнений

представив ее в виде матричного уравнения.

Решение. Перепишем систему в виде АХ=В, где

, ,

Решение матричного уравнения имеет вид .

Найдем обратную матрицу :

, , ,

Таким образом , откуда

Следовательно, х=2, y=3, z=-2.

Ответ:(2;3;-2)

Вариант 1

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 2

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 3

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 4

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 5

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 6

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 7

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 8

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 9

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 10

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 11

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 12

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 13

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 14

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 15

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 16

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера;

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 17

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 18

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 19

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 20

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 21

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Вариант 22

Решить систему тремя способами:

- по формулам Крамера

- матричным методом;

- методом Гаусса.

Задание. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трёх видов: . Необходимые характеристики указаны в таблице.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного вида продукции, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

сапог

кроссовок

ботинок

S₁

S₂

S₃

5

2

3

3

1

2

4

1

2

2700

900

1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает x₁ – единиц продукции первого вида, x₂ - единиц продукции второго вида, x₃ - единиц продукции третьего вида . Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему.

Решаем систему линейных уравнений любым способом. Решим данную систему, например, методом Гаусса. Составим матрицу из коэффициентов стоящих перед неизвестными и из свободных членов.

Обнуляем первый столбец, кроме первого элемента

1. Первую строчку оставляем без изменения

2. Вместо второй записываем сумму первой, умноженной на -2 и второй, умноженной на 5

3. Вместо третьей записываем сумму первой, умноженной на -3 и третьей, умноженной на 5

Аналогично обнуляем второй столбец под элементом второй строки второго столбца

˜˜

Вернемся к системе

Т.е. фабрика выпускает 200- единиц продукции первого вида, 300- единиц продукции второго вида и 200- единиц продукции третьего вида.

Самостоятельно

1. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок, при этом используется сырьё трёх типов: . Нормы расхода каждого из них на изготовление одной пары обуви и объем расхода сырья за один день заданы в таблице.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одной пары, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

сапог

кроссовок

ботинок

S₁

S₂

S₃

2

2

2

5

0

1

1

4

1

18

20

10

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

2. Предприятие выпускает изделие трех наименовании: A, B, C при этом используется сырьё трёх типов: . Необходимые характеристики указаны в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Вид сырья

Расход сырья по видам продукции, вес. ед. /изд.

Запас сырья, вес. ед.

А

В

С

S₁

S₂

S₃

2

2

1

2

1

1

1

1

2

6

5

9

3. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип заготовки

Способ раскроя

1

2

3

А

В

С

3

1

4

2

6

1

1

2

5

Найти количество листов материалов, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами.

4. Автомобильный завод специализируется по выпуску изделий трех видов: А, В, С, при этом используется сырьё трёх типов: . Необходимые характеристики указаны в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Вид сырья

Расход сырья по видам продукции, вес. ед. /изд.

Запас сырья, вес. ед.

А

В

С

S₁

S₂

S₃

6

4

5

4

3

2

5

1

3

2400

1450

1550

5. Предприятие выпускает изделие трех наименовании: стулья, табуретки и столы, при этом используется сырьё трёх типов: . Нормы расхода каждого из них на изготовление одного изделия и объем расхода сырья за один день заданы в таблице.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

стул

стол

табуретка

S₁

S₂

S₃

10

4

6

3

1

2

4

1

2

270

90

160

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

6. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Используются ткани трех типов Т₁, Т₂, Т₃. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие и объем расхода сырья за один день заданы в таблице. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида изделия.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия, усл. ед

Расход сырья за один день, усл. ед.

Зимнее пальто

Демисезонное пальто

Плащ

Т₁

10

6

16

270

Т₂

4

2

2

90

Т₃

6

4

4

160

7. Кондитерская фабрика специализируется по выпуску трех видов тортов: “Классический”, ” Идеал “ и “Воздушный” , при этом используется сырьё трёх типов: . Необходимые характеристики указаны в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия, усл. ед.

Запас сырья, усл. ед.

“Классический”

"Идеал“

“Воздушный”

S₁

S₂

S₃

3

3

6

1

3

2

3

3

1

18

20

10

8. Предприятие занимается сборкой бытовой электронной аппаратуры трех наименовании: телевизоров, стереосистем и акустических систем, при этом используется сырьё трёх типов: . Нормы расхода сырья на изготовление одного изделия и объем расхода сырья за один день заданы в таблице.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одной пары, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

телевизор

стереосистема

акустическая система

S₁

S₂

S₃

10

4

6

6

2

4

8

2

4

270

90

160

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

9. На предприятие с работниками четырех категорий привезли заработную плату в купюрах следующего достоинства: по 100 рублей -1850 купюр, по 50 рублей – 230 купюр, по 10 рублей – 250 купюр, по 1 рублю – 740 купюр. Распределение купюр по категориям представлены в таблице. Определить, сколько сотрудников каждой категории работает на предприятии.

   Достоинство купюры, руб.

   Распределение купюр по категориям

   Общее количество купюр

   1

   2

   3

   4

   100

   50

   10

   1

   9

   1

   1

   2

   7

   0

   1

   3

   4

   1

   0

   2

   2

   1

   1

   1

   1850

   230

   250

   740

10. Завод производит электронные приборы трех видов (прибор А, прибор В и прибор С), используя при сборке микросхемы трех видов (тип 1, тип 2, и тип 3). Расход микросхем и объем расхода сырья за один день заданы в таблице. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида приборов.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на изготовление одного прибора, усл. ед.

Расход сырья за один день, усл. ед.

Прибор А

Прибор В

Прибор С

Тип 1

Тип 2

Тип 3

2

2

2

5

0

1

1

4

1

500

400

400

Самостоятельная работа № 8-9

Расчетная работа – вычисление пределов, непрерывность.

Задания

Вычислить

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

Самостоятельная работа № 10, 12

Работа с конспектом, с учебным материалом, применение производной, график.

Упражнения

1. Найти производную функции

2. Вычислить производные следующих функций

а) =3 ⁴ 5sin + 4e^x + 2; b) = ; в) , г)

;

3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

в его точке с абсциссой

4. Вычислить: +

5. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону

(м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 сек. после начала его движения.

6. Найти промежутки возрастания функции y=2

7. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

в его точке с абсциссой х=3.

8. Найдите область определения функции

9. Найдите точки экстремума

10. Упростите

11. Найдите промежутки убывания функции

12. Найдите промежутки возрастания функции

13. Найдите наименьшее значение функции

на промежутке

14. Решите неравенство

15. Найдите точки экстремума функции

16. Вычислите

17. Найти значение производной функции

18. .Найдите наибольшее значение функции на промежутке

19. Найти экстремум функции

20. Найти производную функции.

;

21. Найдите промежутки возрастания (убывания) функции

;

22. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

а) в его точке с абсциссой x=3

б)в его точке с абсциссой x= -

23. Найдите точки экстремума функции

24. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

на промежутке

на промежутке

на промежутке

на промежутке

• Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и построить график функции f(x)=x³ - 3x² - 45x + 20

Решение

Воспользуемся некоторыми пунктами исследования функции:

1. Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Эта функция не является четной или нечетной. График этой функции не имеет асимптот.

2. Найдем первую производную и определим соответствующие свойства

функции. f^’(x)=3x² – 6x –45. Решим уравнение 3х² – 6х – 45 = 0. Корнями уравнения являются числа (-3) и 5.

Воспользуемся таблицей:

х

(-; -3)

-3

(-3;5)

5

(5;)

f^’(x)

+

0

-

0

+

f(x)

max

min

Функция возрастает в интервалах (-;-3] и [5;), убывает в интервале [-3; 5].

Функция имеет максимальное значение f(-3)=101, имеет минимальное значение

f(5)= - 155.

3. Найдем вторую производную f^”(x)=(3x² – 6x –45)^’=6x-6.

Решим уравнение 6х-6=0. Решением уравнения является х=1.

Для определения свойств функции воспользуемся таблицей:

х

(-; 1)

1

(1;)

f^”(x)

-

0

+

f(x)



выпуклая

точка

перегиба



вогнутая

4. Для построения графика функции воспользуемся результатами вычислений, оформленными в виде таблицы:

х

- 6

-5

-3

- 1

0

1

2

4

5

7

9

f(x)

- 34

45

101

61

20

- 27

-74

-144

-155

-99

101

max

пер.

min

• Составить уравнение касательной к графику функции

Решение: Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной и уравнением касательной, проведенной к графику функции в заданной точке

г)

Сделаем рисунок

• Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить график.

Решение: Исследование будем проводить по следующей схеме:

1. Область определения функции. В нашем примере это есть множество всех действительных чисел, кроме х = -2, то ест

2. Таким образом, замечаем, что в точке х = -2 может быть разрыв, определим его вид, исследовав поведение функции в точке х = -2.

3. Четность функции:

4.Найдем точки пересечения графика с осями:

5.Исследуем поведение функции на бесконечности и найдем горизонтальную асимптоту или наклонную.

6 .Интервалы монотонности и точки экстремума.

а) вычислим производную f(x):

Решим уравнение, т. е. найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует, их называют критическими точками.

Отметим на оси ОХ найденные точки:

Рисунок …

Определим знак производной на каждом из полученных интервалов методом пробной точки

Точка х=-3 - точка минимума, так как в ней производная равна нулю, а при переходе через нее меняет знак с « +» на «-».

Точка х=-1- точка максимума, так как в ней производная равна нулю, а при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-».

Точка х=-2- не экстремальная точка, т.к. в ней производная не существует.

б) Вычислим значение функции в точках экстремумов:

f(-3)=6, f(-1)=2 -это и есть экстремумы функции.

7. Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции с помощью второй производной. Вычислим производную от первой производной.

Отметим на оси ОХ точку х=-2, определим знак второй производной на каждом промежутке:

не точка перегиба, следовательно, на

Согласно выводам, полученным в результате исследования, последовательно строим график.

рисунок

• Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и построить график.

1. y= x+

2. y=

3. y=

4. y=

5. y=

6. y=

7. y=

8. y=

9. y=

10) y =

Самостоятельная работа № 11

Расчетная работа по теме дифференциал, производная (выполнить не менее пяти примеров по вычислению дифференциала, вычислению производных, использовать самостоятельную работу № 4, подобрать 5 и более примеров вычисления производной сложной функции)

Самостоятельная работа № 13 -15

вычисление интегралов, вычисление площади фигур

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y=ax²+bx+c и прямой y=kx+b. Сделать чертеж.

1. y =x²+4x+1, y=x+1

2. y =x²-6x+7, y=x+1

3. y =x²+6x-5, y=x–5

4. y =x²-6x+7, y=x+7

5. y =-x²+6x+1, y=-x+1

6. y =x²+6x+7, y=x+7

7. y =-x²-6x-5, y=x+1

8. y =x²+6x+7, y=-x+1

9. y =-x²-6x-5, y=-x-5

10. y = x²-4x+1, y=x+1

Пример 1. Интегрирование по частям

Пример 2

Пример 3. Вычислим интеграл (метод подстановки)

Пример 4. - данный интеграл почти табличный и поэтому легко вычисляется. Однако такие интегралы можно вычислять и с помощью замены переменной:

Табличный метод

Пример 1. воспользовались табличным интегралом и свойством степени с отрицательным показателем.

Пример 2. Аналогично находим

Пример 3. Используя, табличный интеграл находим

Пример 4. Подставляя, а = в табличный интеграл, получим

Пример 5. Воспользуемся табличным интегралом для вычисления

Для вычисления следующих интегралов используем таблицу и основные свойства неопределенного интеграла.

Пример 6.

Пример 7.

Рассмотрим почти табличные интегралы:

Пример 8. Воспользуемся интегралом и свойством:

Пример 9. Выполнив элементарные преобразования, сведем данный интеграл к интегралу:

Пример 10. .Воспользуемся формулой понижения степени и свойствами:

Вычислите интеграл (выборочно не менее пяти примеров)

1. 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8. 16.

Вычислить интегралы

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. dx.

9. dx.

10. dx.

11. dx.

12. dx.

13. dx.

14. dx.

15. dx.

16. dx.

17. dx.

18. dx.

19. dx.

20. dx.

21. dx.

22. dx.

23. dx.

24. dx.

25. 

26. dx

27. dx

28. 

1. 16.

2. 17.

3. 18.

4. 19.

5. 20.

6.21.

7. 22.

8. 23.

9. 24.

10. 25.

11. 26.

12. 27.

13. 28.

14. 29.

15. 30.

Самостоятельная работа № 15

Применение интегралов – сообщение, презентация с примерами

Самостоятельная работа № 16-17

решение уравнений дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Решить дифференциальные уравнения

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Литература

Основные источники:

1. Богомолов Н. В., Сб. задач по математике: учеб. пособие для среднего профобразования/Н.В. Богомолов. –6-е изд., стер. – [б.м.]: Дрофа, 2010. – 205 с.

2. Богомолов Н. В Математики: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – стереотип. – М. : Дрофа, 2010 – 395 с

3. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образов.учреждений сред. проф. образования / И.Д. Пехлецкий - 6 изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2010. -304с

Дополнительная литература

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А.Бутко, И.М.Тришин, М.Н.Фрицман; П проф. од редакцией Н.Ш. Кремера. – перераб. и доп. – М.:ЮНИТИ, 2013. – 471с