Методические указания для студентов по проведению практических занятий (2 курс СПО)

Методические указания для студентов по проведению практических занятий

150208 Технология машиностроения

____________                                        «Математика»___________________

(Наименование дисциплины)

Составитель: Александров А.А.                 Преподаватель математики

ГБПОУ  МТК

(занимаемая должность и место работы)

Рецензенты: _______________________                    ________________________________  (Фамилия, И.О.)                                          (занимаемая должность и место работы)

2015

Методические указания по проведению практических работ предназначены для студентов и являются основным материалом для подготовки и проведения практических занятий.

Предисловие

Основной задачей изучения курса математики студентами указанных специальностей является овладение ими  знаний основных математических положений и  методов, необходимых в дальнейшем для того, чтобы применять полученные знания при решении практических задач.

Практические занятия предназначены для закрепления и проверки умений студентов применять полученные теоретические знания на практике. Поэтому к подготовке и выполнению практических занятий требуется относиться с полной ответственностью и серьезностью. Перед выполнением практического занятия необходимо изучить теоретический материал, предшествующий данной практической работе, внимательно прочитать теоретические сведения к самому занятию и ответить на поставленные вопросы. Выполнения самой работы заключается в  самостоятельном решении указанных  в задании задач и оформлении отчета в тетрадях для практических занятий.

Правила выполнения практического занятия:

1.    В начале выполнения работы указывается число,  номер и тема занятия.

2.    Каждое задание должно быть аккуратно оформлено и содержать краткое условие задачи, решение и ответ.

3.    В конце занятия тетради с работами сдаются преподавателю для проверки.

Практическое занятие №1:

Построение графиков реальных функций с помощью геометрических преобразований.

Цель работы

Закрепление навыков построения графиков функций, используя геометрические преобразования.

Пояснение к работе

Теоретические сведения

Рассмотрим какую-нибудь элементарную функцию, например, .  Однозначно не составит труда построить кубическую параболу, но что делать, если требуется начертить график функции   или ?  Совершенно не нужно тратить уйму времени и проводить полное исследование функции, достаточно выполнить некоторые геометрические преобразования кубической параболы . График функции можно сжимать/растягивать, сдвигать вдоль осей, симметрично отображать.

Есть и рабочий способ построения графиков функций, для этого нужно составить таблицу значений и получить точки, которые останется только соединить. Однако знания геометрических преобразований позволят вам быстро понять, как расположен график, а в несложных случаях вроде  практически мгновенно его нарисовать! Навыки грамотно разбираться с чертежами потребуются в различных задачах высшей математики, например, при исследовании функции на непрерывность, нахождении площади фигуры, объема тела вращения, в ходе вычисления двойных интегралов и т.д.

Кроме того, поточечное построение бывает не всегда удобным, так, значения периодической функции  можно находить весьма долго.

Перед тем как перейти непосредственно к примерам напомню некоторые теоретические моменты. Актуализирую два особо нужных сейчас термина: «икс» – независимая переменная или АРГУМЕНТ, «игрек» – зависимая переменная или ФУНКЦИЯ. При этом функцию можно обозначать как через «игрек», так равноценно и через «эф от икс», например:

Сжатие (растяжение) графика к (от) оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси

Сжатие графика функции к оси ординат

Это случай когда АРГУМЕНТ функции умножен на число, бОльшее единицы.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции  сжать к оси  в  раз.

Пример 1

Построить график функции .

Сначала изобразим график синуса, его период равен :

К слову, чертить графики тригонометрических функций вручную – занятие кропотливое, поскольку  и т.д., то есть на стандартной клетчатой бумаге аккуратным нужно быть вплоть до миллиметра, даже до полумиллиметра.

Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её к оси  в 2 раза:

То есть, график функции  получается путём сжатия графика  к оси ординат в два раза. Логично, что период итоговой функции тоже уполовинился:  Пример 2

Построить график функции

«Чёрная гармошка»  сжимается к оси  в 3 раза:

Итоговый график  проведён красным цветом.
Исходный период  косинуса закономерно уменьшается в три раза:  (отграничен жёлтыми точками).

Растяжение графика функции от оси ординат

Это противоположное действие, теперь баян не сжимается, а растягивается.
Случай имеет место, когда АРГУМЕНТ функции умножается на число .

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции  растянуть от оси  в  раз.

Продолжим мучить синус:

Пример 3

Построить график функции

Берём в руки нашу «бесконечную гармошку»:

И растягиваем её от оси  в 2 раза:

То есть, график функции  получается путём растяжения графика  от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: , он толком даже не вместился на данный чертёж.

Операции сжатия/растяжения графиков, разумеется, выполнимы не только для тригонометрических функций:

Пример 4

Построить графики функций

График функции  получается путём сжатия графика экспоненты  к оси  в два раза. А график  – путём растяжения графика экспоненты  от оси  в два раза:

В качестве ассоциации можете опять поиграть на «баяне» .

Продолжаем систематизировать  умножение аргумента функции на число:
Мы рассмотрели два случая – сжатие () и растяжение ().

Очевидно, что нет практического смысла рассматривать значения . Есть более интересный вопрос: что происходит, когда аргумент умножается на отрицательное число? Ответ будет получен чуть позже, а пока рассмотрим распространённый частный случай, когда :

Симметричное отображение графика функции относительно оси ординат

АРГУМЕНТ функции меняет знак.

Правило: чтобы построить график функции , нужно график  отобразить симметрично относительно оси .

Пример 5. Построить график функции

График функции  получается путём симметричного отображения графика  относительно оси ординат:

Как видите, всё просто.

Если при умножении аргумента на число  значение параметра  отрицательно и не равно минус единице, то построение выполняется в два шага. Например: . На первом шаге выполняем сжатие графика  к оси ординат в 2 раза: . На втором шаге график  отображаем симметрично относительно оси ординат: .

Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

Если к АРГУМЕНТУ функции  добавляется константа, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси . Рассмотрим функцию  и положительное число :

Правила:
1) чтобы построить график функции , нужно график  сдвинуть ВДОЛЬ оси  на  единиц влево;
2) чтобы построить график функции , нужно график  сдвинуть ВДОЛЬ оси  на  единиц вправо.

Пример 6

Построить график функции

Берём параболу  и сдвигаем её вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо:

«Опознавательным маячком» служит значение , именно здесь находится вершина параболы .

Теперь, думаю, ни у кого не возникнет трудностей с построением графика  (демонстрационный пример начала урока) – кубическую параболу  нужно сдвинуть на 2 единицы влево.

Вот ещё один характерный случай:

Пример 7

Построить график функции

Гиперболу  (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси  на 2 единицы влево:

Перемещение гиперболы «выдаёт» значение, которое не входит в область определения функции. В данном примере , и уравнение прямой   задаёт вертикальную асимптоту (красный пунктир) графика функции  (красная сплошная линия). Таким образом, при параллельном переносе асимптота графика тоже сдвигается (что очевидно).

Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: , при этом параметр «ка» не равен нулю или единице, параметр «бэ» – не равен нулю. Как построить график такой функции? Из школьного курса мы знаем, что умножение имеет приоритет перед сложением, поэтому, казалось бы, сначала график сжимаем/растягиваем/отображаем в зависимости от значения , а потом сдвигаем на  единиц. Но здесь есть подводный камень, и корректный алгоритм таков:

Аргумент функции необходимо представить в виде  и последовательно выполнить следующие преобразования:

1) График функции  сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат: (если , то график дополнительно следует отобразить симметрично относительно оси ).

2) График полученной функции  сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси  абсцисс на  (!!!) единиц, в результате чего будет построен искомый график .

Пример 8

Построить график функции  

Представим функцию в виде  и выполним следующие преобразования: синусоиду  (чёрный цвет):

1) сожмём к оси  в два раза: (синий цвет);
2) сдвинем вдоль оси  на  (!!!) влево:  (красный цвет):

Растяжение (сжатие) графика ВДОЛЬ оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс

Структура второй части статьи будет очень похожа.

1) Если ФУНКЦИЯ  умножается на число , то происходит растяжение её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции  растянуть вдоль оси  в  раз.

2) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции  сжать вдоль оси  в   раз.

Догадайтесь, какую функцию я буду снова пытать =)

Пример 9

Построить графики функций .

Берём синусоиду за макушку/пятки:

И вытягиваем её вдоль оси   в 2 раза:

Период функции  не изменился и составляет , а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: .

Теперь сожмём синусоиду вдоль оси   в 2 раза:

Аналогично, период  не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза: .

остроить графики функций .

Возьмём рога молодого оленя  и вытянем их вверх вдоль оси  в два раза: . Затем сожмём  вдоль оси ординат в 2 раза:

И снова заметьте, что значения функции  увеличиваются в 2 раза, а значения  уменьшаются во столько же раз (исключение составляет точка ).

Если ФУНКЦИЯ меняет знак на противоположный, то её график отображается симметрично относительно оси абсцисс.

Правило: чтобы построить график функции , нужно график  отобразить симметрично относительно оси .

Сдвиг графика вверх/вниз вдоль оси ординат

Настала пора дать передышку ногам и сесть в лифт.

Если к ФУНКЦИИ  добавляется константа, то происходит сдвиг (параллельный перенос) её графика вдоль оси . Рассмотрим функцию  и положительное число :

Правила:
1) чтобы построить график функции , нужно график  сдвинуть ВДОЛЬ оси  на  единиц вверх;
2) чтобы построить график функции , нужно график  сдвинуть ВДОЛЬ оси  на  единиц вниз.

Пример 10

Построить графики функций .

Комбинационное построение графика  в общем случае осуществляется очевидным образом:

1) График функции  растягиваем (сжимаем) вдоль оси . Если множитель отрицателен, дополнительно осуществляем симметричное отображение относительно оси .

2) Полученный на первом шаге график  сдвигаем вверх или вниз в соответствии со значением константы .

Графики функций с модулем

Сначала посмотрим, что происходит, когда модуль применяется к АРГУМЕНТУ функции.

Правило: график функции  получается из графика функции  следующим образом: при  график функции  сохраняется, а при  «сохранённая часть» отображается симметрично относительно оси .

Пример 11

Построить график функции

И снова вечная картина:

Согласно правилу, при  график сохраняется:

И сохранившаяся часть отображается симметрично относительно оси   в левую полуплоскость:

Действительно, функция  – чётная, и её график симметричен относительно оси ординат. Поясню детальнее смысл симметрии. Посмотрим на два противоположных значения аргумента, например, на  и . А какая разница? Модуль всё равно уничтожит знак «минус»: , то есть значения функции будут располагаться на одной высоте.

Функцию от модуля можно расписать в так называемом кусочном виде по следующему правилу: . В данном случае:

То есть, правая волна графика  задаётся функцией , а левая волна – функцией  (см. Пример 13).

Пример 12

Построить график функции

Аналогично, ветвь «обычной» экспоненты  правой полуплоскости отображаем симметрично относительно оси  в левую полуплоскость:

Распишем функцию в кусочном виде: , то есть правая ветвь задаётся графиком функции , а левая ветвь графиком .

Модуль не имеет смысл «навешивать» на аргумент чётной функции:  и т.п. (проанализируйте, почему).

И, наконец, завершим статью весёлой нотой – применим модуль к САМОЙ ФУНКЦИИ.

Правило: график функции  получается из графика функции  следующим образом: часть графика , лежащая НАД осью  сохраняется, а часть графика , лежащая ПОД осью  отображается симметрично относительно данной оси.

Странно, что широко известный график модуля «икс» оказался на 24-ой позиции, но факт остаётся фактом =)

Пример 13

Построить график функции

Сначала начертим прямую, известную широкому кругу лиц:

Часть графика, которая ВЫШЕ оси , остаётся неизменной, а часть графика, которая НИЖЕ оси  – отображается симметрично в верхнюю полуплоскость:

Модуль функции также раскрывается аналитически в кусочном виде:

Внимание! Формула отличается от формулы предыдущего пункта!

В данном случае: , действительно, правый луч задаётся уравнением , а левый луч – уравнением .

Кстати,  – редкий экземпляр, когда можно считать, что модуль применён, как к аргументу: , так и  к самой функции: . Изучим более «жизненную» ситуацию:

Пример 14

Построить график функции

Сначала изобразим график линейной функции :

То, что ВЫШЕ оси абсцисс – не трогаем, а то, что НИЖЕ – отобразим симметрично относительно оси  в верхнюю полуплоскость:

Согласно формуле , распишем функцию аналитически в кусочном виде: .

Или, упрощая оба этажа: , то есть правый луч задаётся функцией , а левый луч – функцией . Сомневающиеся могут взять несколько значений «икс», выполнить подстановку и свериться с графиком.

На какие функции модуль «не действует»? Модуль бессмысленно применять к неотрицательным функциям. Например: . Экспоненциальная функция и так полностью лежит в верхней полуплоскости: .

Задание

1)     Построить с помощью простейших геометрических преобразований функцию:

1 Уровень	2 уровень	3 уровень

2)     Используя модульные преобразования построить функцию:

1 Уровень	2 уровень	3 уровень

3)     Построить кусочно-заданную функцию:

1 Уровень:

2 Уровень:

3 Уровень:

Практическое занятие №2:

Нахождение пределов функций с помощью замечательных пределов.

Цель работы

Закрепление навыков вычисления пределов функций с помощью первого и второго замечательных пределов.

Пояснение к работе

Теоретические сведения

Рассмотрим следующий предел:  В курсе математического анализа, доказывается, что:

  Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.

Нередко в практических  заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:

 – тот же самый первый замечательный предел.

Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

На практике в качестве параметра  может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры:
, , ,

Здесь , , , – первый замечательный предел применим.

А вот следующая запись неверна:

Потому что многочлен  не стремится к нулю, он стремится к пятерке.

Переходим к рассмотрению практических примеров:

Пример 1

Найти предел

Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.

Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .

В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:

То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:

Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:

Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:

Пример 2

Найти предел

Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить :

Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:

Собственно, ответ готов:

Пример 3

Найти предел

В данном случае:

Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):

Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.

Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:

Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:

В итоге получена бесконечность

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка:  – это иррациональное число.

В качестве параметра  может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 4

Найти предел

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Нетрудно заметить, что при  основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать  . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :

Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:

Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель:

Пример 5

Найти предел

Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.

Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать :

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Вроде бы основание стало напоминать , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:

Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел .
Легко заметить, что в данном примере . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь :

Наконец-то долгожданное  устроено, с чистой совестью превращаем его в букву :

Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида . Делим числитель и знаменатель на :

Готово.

А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:

Пример 6

Найти предел

Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена знакомая неопределенность . Очевидно, что в данном примере . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию :

Выражение  со спокойной душой превращаем в букву :

Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида . Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?):

Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:

Задание

Вариант 1:

№1       

№2       

№3       

№4       

№5       

№6       

Вариант 2:

№1       

№2       

№3       

№4       

№5       

№6       

Практическое занятие №3:

Решение задач на производную

Цель работы

Закрепление навыков вычисления производных первого и второго порядка.

Пояснение к работе

Теоретические сведения

1.  Пусть на некотором промежутке   определена функция .  Разность  называется приращением аргумента, а разность  − приращением функции  на отрезке .  Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю:

                                                       (1)

Производная есть скорость изменения функции в точке . Геометрически значение производной в точке численно равно значению тангенса угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой к положительному направлению оси .

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Правила дифференцирования

Если функции и  дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

1)  ;        2) ;

3) ;        4) ,

где  − постоянная.

Правила дифференцирования сложной

и параметрически заданной функции

1.     Если сложная функция, а  и − дифференцируемые функции, то

.

2.     Если функция аргумента  задана параметрическими уравнениями                , то или

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

простейших элементарных функций

I . ;

II.  , в частности , ;

III. , в частности ;

IV. , в частности ;

V.  ;                                           VI.   ;

VII.;                                      VIII. ;

IX.   ;                                   X.     ;

XI.  ;                                 XII. .

1. Производной второго порядка (второй производной) функции  называется производная от ее производной первого порядка и обозначается   или , или .

Аналогично определяются производные высших порядков.

Если функция задана параметрически, то

.

2. Дифференциалом функции  в точке  называется главная, линейная относительно , часть приращения функции. Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента: .

Дифференциал функции равен произведению его производной на дифференциал аргумента: .

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то  и  ,                                                            (2)

то есть дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

3.  Уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой   имеет вид ,                                         (3)

а уравнение нормали .                                         (4)

Примеры решения задач:

Примеры.

1.     Если , то

2.     Найти производную функции в точке.

y = x³ – 3x² + 5x + 2. Найдем y '(–1).

y ' = 3x² – 6x+ 5. Следовательно, y '(–1) = 14.

3.     y = ln x · cos x, то y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙cos x – ln x · sin x.

4.    

5.     Найти производную сложной функции:

а)

y ' =

=

б)

Задание:

Вариант 1

Вычислите производные:

№1     

№2     

№3     

№4     

№5      x

№6     

Вариант 2

Вычислите производные:

№1     

№2     

№3     

№4     

№5      x

№6     

Практическое занятие №4:

Решение задач на интегрирование

Цель работы

Закрепление навыков вычисления неопределенных и определенных интегралов.

Изучение методов интегрирования по частям и замены переменной.

Пояснение к работе

Теоретические сведения

Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов

Определение   Пусть   -- функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для  называется неопределённым интегралом от и обозначается . Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию. Функция , записанная после знака интеграла (или, как часто говорят, под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.     

Свойства неопределенного интеграла

     1. .          2. .         3. .   

     4. . 5. .

Таблица неопределенных интегралов

1.  .                   5. .

2. .                                         6. .  

3. .                                      7. .

4.  .                                       8.  .  

9. .                              11. .

10. .                                12. .

      Фактически 10 первых табличных интегралов могут быть получены из таблицы производных, читаемой справа налево. Здесь u  может быть как  независимой переменной, так  и  дифференцируемой  функцией  от  х:  , С – произвольное

число.

      Кроме этих 12 интегралов желательно знать наизусть несколько легко вычисляемых интегралов.

1. .                                    4. . 

2. .                              5. .        

3. .                 6. .

      При вычислении интегралов они сводятся к одному или нескольким табличным с помощью методов интегрирования. При этом произвольная постоянная ставится после последнего взятого интеграла.

Интегрирование по частям

       Если  - дифференцируемые функции, то справедлива следующая формула интегрирования по частям:  . При нахождении    подынтегральное выражение    разбивают на два сомножителя  (u  и dv)  таким образом, чтобы вновь образованный интеграл    был табличным или сводился к табличному.

По частям берутся интегралы следующих видов:

1) , ,  – логарифм, логарифм, умноженный на какой-нибудь многочлен.

2) , – экспоненциальная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен. Сюда же можно отнести интегралы вроде  – показательная функция, умноженная на многочлен, но на практике процентах так в 97, под интегралом красуется симпатичная буква «е». … что-то лирической получается статья, ах да… весна же пришла.

3) , ,  – тригонометрические функции, умноженные на какой-нибудь многочлен.

4) ,  – обратные тригонометрические функции («арки»), «арки», умноженные на какой-нибудь многочлен.

Также по частям берутся некоторые дроби

Общее правило: за  всегда обозначается многочлен

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

Решение:

Используя знакомый алгоритм, интегрируем по частям:

Пример 2

Найти неопределенный интеграл.

Интегрируем по частям:

Пример 3

Найти неопределенный интеграл.

Решаем.

Интегрируем по частям:

Замена переменной в неопределённом интеграле
(интегрирование подстановкой)

Пусть . Тогда . Здесь t(x) - дифференцируемая монотонная функция.
Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: , и задача сводится к вычислению интеграла .

Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате (возвращаемся к исходной переменной) .

Пример 4

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену:  (другую замену здесь трудно придумать)

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл.

Определенный интеграл и его приложения

      Пусть функция   определена на отрезке . Разобьем этот отрезок произвольно на  n  частей точками  . В каждом из образовавшихся отрезков возьмем произвольную точку   и вычислим значение функции . Обозначив длину соответствующего отрезка    составим сумму  , которая называется  интегральной  суммой функции  на отрезке .

      Определение.  Предел интегральной суммы при условии, что число частичных отрезков неограниченно увеличивается, а длина наибольшего из них стремится к нулю, называется определенным интегралом от функции  на отрезке ,

                                    т. е. .

Заметим, чтобы существовал предел, т. е. чтобы существовал определенный интеграл, достаточно, чтобы подынтегральная функция  была на отрезке интегрирования  непрерывной.

Свойства определенного интеграла

      1. .

      2. .

      3. , где .

      4. Если , то  .

      5. Теорема об оценке определенного интеграла. Если  m - наименьшее, М – наибольшее значения  на , то    .

      6. Теорема о среднем  значении   на . Если  непрерывна на , то на этом отрезке существует такая точка , что   .

      7. Геометрический смысл определенного интеграла: если   , то  численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , отрезком  оси ОХ и прямыми  .

Формула Ньютона-Лейбница

      Чтобы вычислить определенный интеграл на отрезке   от непрерывной на этом отрезке функции  , надо найти первообразную этой функции с помощью неопределенного интеграла, а затем вычислить разность значений этой первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования, т. е. следует воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

                                                

Задание

Вариант 1

Решите интегралы.

№1     

№2       

№3       

№4     

№5     

Вариант 2

Решите интегралы.

№1     

№2       

№3       

№4     

№5     

Практическое занятие №5:

Действия с матрицами.

Цель работы

Закрепление навыков выполнения действий с матрицами.

Пояснение к работе

Теоретические сведения

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

атрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Элементы матрицы a_ij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn .

Равенство матриц.

A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и a_ij=b_ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A'

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Определители.

Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы.

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: . Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой  или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса  в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два»:

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения  высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

 Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 - нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Пример:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Задание

Вариант 1

Для матриц A, B, C, D

Найдите значения выражений: а) AB – E (E- единичная матрица подходящего размера) б) С² – BA в) det C г) det D

Вариант 2

Для матриц A, B, C, D

Найдите значения выражений: а) AB – E (E- единичная матрица подходящего размера) б) С² – BA в) det C г) det D

Практическое занятие №6:

Нахождение обратной матрицы.

Цель работы

Закрепление навыков нахождения обратной матрицы.

Пояснение к работе

Теоретические сведения

Матрица "A" называется обратной матрицей, если выполняется условие A*A^-1 = A^-1*A = E (единичной матрице).

Квадратная матрица обратима только в том случае, когда она является невырожденной.

Свойства обратной матрицы:

Найти обратную матрицу матрицы A

A =		2	4	1
		0	2	1
		2	1	1

Решение: Найдем определитель матрицы A:

det(A) =	2	4	1	= 2·2·1 + 4·1·2 + 1·0·1 - 1·2·2 - 2·1·1 - 4·0·1 = 4 + 8 + 0 - 4 - 2 - 0 = 6
	0	2	1
	2	1	1

Найдем алгебраические дополнения матрицы A:

A11 = (-1)1 + 1·	2	1	= 2·1 - 1·1 = 1
	1	1

A12 = (-1)1 + 2·	0	1	= -(0·1 - 1·2) = 2
	2	1

A13 = (-1)1 + 3·	0	2	= 0·1 - 2·2 = -4
	2	1

A21 = (-1)2 + 1·	4	1	= -(4·1 - 1·1) = -3
	1	1

A22 = (-1)2 + 2·	2	1	= 2·1 - 1·2 = 0
	2	1

A23 = (-1)2 + 3·	2	4	= -(2·1 - 4·2) = 6
	2	1

A31 = (-1)3 + 1·	4	1	= 4·1 - 1·2 = 2
	2	1

A32 = (-1)3 + 2·	2	1	= -(2·1 - 1·0) = -2
	0	1

A33 = (-1)3 + 3·	2	4	= 2·2 - 4·0 = 4
	0	2

Запишем союзную матрицу:

à =		1	2	-4
		-3	0	6
		2	-2	4

Найдем обратную матрицу:

A-1 =  1 ÃT  =  1 det(A) 6

1 -3 2 2 0 -2 -4 6 4

=

1/6 -1/2 1/3 1/3 0 -1/3 -2/3 1 2/3

Ответ: A-1 =		1/6	-1/2	1/3
		1/3	0	-1/3

Задание

Вариант 1:

Для матрицы D найдите ей обратную

Вариант 2:

Для матрицы D найдите ей обратную

Вариант 3:

Для матрицы D найдите ей обратную

Вариант 4:

Для матрицы D найдите ей обратную

Практическое занятие №7:

Решение СЛАУ различными методами

Цель работы

Закрепление навыков решения систем линейных алгебраических уравнений методами Крамера и Гаусса.

Пояснение к работе

Теоретические сведения

Решение системы по формулам Крамера

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель  , его называют главным определителем системы.

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
 и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Решить систему по формулам Крамера. 

Решение: Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: .

Метод  Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений.

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули.

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2: . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ.

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:

Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку:  »

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку:  »

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку:  »

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения:

И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2:

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3:

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО:

А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2:

Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Круто.

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ:

Задание

Вариант 1

Решите систему уравнений                        Решите систему уравнений

 методом Крамера:                                       методом Гаусса:

                          

Вариант 2

Решите систему уравнений                        Решите систему уравнений

 методом Крамера:                                       методом Гаусса:

                      

Вариант 3

Решите систему уравнений                        Решите систему уравнений

 методом Крамера:                                       методом Гаусса:

                      

Вариант 4

Решите систему уравнений                        Решите систему уравнений

 методом Крамера:                                       методом Гаусса:

                      

Вариант 5

Решите систему уравнений                        Решите систему уравнений

 методом Крамера:                                       методом Гаусса:

                          

Вариант 6

Решите систему уравнений                        Решите систему уравнений

 методом Крамера:                                       методом Гаусса:

                          

Вариант 7

Решите систему уравнений                        Решите систему уравнений

 методом Крамера:                                       методом Гаусса:

                            

Вариант 8

Решите систему уравнений                        Решите систему уравнений

 методом Крамера:                                       методом Гаусса:

                            

Практическое занятие №8:

Выполнение операций над множествами.

Цель работы

Ознакомиться и получить навыки реализации операций над множествами

 Пояснение к работе

Теоретические сведения

Множество – простейшая информационная конструкция и математическая структура, позволяющая рассматривать какие-то объекты как целое, связывая их. Объекты, связываемые некоторым множеством, называются элементами этого множества. Если объект связан некоторым множеством, то говорят, что существует вхождение объекта в это множество, а объект принадлежит этому множеству. Допускается неограниченное количество вхождений одного объекта в какое-либо множество. Допускаются множества, каждое из которых имеет только одно вхождение какого-либо единственного элемента этого множества, а также допускается множество, не имеющее вхождений, – пустое множество. Среди множеств выделяют ориентированные множества и неориентированные множества. Множество может быть задано с помощью механизма, процедуры. Если некоторая процедура даёт ответ для любого объекта: является он или нет элементом некоторого множества, то такая процедура называется разрешающей процедурой для такого множества. Если же некоторая процедура позволяет получить любой новый элемент некоторого множества, отличный от известных или выданных ранее элементов этого множества, то такая процедура называется порождающей процедурой для такого множества. Неориентированное множество, имеющее малое количество вхождений, может быть представлено в тексте в следующем виде:

S = {a, b, a, a, c}.

Элементы a, b и c принадлежат множеству с именем S, причём множество S имеет три вхождения элемента a (S|a| = 3) и по одному вхождению элементов b и c (S|b| = S|c| = 1). Неориентированное множество A называют подмножеством неориентированного множества B тогда и только тогда, когда для любого элемента х, который принадлежит множеству A, истинно A|x| ≤ B|x|. Если некоторый элемент х не принадлежит множеству S, то истинно S|x| = 0. Если множество A является подмножеством множества B, то это записывают так:

A ⊆ B.

Неориентированные множества A и B равны тогда и только тогда, когда B ⊆ A и A ⊆ B.

Все вхождения, которые имеет любое ориентированные множество, упорядочены. Два ориентированных множества равны тогда и только тогда, когда все их элементы входят в одинаковом порядке. Ориентированное множество может быть представлено в тексте в следующем виде:

<a, b, a, c>.

Множеством с кратными вхождениями элементов называют множество S тогда и только тогда, когда существует x такой, что истинно S|x| > 1.

Множеством без кратных вхождений элементов называют множество S тогда и только тогда, когда для любого x истинно S|x| < 2.

Пересечением неориентированных множеств A и B с учётом кратных вхождений элементов будем называть неориентированное множество S тогда и только тогда, когда для любого x истинно S|x| = min{A|x|, B|x|}.

Объединением неориентированных множеств A и B с учётом кратных вхождений элементов будем называть неориентированное множество S тогда и только тогда, когда для любого x истинно S|x| = max{A|x|, B|x|}.

Разностью неориентированных множеств A и B с учётом кратных вхождений элементов будем называть неориентированное множество S тогда и только тогда, когда для любого x истинно S|x| = max{A|x|-B|x|, 0}.

Симметрической разностью неориентированных множеств A и B с учётом кратных вхождений элементов будем называть неориентированное множество S тогда и только тогда, когда для любого x истинно S|x| = max{A|x|-B|x|, B|x|-A|x|}.

Суммой неориентированных множеств A и B элементов называют неориентированное множество S тогда и только тогда, когда для любого x истинно S|x| = A|x|+B|x|.

Пересечением неориентированных множеств A и B без учёта кратных вхождений элементов будем называть неориентированное множество S тогда и только тогда, когда для любого x истинно S|x| = min{A|x|, B|x|, 1}.

Объединением неориентированных множеств A и B без учёта кратных вхождений элементов будем называть неориентированное множество S тогда и только тогда, когда для любого x истинно S|x| =min{max{A|x|, B|x|}, 1}.

Разностью неориентированных множеств A и B без учёта кратных вхождений элементов будем называть неориентированное множество S тогда и только тогда, когда для любого x истинно S|x| = max{min{A|x|-B|x|, 1}, 0}.

Симметрической разностью неориентированных множеств A и B без учёта кратных вхождений элементов будем называть неориентированное множество S тогда и только тогда, когда для любого x истинно S|x| = max{min{A|x|, 1}-min{B|x|, 1}, min{B|x|, 1}-min{A|x|, 1}}.

Булеаном неориентированного множества A, которое является множеством без кратных вхождений элементов, называют неориентированное множество S тогда и только тогда, когда для любого x истинно S|x| < 2 и ((S|x|=1) (x ⊆ A)).

Декартовым произведением неориентированных множеств A и B называют неориентированное множество S тогда и только тогда, когда для любого z истинно: если S|z| > 0, то z = <x, y>; S|z| = A|x|*B|y| и наоборот.

Задание

1 Вариант

1.     Даны следующие пары множеств:

1)    , ;

2)    , ;

3)    , ;

4)    , ;

5)    , ;

6)    , ;

7)    , ;

Задание: а) связаны ли пары одним из соотношений: =, , ;

б) найдите пересечение ;

в) найдите разности ;

г) найдите ;

д) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна.

2. Дано множество . Составьте подмножества множества , состоящее из чисел, которые:

а) делятся на 4;                                   б) делятся на 9;

в) делятся на 5;                                   г) делятся на 10.

3. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна отношения включения между множествами  и , если:

а)  – множество натуральных четных чисел,

 – множество натуральных чисел, кратных 5;

б)  – множество квадратов,

 – множество прямоугольников;

в)  – множество квадратов,

 – множество прямоугольных треугольников;

г)  – множество квадратов,

– множество прямоугольников с равными сторонами.

4.     Из каких элементов состоят следующие множества:

а) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 3 и 6;

б) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 5, 6 причем никакие две цифры не встречаются дважды;

в) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 5, 6 причем любые две соседние цифры различны;

г) множество трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 5.

5.     Запишите перечислением элементов следующие множества:

а)  – множество нечетных чисел на отрезке ,

б)  – множество натуральных чисел, меньших 9,

в)  – множество натуральных чисел, больших 14, но меньших 16,

г)  – множество двузначных чисел, делящихся на 9,

2       Вариант

1.     Даны следующие пары множеств:

1)    , ;

2)    , ;

3)    , ;

4)    , ;

5)    , ;

6)    , ;

7)    , ;

Задание: а) связаны ли пары одним из соотношений: =, , ;

б) найдите пересечение ;

в) найдите разности ;

г) найдите ;

д) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна.

2. Дано множество . Составьте подмножества множества , состоящее из чисел, которые:

а) делятся на 4;                                   б) делятся на 9;

в) делятся на 5;                                   г) делятся на 10.

3. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна отношения включения между множествами  и , если:

а)  – множество натуральных нечетных чисел,

 – множество натуральных чисел, кратных 4;

б)  – множество квадратов,

 – множество прямоугольников;

в)  – множество квадратов,

 – множество равнобедренных треугольников;

г)  – множество параллелограммов,

– множество прямоугольников.

4.     Из каких элементов состоят следующие множества:

а) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 2 и 5;

б) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 4, 5, 8 причем никакие две цифры не встречаются дважды;

в) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 4, 5, 8 причем любые две соседние цифры различны;

г) множество трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 6.

5.     Запишите перечислением элементов следующие множества:

а)  – множество нечетных чисел на отрезке .

б)  – множество натуральных чисел, меньших 7.

в)  – множество натуральных чисел, больших 11, но меньших 13.

г)  – множество двузначных чисел, делящихся на 11.

Практическое занятие №9:

Решение примеров на комплексные числа.

Цель работы

Закрепление навыков выполнения операций над комплексными числами

Пояснение к работе

Теоретические сведения

Число вида: z = α + iβ называют комплексными, где – мнимая единица, при этом .

α – действительная часть комплексного числа z. Ее обозначают: α = ReZ;

β – количество мнимых единиц, или мнимая часть комплексного числа:

β = ImZ

Два комплексных числа считаются равными, если равны в отдельности их действительные и мнимые части, т.е.

.

Комплексное число будет равным нулю тогда и только тогда, когда α = 0 и β = 0.

Комплексные числа отличающиеся только знаком мнимой части, называют сопряженными.

Запись комплексного числа в виде принято считать его алгебраической формой.

Модуль радиус-вектора или длина отрезка, соединяющего начало координат с точкой , называют модулем комплексного числа. Он равен:

.

Модуль комплексного числа является действительным числом.

Угол, на который нужно повернуть ось в положительном направлении (против часовой стрелки) до совпадения с радиус-вектором , называют аргументом комплексного числа, обозначают:

Очевидно, что у одного и того же комплексного числа будет бесчисленное множество аргументов. В самом деле, если к углу φ прибавить целое число оборотов, то положение точки на комплексной плоскости не изменится. Угол φ получил название главного значения аргумента комплексного числа. Его обозначают с маленькой буквы:

.

Все значения аргумента комплексного числа обозначают с большой буквы:

где k = 0, 1, 2…

Выразим действительную и мнимую части числа через его модуль и аргумент

Подставляя значения α и β в алгебраическую форму комплексного числа, получим:

.

Последняя формула является тригонометрической формой комплексного числа

Выражение вида

.

называют показательной формой комплексного числа.

Итак, комплексное число можно представить в трех формах:

алгебраической

тригонометрической

показательной

Пример 1. Представить в алгебраической форме комплексное число

.

Решение. Комплексное число дано в показательной форме, его модуль , аргумент . Найдем действительную и мнимую части:

.

Таким образом .

Пример 2. Найти , если ;

.

Рассмотрим умножение комплексных чисел в алгебраической форме.

Даны два числа:

.

Нужно найти произведение .

Перемножим двухчлены по правилам алгебры:

.

если учесть, что то получим:

.

Таким образом, умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по обычным алгебраическим правилам.

Следует отметить, что произведение сопряженных комплексных чисел является действительным числом, в самом деле

.

Пусть комплексные числа даны в показательной форме

.

Найдем их произведение

.

Результат перемножения двух комплексных чисел можно записать в тригонометрической форме:

.

Итак, при умножении комплексных чисел в показательной и тригонометрической формах модули перемножаются, а аргументы складываются.

Деление комплексных чисел, так же как и умножение, удобнее проводить, когда они записаны в показательной или тригонометрической формах.

Найдем частное от деления двух комплексных чисел:

или

.

Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Деление комплексных чисел можно проводить и в алгебраической форме.

Рассмотрим это на примере.

Пример 3. Вычислить

Решение. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателю 1 – i:

.

Такой же результат получается при переходе к показательной форме

.

.

При возведении комплексного числа в целую положительную степень в показательной или тригонометрической формах его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на данную степень.

Пусть тогда

или

.

Запишем результат возведения в целую степень в тригонометрической форме

.

Эту формулу называют формулой Муавра.

Пример 4. Вычислить

Решение. Перейдем к показательной форме. Найдем модуль и аргумент комплексного числа .

Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа можно рассматривать как операцию возведения комплексного числа в дробную степень т.е. .

Если комплексное число в тригонометрической форме, то

.

Придавая k – значения от 0 до n – 1 получим n – различных комплексных чисел, у которых модули одинаковые, а аргументы разные:

При k = 0

При k = 1

При k = 2

…………..

При k = n – 1

При k = n

Последнее значение аргумента числа совпадает с первым при k = 0.

Итак, корень n-ой степени из комплексного числа имеем n – различных значений. При вычислении значений пользуются формулами приведения

Пример 5. Найти все значения корня .

Действительное число –1 можно рассматривать как комплексное, у которого действительная часть: α = –1, а мнимая β = 0, т.е.:

Запишем это число в тригонометрической форме. Для этого найдем его модуль и аргумент.

.

.

Рис. 1

Так как tgφ = 0 при φ = 0 и φ = π, построим число «–1» на комплексной плоскости (рис. 1), его аргумент равен

arg(–1) = φ = π = 180º

следовательно, тригонометрическая форма числа «–1» следующая:

.

Согласно формуле вычисления корня имеем:

.

Корень шестой степени имеет шесть значений, которые можно найти, если положить к равным 0, 1, 2, 3, 4, 5.

При k = 0

При k = 1

При k = 2

При k = 3

При k = 4

При k = 5

Все шесть значений корня имеют одинаковые модули и отличаются друг от друга только значением аргумента. На комплексной плоскости они расположены в вершинах правильного шестиугольника с центром в начале координат.

Задание

Вариант 1.

1.       Представить в тригонометрической форме числа:    

2.       Вычислить, пользуясь формулой Муавра, значение выражения

3.       Извлечь корни: а)  б)

4.       Решить уравнения:
a)       б)

Вариант 2.

1.       Представить в тригонометрической форме числа:    

2.       Вычислить, пользуясь формулой Муавра, значение выражения

3.       Извлечь корни: а)  б)

4.       Решить уравнения:
a)       б)

Вариант 3.

1.       Представить в тригонометрической форме числа:    

2.       Вычислить, пользуясь формулой Муавра, значение выражения

3.       Извлечь корни: а)  б)

4.       Решить уравнения:
a)      б)

Вариант 4.

1.       Представить в тригонометрической форме числа:    

2.       Вычислить, пользуясь формулой Муавра, значение выражения

3.       Извлечь корни: а) б)

4.       Решить уравнения:
a)      б)

Вариант 5.

1.       Представить в тригонометрической форме числа:    

2.       Вычислить, пользуясь формулой Муавра, значение выражения

3.       Извлечь корни: а)  б)

4.       Решить уравнения:
a)      б)

Вариант 6.

1.       Представить в тригонометрической форме числа:

2.       Вычислить, пользуясь формулой Муавра, значение выражения

3.       Извлечь корни: а)  б)

4.       Решить уравнения:
a)     б)

Практическое занятие №10:

Решение задач на теоремы сложения и умножения вероятностей.

Цель работы

Закрепление навыков решения задач в теории вероятностей

Пояснение к работе

Теоретические сведения

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий  или  (без разницы какого),  равна сумме вероятностей этих событий:

Аналогичный факт справедлив и для бОльшего количества несовместных событий, например, для трёх несовместных событий  и :

сложение событий означает появление хотя бы одного из суммируемых событий, и, поскольку события в данном случае НЕсовместны, то одного и только одного из этих событий (безразлично какого).

Следует отметить, что для совместных событий равенство  будет неверным, не случайно чуть выше я немного сыронизировал  на счёт простоты.

А сейчас возьмём в руки уже знакомое и безотказное орудие учёбы – игральный кубик с полной группой событий , которые состоят в том, что при его броске выпадут 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков соответственно.

Рассмотрим событие  – в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:  (выпадет 5 или 6 очков). По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
 – вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков.

Рассмотрим событие , состоящее в том, что выпадет не более 4-х очков и найдем его вероятность. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

По той же теореме, вероятность того, что выпадет нечётное число очков:
 и так далее.

Задача 1

Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.

Решение: всего получено магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиков.

В данной задаче удобнее воспользоваться «быстрым» способом оформления без расписывания событий большими латинскими буквами. По классическому определению:
  – вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;
  – вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.

Бесконечных «хвостов» после запятой тут нет и не ожидается, поэтому можно работать с десятичными дробями – компактнее будет запись.

По теореме сложения несовместных событий:
 – вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.

Ответ: 0,55

Зависимые и независимые события

Начнём с независимых событий. События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления/непоявления остальных событий рассматриваемого множества (во всех возможных комбинациях)

Теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность совместного появления независимых событий  и  равна произведению вероятностей этих событий:

Вернёмся к простейшему примеру 1-го урока, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:

 – на 1-й монете выпадет орёл;
 – на 2-й монете выпадет орёл.

Найдём вероятность события  (на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл). Вероятность выпадения орла на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события  и  независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Аналогично:
 – вероятность того, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й решка;
 – вероятность того, что на 1-й монете появится орёл и на 2-ой решка;
 – вероятность того, что на 1-й монете появится решка и на 2-ой орёл.

Заметьте, что события  образуют полную группу и сумма их вероятностей равна единице: .

Теорема умножения очевидным образом распространяется и на бОльшее количество независимых событий, так, например, если события  независимы, то вероятность их совместного наступления равна:

Задача 2

В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.

Решение: вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:

 – из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;
 – из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;
 – из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.

По классическому определению:
 – соответствующие вероятности.

Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается произведением .

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

  – вероятность того, что из 3-х ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.

Ответ: 0,504

Задачи на теоремы сложения вероятностей несовместных
и умножения вероятностей независимых событий

Этот тандем, по моей субъективной оценке, работает примерно в 80% задач по рассматриваемой теме. Хит хитов и самая настоящая классика теории вероятностей:

Задача 3

Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) только один стрелок попадёт в мишень;
б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Решение: вероятность попадания/промаха одного стрелка, очевидно, не зависит от результативности другого стрелка.

Рассмотрим события:
 – 1-й стрелок попадёт в мишень;
 – 2-й стрелок попадёт в мишень.

По условию: .

Найдём вероятности противоположных событий  – того, что соответствующие стрелки промахнутся:

а) Рассмотрим событие:  – только один стрелок попадёт в мишень. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:

1-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся
или
1-й промахнётся и 2-й попадёт.

На языке алгебры событий этот факт запишется следующей формулой:

Сначала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий, затем – теорему умножения вероятностей независимых событий:

 – вероятность того, что будет только одно попадание.

б) Рассмотрим событие:  – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Прежде всего, ВДУМАЕМСЯ – что значит условие «ХОТЯ БЫ ОДИН»? В данном случае это означает, что попадёт или 1-й стрелок (2-й промахнётся) или 2-й (1-й промахнётся) или оба стрелка сразу – итого 3 несовместных исхода.

Способ первый: учитывая готовую вероятность предыдущего пункта, событие  удобно представить в виде суммы следующих несовместных событий:

попадёт кто-то один (событие , состоящее в свою очередь из 2-х несовместных исходов) или
попадут оба стрелка – обозначим данное событие буквой .

Таким образом:

По теореме умножения вероятностей независимых событий:
 – вероятность того, что 1-й стрелок попадёт и 2-ой стрелок попадёт.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
 – вероятность хотя бы одного попадания по мишени.

Способ второй: рассмотрим противоположное событие:  – оба стрелка промахнутся.

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

В результате:

Особое внимание обратите на второй способ – в общем случае он более рационален.

Решение: по условию: ,  – вероятность попадания соответствующих стрелков. Тогда вероятности их промаха:

а) По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:
 – вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень.

б) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
 – вероятность того, что оба стрелка промахнутся.

Тогда:  – вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Ответ:

Задача 4

Стрелок попадает в цель с одной и той же вероятностью при каждом выстреле. Какова эта вероятность, если вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,973.

Решение: обозначим через  – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле.
и через  – вероятность промаха при каждом выстреле.

И таки распишем события:
 – при 3-х выстрелах стрелок попадёт в мишень хотя бы один раз;
 – стрелок 3 раза промахнётся.

По условию , тогда вероятность противоположного события:

С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Таким образом:

 – вероятность промаха при каждом выстреле.

В результате:
 – вероятность попадания при каждом выстреле.

Ответ: 0,7

Задание

Вариант № 1.

                                                                                                                                                                                          1. События А и В независимые. Найдите вероятность наступления события А Р(А) = 0,12, Р(В) = 0,3.                                                                                                                                                                                        2. События А и В независимы. Найти вероятность события А, если Р(В) = 0,7, Р(АВ) = 0,53.                              3. Перечислить все элементарные равновозможные события, которые могут произойти в результате подбрасывания тетраэдра с гранями, занумерованными числами 1,2,3,4. Событие А – выпало четное число; событие В – выпало число большее 2. Найти вероятность каждого из этих событий и вероятность их пересечения. Являются ли эти события независимыми?                                       4. В коробке «Ассорти» - 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова вероятность того, что:                   а) обе конфеты окажутся с любимой Таниной начинкой – шоколадной;                                                                       б) конфеты – с разными начинками?                                                                                                                       

Вариант № 2.

                                                                                                                                                                                          1. События А и В независимые. Найдите вероятность наступления события А Р(А) = 0,24, Р(В) = 0,4.                                                                                                                                                                                        2. События А и В независимы. Найти вероятность события А, если Р(В) = 0,6, Р(АВ) = 0,43.                              3. Перечислить  все элементарные равновозможные события, которые могут произойти в результате раскручивания стрелки рулетки, поверхность которой разделена на 5 одинаковых секторов, обозначенных буквами А, В, С, D и Е. Событие А – стрелка не остановится в секторе А или В; событие В – стрелка остановится в секторе С или Е. Найти вероятность каждого из этих событий и вероятность их пересечения. Являются ли эти события независимыми?                                                        4. Из колоды карт (36 листов) наугад вынимают 2 карты. Какова вероятность того, что это:                                     а) дама треф и валет пик;                                                                                                                                                                  б) две шестёрки?