МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ по разделу курса высшей математики «Теория вероятностей»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

по  разделу курса высшей математики

«Теория вероятностей»

Методические указания по выполнению контрольной работы разработаны для студентов СПО и ВУЗов по разделу курса высшей математики «Теория вероятностей».

 Данный практический материал содержит краткие теоретические сведения (справочный материал), используемые при решении задач. Изложение этих сведений иллюстрируется решенными примерами. Приведены 15 вариантов контрольных работ (по 6 задач в каждом). 

Предлагаемая разработка адресована преподавателям и студентам, предназначена для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории.

Составитель: Сардарова В.Я., преподаватель математики

 ГБПОУ АО СПО «Астраханский технологический техникум»

Классическое определение вероятности

При классическом определении вероятность события определяется равенством , где число элементарных исходов испы­тания, благоприятствующих появлению события ; общее число возможных элементарных исходов испытания, образующих полную группу событий.

Пример. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае m=9, n=90, то

где А – событие «число с одинаковыми цифрами».

Пример. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой ч?

Решение. В слове дифференциал 12 букв, из них 5 гласных и 7 согласных. Буквы  ч в этом слове нет. Обозначим события: А – «гласная буква», В – «согласная буква», С – «буква ч». Число благоприятствующих элемен­тарных исходов: m₁ =5 – для события А, m₂ =7 – для события В,

 m₃ =0 – для события С. Поскольку n = 12, то

Пример. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Решение. Обозначим это событие буквой А. Событию А – благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 1), (2; 2), (3; 3),;4; 4), (5; 5), (6; 6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, в данном случае n = 6² = 36. Значит, искомая вероятность  

Пример. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

Решение. Из условия задачи следует, что всех равновозможных  элементарных исходов, образующих полную группу событий, будет n = 300. Из них m = 60 благоприятствуют наступлению указанного события. Действительно, номер, кратный 5, имеет вид 5k, где k – натуральное число, причем 0<5k£300, откуда k≤300/5≈60. Следовательно,

Где А – событие «страница имеет порядковый номер, кратный 5».

Пример. В партии из  деталей имеется  стандартных. Наудачу отобраны  деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных ровно  стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь  деталей из  дета­лей, т. е. – числу сочетаний из  элементов по . Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию:  стандартных деталей можно взять из  стандартных деталей  спосо­бами; при этом остальные  деталей должны быть нестандартными и берём их из  нестандартных деталей  способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

                   .

Пример. В одном аквариуме находятся три чёрных, семь красных рыбок. Шесть случайно выбранные рыбки переносят в другой аквариум. Какова вероятность того, что среди них четыре красные рыбки?

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 рыбок из 10, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов

Определяем число исходов, благоприятствующих событию А – «среди 6 взятых рыбок 4 красные». Четыре красные рыбки из семи красных можно взять способами, при этом остальные 6 – 4 = 2 рыбки должны быть черные; взять же 2 черные рыбки из 3 чёрных можно  способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Пример. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.

Решение. Число всех равновозможных случаев распределения 5 билетов среди 25 студентов равно числу сочетаний из 25 элементов по 5, т.е. . Число групп по трое юношей из 15, которые могут получить билеты, равно . Каждая такая тройка может сочетаться с любой парой из де­сяти девушек, а число таких пар равно . Следовательно, число групп по 5 студентов, образованных из группы в 25 студентов, в каждую группу из которых будут входить трое юношей и две девушки, равно произведе­нию  Это произведение равно числу благоприятствующих слу­чаев распределения пяти билетов среди студентов группы так, чтобы три билета получили юноши и два билета – девушки.

В соответствии с формулой  находим искомую вероятность

Пример. На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, К, М, Н. С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова веро­ятность того, что получится слово МИНСК?

Решение. Из пяти различных элементов можно составить Р₅ перестановок: Р₅ = 1×2×3×4×5=120. Значит, всего равновозможных исходов будет 120, а благоприятствующих данному событию – только один. Следовательно,

Относительная частота, Статистическое определение вероятности.

         Классическое определение вероятности оказывается непригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможные. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение её различных граней не равновозможное. В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности. Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз.

Определение. Число m –  называется абсолютной частотой события А, а отношение называется относительной частотой события А.

Пример: При транспортировке из 10 0000 арбузов испортилось 26. Здесь m=26 – абсолютная частота испорченных арбузов, а    относительная.

Сложение и умножение вероятностей.

         Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления какого – либо одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

         .

         Замечание: Формула имеет место только для несовместных событий. Если же события А и В совместны, то вероятность появления хотя бы одного из них определяется формулой .

         Следствие 1: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий, равна единице.

         Следствие 2: Вероятность события, противоположного данному, равна разности между единицей и вероятностью данного события, т., е.

         .

         Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения событий  равна произведению их вероятностей, вычисленных в предположении, что все события, предшествующие каждому из них, имели место, т., е.,

         Следствие. Если события  независимы в совокупнос­ти, то вероятность совместного появления всех этих событий равна про­изведению их вероятностей

         .

Пример. Подбрасываются два игральных кубика. Найти вероятность со­бытия А – «сумма выпавших очков не превосходит четырех».

Решение. Событие А есть сумма трех несовместных событий В₂ , В₃ , В_{4 ,} заключается в том, что сумма очков равна соответственно 2, 3, 4. По­скольку

 то по теореме сложения вероятностей несовместных событий получим

Пример. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на три сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй – 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

Решение. События А – «попадание в первый сектор» и В – «попадание во второй сектор» несовместны (попадание в один сектор исключает попадание во второй), поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий. В соответствии с этой теоремой находим искомую вероятность: Р (А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,4 + 0,3 = 0,7.

Пример. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а для второго – 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?

Решение. Введем обозначения: А – «попадание первого спортсмена», В – «попадание второго спортсмена», С – «попадание хотя бы одного из спортсменов». Очевидно, А + В = С, причем события А и В совместны.

В соответствии с формулой Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) получаем

 Р(С) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) или Р(С) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В), поскольку А и  В – независимые события, а для них верна формула Р(АВ) = Р(А)Р(В). Подставив данные значения Р(А) = 0,85, Р(В) = 0,8 в формулу для Р(С), найдем искомую вероятность Р(С) = (0,85 + 0,8) – 0,85×0,8 = 0,97.

Пример. Вероятность выживания одной клетки в течении 20 минут Р=0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих клеток условиями находятся только что разделившиеся две клетки. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут жизнеспособны?

Решение: Пусть событие А – первая клетка жизнеспособна через 20 мин., событие  В – вторая клетка жизнеспособна. Будем считать, что между клетками нет внутривидовой конкуренции, т. е. события независимы. Тогда по теореме умножения независимых событий Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0.7 0,7=0,49.

Пример. В терапевтическом отделении больницы 70%  пациентов – женщины, а 21% – курящие мужчины. Наугад выбирают пациента. Он оказывается мужчиной. Какова вероятность того, что он курит?

Решение: Пусть событие М означает, что пациент мужчина, а К – что пациент курит. Тогда в силу условия задачи Р(М)=0,3, а Р(МК)=0,21. Тогда по теореме умножения вероятностей зависимых событий  Р(МК)=Р(М)Р(К/М) получим Р(К/М)=Р(МК)/Р(М)=0,21/0,3=0,7.

Пример. Пусть у нас перемешаны записи нейронной активности мозга (у пяти клеток зарегистрирована активность, характерная для клеток «внимания», у пяти другой вид активности) и 20 – из другой области (у 15 – активность типа клеток «внимание», у 5 – другого вида.). Зависимы ли события  А – «выбранная наугад запись сделана в первой области» и В – на «выбранной наугад записи зарегистрирована активность, характерная для клеток» внимания»?

Решение: Имеем . Следовательно, события независимы

Пример. Симметричная монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза?

Решение. Введем обозначения: А_k – «выпадение цифры при k  – ом подбрасывании монеты (k = 1, 2, 3)», А – «выпадение двух цифр при трех под­брасывания», тогда,  Поскольку слагаемые в правой части этого равенства попарно несовместны, то по формуле

при n = 3 получаем

 Принимая за внимание незави­симость событий А₁, А₂, А₃, находим 

Пример. С помощью наблюдений установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 25 дней без дождя. Какова вероятность того, что 1-го и 2-го сентября дождя не будет?

Решение:

Вероятность того, что 1-го сентября дождя не будет (событие А) равна Р(А) = . Найдем вероятность того, что и 2-го сентября дождя не будет (событие В) при условии, что 1-го сентября дождя не было. Это условная вероятность, так как событие А уже произошло. Отсюда Р (В/A) = . Искомую вероятность определим по теореме умножения вероятностей зависимых событий. Р(А и В) = Р(А) Р (В/A) =  = 0,7.

Пример. В урне находится 8 красных и 6 голубых шаров. Из урны последовательно без возвращения извлекается 3 шара. Найти вероятность того. Что все 3 шара голубые.

Решение. Введем обозначения: А₁ – «первый шар голубой», А₂ – «второй голубой шар», А₃ – «третий голубой шар», А – «все три шара голубые», тогда А = А₁А₂А₃. Воспользуемся формулой  которая при n = 3 принимает вид.     Поскольку

то

Пример. В урне 6 голубых, 5 красных и 4 белых шара. Из урны поочередно извлекают шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом извлечении появится голубой шар (событие А), при втором – красный (событие В), при третьем – белый (событие С).

Решение. Вероятность появления голубого шара при первом извлечении Р(А) = 6/15 = 2/5.  Вероятность появления красного шара во втором извлечении, вычисленная в предположении, что в первый раз появится голубой шар, т.е. условная вероятность Р(В/А) = 5/14. Вероятность появления белого шара в третьем извлечении, вычисленная в предположении, что в первый раз появится голубой шар, во второй – красный, т.е. условная вероятность Р(С/АВ) = 4/13. По формуле Р(АВС) = Р(А)Р(В/А)Р(С/АВ) находим искомую вероятность

Пример. В каждом из трех ящиков находится по 30 деталей. В первом ящике 27, во втором 28, в третьем 25 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А), Р(А) = 27/30 = 9/10. Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В) Р(В) = 28/30 = 14/15. Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С) Р(С) = 25/30 = 5/6. Поскольку события А, В, С независимы, то по формуле Р(ABC) = Р(А)Р(В)Р(С) получаем Р(АВС) =

Формула полной вероятности. Формулы Бейеса.

         Если событие А может произойти только совместно с одним из событий Н₁,Н₂, …, Н_n, образующих полную группу несовместных событий (гипотез), то вероятность  появления события определяется по формуле полной вероятности:

, где  – вероятность гипотезы ;  – условная вероятность события А при этой гипотезе.

Так как гипотезы образуют полную группу несовместных событий, то

Если вероятности гипотез до опыта были , а после опыта появилось событие А, то условная вероятность вычисляется по формуле Бейеса:

Пример. На фабрике изготовляющей болты, первая машина производит 30%, вторая  – 25%, третья – 45% всех изделий. Брак в их продукции со­ставляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно выбранный болт – дефектный, а через Н₁, Н₂, Н₃ – событие, состоящее в том, что этот болт произведен соответственно первой, второй и третьей машинами. Из условия задачи следует, что

Р(Н₁) = 0,30, Р(Н₂) = 0,25, Р(Н₃) = 0,45;

Р(А/Н₁) = 0,02, Р(Н₂) = 0,01, Р(Р/Н₃)= 0,03.

По формуле при п = 3 получаем Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁)+

+Р(Н₂)Р(Н₃)Р(А/Н₃) = 0,3× 0,02 + 0,25× 0,1 + 0,45× 0,03 = 0,022.

Пример. В пяти ящиках находятся одинаковые по размерам и весу шары. В двух ящиках – по 6 голубых и 4 красных шара (это ящик состава Н₁). В двух других ящиках (состава Н₂) – по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике (состава Н₃) – 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбира­ется ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным?

Решение. Событие «извлечен красный шар» обозначим через А. Из условия задачи следует, что

Вероятность вынуть красный шар, если известно, что взят ящик первого состава Н₁,  Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик второго состава,

Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик третьего состава Н₃,

В соответствии с формулой при п = 3 находим искомую вероятность Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁) + Р(Н₂)Р(А/Н₂)+ Р(Н₃)Р(А/Н₃) = 0,4× 0,4 +

+ 0,4× 0,2 + 0,2× 0,8 = 0,4.

Пример. В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 слабо занимающихся. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку (событие А).

Решение. Обозначим гипотезы: Н₁ – «приглашен студент-отличник», Н₂ –«приглашен хороший студент», Н₃ – «приглашен слабый студент».

Из условия задачи следует, что

По формуле находим искомую вероятность

Пример. Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй – 4 голубых и 4 красных, в третьей – 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн и их нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным (событие А).

Решение. Шар может быть извлечен из первой урны, либо из второй, либо из третьей. Обозначим через Н₁,Н₂, Н₃ соответственно выбор первой, второй и третьей урны.

Поскольку имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то

 Из условия задачи следует, что

В соответствии с формулой находим искомую вероятность

Пример. На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе р₁ = 0,05, на втором заводе – р₂ = 0,01. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заво­дом?

Решение. Обозначим через Н₁ событие, состоящее в том, что взятая деталь изготовлена на первом заводе, Н₂ – на втором заводе, тогда

Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь оказалась бракованной.

По условию Р(А/Н₁) = 0,05, Р(А/Н₂) = 0,01.

В соответствии с формулой  в случае   п = 2 получаем

Пример. В лаборатории есть три клетки. В первой клетке содержатся 1 серая и 2 белые мыши, во второй – 1 серых и 3 белых, в третьей – 2 серых и 2 белых. Случайным образом выбирают клетку и из клетки берут наудачу одну мышь. Найти вероятность того, что мышь белая.

Решение. Введем обозначения: событие А – «Взяли белую мышь»; гипотезы Н₁ – «выбрали первую клетку», Н₂ – «выбрали вторую клетку», Н₃ – «выбрали третью клетку».

Так как гипотезы равновероятны, то P(H_i)=1/3 (i = 1, 2, 3). Найдём условные вероятности.

По формуле полной вероятности получим ответ

Формулы Бернулли и Пуассона.

         Вероятность того, в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления  событие А равна р, событие наступит ровно m раз (безразлично в какой последовательности), равна по формуле Бернулли :

         , или ,

где .

         Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближённую фор­мулу Пуассона:

                   ,

Где  – число появления события в  независимых испытаниях,  (среднее число появлений события в испытаниях).

         Вероятность того, что в  испытаниях событие наступит:a)менее  раз; б) более раз; в) не менее  раз; г) не более ; д) хотя бы один раз, – находятся соответственно по формулам:

         ;

         ;

         ;

         ;

         .

Пример. Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,95. Какова вероятность того, что среди десяти изделий не более одного нестандартного?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что среди десяти изделий не более одного нестандартного, а событии В – среди десяти изделий только одно нестандартное. Тогда искомая вероятность . События А и В несовместны. Поэтому . По формуле Бернулли нахо­дим ;

           .

Следовательно

Пример. С помощью наблюдений установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из наугад взятых в этом месяце 8-ми дней 3 будут дождливыми?

Решение:

Поскольку количество испытаний невелико (n = 8), то для нахождения вероятности того, что событие А появится точно k = 3 раза воспользуемся формулой Бернулли:

, где .

По условию задачи вероятность дождя равна p = 12/30 = 6/15, (в сентябре 30 дней).

Значит, вероятность ясного дня равна q = 1 – p = 1 – 6/15 = 9/15.

 

Пример. Обычный человек примерно в половине случаев правильно угадывает, в какой руке спрятан мелкий предмет. Предположим, что верный ответ получен в трёх случаях из четырёх. Случайно ли это? Или при таком раскладе можно говорить о необычайных способностях угадывающего?

Решение: Если принять вероятность угадывания в норме р=1/2, то по формуле Бернулли , где

Как видим, каждый четвёртый нормальный человек правильно угадывает в трёх случаях из четырех.

Допустим, что верный ответ получен в девяти случаев из десяти. Какова вероятность такого угадывания у нормального человека?

По формуле Бернулли

Таким образом, нормальный человек лишь в одном случае из 100 может случайно продемонстрировать такой результат. И если подобное угадывание происходит чаще, то можно, по – видимому, говорить, что угадыватель –  экстрасенс (или мистификатор).

Пример. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: а) ровно три изделия; б) менее трёх; в) более трёх; г) хотя бы одно.

Решение. Число  велико, вероятность  мала и рассматриваемые события (повреждение изделий) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона .

         а) Найдём :

         Найдём вероятность того, что будет повреждено ровно 3  изделия;

.

         в) Найдём вероятность того, что будет повреждено менее трёх изделий:

    Найдём вероятность того, что будет повреждено более трёх изде­лий. События «повреждено более трёх изделий» и « повреждено не более трёх изделий» (обозначим вероятность этого события через ) – противоположны, поэтому . Отсюда

Используя результаты, полученные выше, имеем

.

         г) Найдём вероятность того, что будет повреждено хотя бы одно изделие. Событие «повреждено хотя бы одно изделие» и «ни одно изделие не повреждено» (обозначим вероятность этого события через ) – противоположны, следовательно, . Отсюда искомая вероятность того, что будет повреждено хотя бы одно изделие, равна

.

Краткое описание документа:

Методические указания по выполнению контрольной работы разработаны для студентов СПО и ВУЗов по разделу курса высшей математики «Теория вероятностей».

Данный практический материал содержит краткие теоретические сведения (справочный материал), используемые при решении задач. Изложение этих сведений иллюстрируется решенными примерами. Приведены 15 вариантов контрольных работ (по 6 задач в каждом).

Предлагаемая разработка адресована преподавателям и студентам, предназначена для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории.