Методические указания по теме "Дифференциальные уравнения"

Уравнение Бернулли

Цель работы: закрепление умений и навыков решения дифференциальных уравнений Бернулли.

Теоретические сведения:

Опр.    Уравнение вида  y’ + p(x)y = q(x)yⁿ,  (1)    где n≠0  и n≠1 называется уравнением Бернулли.

Разделим обе части уравнения  y’ + p(x)y = q(x)yⁿ на yⁿ, получим:

y^-ny’ + p(x)y^-n+1 = q(x)  (2).

Обозначим:   y^-n+1 = z.    Тогда  z’ = (-n + 1)y^-ny’.      Отсюда находим  y^-ny’ = .           Уравнение (2) примет вид:  .

Последнее уравнение является линейным относительно z, решение его известно.

Пример 1: Найти решение задачи Коши        

Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли, разделим обе части на y² :

       

Проведем замену: 

 
Получено линейное неоднородное уравнение, решением которого является функция

   

Обратная замена: 

Общее решение:    ,   где С=const

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид: 

Ответ:

Пример 2: Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию :      

Решение: Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Найдем общее решение.

    

             

Проведем замену: 

   

         

 Получено линейное неоднородное уравнение, решением   которого, является функция

   

Обратная замена:                      

 Общее решение:   ,     где С=const
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

   
Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид: 

         или      

Ответ: 

Задачи для самостоятельного выполнения

Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения:

1. y’ + y = xy²

2. y’ – y = xy²

3. y’ + 2y = xy³

4. y’ – 2y = xy³

5. y’ + y = x

6. y’ – y = - x

7. y’ + y = x²y²

8. y’ – y = x²y²

9. y’ + 2y = x²y²

10. y’ - 2y = x²y²

11. y’ + y = 2xy³

12. y’ - y = 2xy³

13. y’ + 2y = 2xy²

14. y’ - 2y =  xy²

15. y’ -  = xy²

16. y’ -  = y²

17. y’ +  = y²

18. y’ -  = y²

19. y’ +  = y²

20. y’  - 3y = xy³

21. y’  + 3y = xy²

22. y’ + 3y =

23. y’ + 2y = y²e^x

24. y’ – 2y = y²e^-x

25. y’ + 2y = y²e^-2x

Дополнительные задания

1. ,    y(0) = -1

2. y’ + y = 3e^-2x y²,   y(0) = 1

3. ,     y(0) = 1

4. y’ + y·ctgx = y⁴sinx,   

5. 2y’ – 3y·cosx = -e^-2x(2 + 3cosx)y^-1, y(0) = 1

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Цель работы: развитие умений и навыков решения линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теоретические сведения:

Опр. Уравнение вида ,  (1)  где p  и  q – постоянные  величины, называется линейным однородным  дифференциальным  уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Чтобы решить уравнение (1) нужно решить характеристическое уравнение  (2).

При  решении  характеристического уравнения  (2)  возможны  3 случая: 

1)   Корни характеристического уравнения различны:  . В этом случае имеем два частных решения уравнения  (1)

 и  , следовательно, общее решение уравнения  (1)  будет иметь вид:     .

2) Корни характеристического уравнения равны:  .  В этом случае  частное решение уравнения  (1)

и  , следовательно, общее решение уравнения (1) будет иметь вид: .

3)   Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные :  , то частное решение уравнения (1)  имеет вид     и   , а общее  решение уравнения  (1)  

Пример 1.   Найти частное решение уравнения   удовлетворяющее начальным условиям   и 

Решение.  Составляем характеристическое уравнение  и   находим его корни: D=-16<0, тогда  Следовательно, общим решением является функция

Дифференцируя общее решение, найдем

 или

Постоянные С₁ и  С₂  находим из начальных условий:

Отсюда   и   . 

 Итак, искомым частным решением является функция  

Ответ:

Пример 2.   Найти частное решение уравнения   удовлетворяющее начальным условиям и

Решение.  Составляем характеристическое уравнение  и находим его корни:  D=1>0, тогда  Следовательно, общим решением является функция

Дифференцируя общее решение, найдем

 

Постоянные С₁ и  С₂  находим из начальных условий:

   или    

Отсюда   и   .  

Итак, искомым частным решением  является функция

Ответ:

Задачи для самостоятельного выполнения

Задание.  Найти  решение задачи Коши.

         

          

           

                   

       

          

            

          

         

        

                   

                    

          

          

          

                    

        

          

          

          

           

         

           

       

          

Линейные неоднородные дифференциальные  уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Цель работы: закрепление умений и навыков решения линейных неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Теоретические сведения:

Опр. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида  y” + py’ + qy = f(x), где p и q – действительные числа,   f(x) - непрерывная функция.

Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения  неоднородного уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения y” + py’ + qy = 0.  Записывается это так:     y= Y + .

Существует несколько методов нахождения частного решения неоднородного уравнения . Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей в правой части уравнения. Перечислим эти методы и разберем решения соответствующих уравнений.

            1. Правая часть имеет вид:  f(x) = e^ax· P_n(x),  где P_n(x) – многочлен степени n.

а) а  - не является корнем характеристического уравнения. Тогда  = e^ax·Q_n(x), где Q_n(x) – некоторый многочлен степени n.

б) а  - является корнем характеристического уравнения. Тогда  = x^m· e^ax·Q_n(x), где m – кратность корня а (то есть m = 1, если а – однократный корень и m = 2, если а – двукратный корень).

            2. Правая часть имеет вид:  f(x)= a·cosλx + b·sinλx.

а) ± λi – не являются корнями характеристического уравнения.

Тогда     = A· cosλx + B·sinλx.

б) ± λi –  являются корнями характеристического уравнения.

Тогда     = x(A· cosλx + B·sinλx).

            3. Правая часть имеет вид:  f(x)=e^ax (P_n(x)·sinbx + Q_k(x)·cosbx). Тогда
  = e^ax (L_m(x)·sinbx + N_m(x)·cosbx)·x^r, где r – число комплексно-сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных a ± bi,     P_n(x), Q_k(x), L_m(x), N_m(x) -  многочлены степени n, k, m и m соответственно, m = max(n,k).

Пример1.: Найти общее решение дифференциального уравнения

 y” + 4y’ + 3y = e^x·(8x² + 84x).

Решение: Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

y” + 4y’ + 3y =0.  Составим и решим характеристическое уравнение:

k² + 4k + 3 = 0;

k₁ = -3; k₂ = -1.

            Корни характеристического уравнения действительные и различные, значит, общее решение однородного уравнения имеет вид: Y = C₁e^-3x + C₂e^-x.

            Переходим к .  Правая часть исходного уравнения имеет вид e^ax· P_n(x), 
где P_n(x)= 8x² + 84x – многочлен второй степени;   а = 1- не является корнем характеристического уравнения. Значит,  = e^ax·Q_n(x), где Q_n(x) –многочлен второй степени. Поэтому  = e^x(Ax² + Bx + C). Найдем коэффициенты А, В, С.

            Так как  – решение исходного уравнения, то при подстановке  в это уравнение вместо y получим тождество. Предварительно найдем ’ и ”:

’ = e^x(2Ax + B + Ax² + Bx + C)

” = e^x(4Ax + 2A + 2B + Ax² + Bx + C).

Подставим , ’, ” в исходное уравнение:

e^x(4Ax + 2A + 2B + Ax² + Bx + C) + 4e^x(2Ax + B + Ax² + Bx + C) + 3e^x(Ax² + Bx + C) = =e^x·(8x² + 84x).

Обе части равенства поделим на e^x, раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим:

8Ax² + (12A + 8B)x + (2A + 6B + 8C) = 8x² + 84x.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства, получим систему уравнений относительно А, В и С:

     Решив систему, получим: А = 1, В = 9, С = -7  .   Значит,

  = e^x(x² + 9x - 7).

Таким образом, общее решение уравнение имеет вид:

y= Y +  = C₁e^-3x + C₂e^-x + e^x(x² + 9x - 7).

Ответ: y= Y +  = C₁e^-3x + C₂e^-x + e^x(x² + 9x - 7).

Пример2. Найти общее решение дифференциального уравнения

y” +6y’ + 9y =14 e^-3x.

Решение: Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:     

y” + 6y’ + 9y =0. Составим и решим характеристическое уравнение:

k² + 6k + 9 = 0;

k₁ = -3; k₂ = -3.

            Корни характеристического уравнения действительные и равные, значит, общее решение однородного уравнения имеет вид: Y = C₁e^-3x + C₂xe^-3x.

            Переходим к .  Правая часть исходного уравнения имеет вид e^ax· P_n(x), 
где P_n(x)= 14 – многочлен нулевой степени;   а = -3- является двукратным корнем характеристического уравнения. Значит,  = x^m· e^ax·Q_n(x), где m = 2, Q_n(x) = A. Поэтому      = Ax² e^-3x. Найдем коэффициент А.

            Так как  – решение исходного уравнения, то при подстановке  в это уравнение вместо y получим тождество. Предварительно найдем ’ и ”:

’ = 2Axe^-3x – 3Ax²e^-3x = e^-3x (2Ax – 3Ax²) ,

” = 9Ax²e^-3x – 12Axe^-3x + 2Ae^-3x = e^-3x(9Ax² – 12Ax + 2A).

Подставим , ’, ” в исходное уравнение:

e^-3x(9Ax² – 12Ax + 2A) + 6e^-3x(9Ax² – 12Ax + 2A) + 9Ax² e^-3x = 14 e^-3x.

Обе части равенства поделим на e^-3x, раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим: 2А  = 14, А = 7. Значит,  = 7x² e^-3x.

            Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид:

y = C₁e^-3x + C₂xe^-3x + 7x² e^-3x.

Ответ: y = C₁e^-3x + C₂xe^-3x + 7x² e^-3x.

Пример3: Найти общее решение дифференциального уравнения

 y” - 4y’ + 5y =2cosx + 6sinx.

Решение: Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:     

y” - 4y’ + 5y =0. Составим и решим характеристическое уравнение:

k² - 4k + 5 = 0;

k₁ = 2 + i; k₂ = 2 - i.

            Корни характеристического уравнения комплексные, значит, общее решение однородного уравнения имеет вид: Y = e^2x (С₁cosx + C₂sinx).

            Переходим к .  Правая часть исходного уравнения имеет вид

a·cosλx + b·sinλx, где

λ = 1.     

 ± λi = ± i – не являются корнями характеристического уравнения.

Значит,  = A· cosλx + B·sinλx, то есть

 = A· cosx + B·sinx.  Найдем коэффициенты А и В.

Так как  – решение исходного уравнения, то при подстановке  в это уравнение вместо y получим тождество. Предварительно найдем ’ и ”:

’= -Asinx + Bcosx,   ” = -Acosx –Bsinx.  Подставим , ’, ” в исходное уравнение:

-Acosx –Bsinx – 4(-Asinx + Bcosx) + 5(A cosx + Bsinx) = 2cosx + 6sinx.

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим равенство:

(4A – 4B)cosx + (4A + 4B)sinx = 2cosx + 6sinx.

Приравняв коэффициенты при cosx  и sinx  в обеих частях равенства, получим систему уравнений относительно А и В:

     Решив систему, получим: А = 1,    В = 0,5.

Значит,  = cosx + 0,5·sinx.

            Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид:

y = e^2x (С₁cosx + C₂sinx) + cosx + 0,5·sinx.

Ответ: y = e^2x (С₁cosx + C₂sinx) + cosx + 0,5·sinx.

Пример4. Найти общее решение дифференциального уравнения

 y”  + 4y =12cos2x.

Решение: Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:     

y” + 4y = 0. Составим и решим характеристическое уравнение:

k² + 4= 0;

k₁ = 2 i; k₂ = -2 i.

            Корни характеристического уравнения комплексные, значит, общее решение однородного уравнения имеет вид: Y = e^0x (С₁cos2x + C₂sin2x) = С₁cos2x + C₂sin2x .

            Переходим к .  Правая часть исходного уравнения имеет вид

a·cosλx + b·sinλx,  где

λ = 2.

± λi = ±2i –являются корнями характеристического уравнения.

Значит,  = x(A· cosλx + B·sinλx),  то есть  = x(A· cos2x + B·sin2x).

Найдем коэффициенты А и В.

            Так как  – решение исходного уравнения, то при подстановке  в это уравнение вместо y получим тождество. Предварительно найдем ’ и ”:

’ = Acos2x + Bsin2x + x(-2Asin2x + 2Bcos2x),

” = -4Asin2x + 4Bcos2x + x(-4Acos2x – 4Bsin2x).

Подставим , ’, ” в исходное уравнение:

-4Asin2x + 4Bcos2x + x(-4Acos2x – 4Bsin2x) + 4x(Acos2x + Bsin2x) = 12cos2x .

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим равенство:

-4Asin2x + 4Bcos2x = 12cos2x.

Приравняв коэффициенты при cos2x  и sin2x  в обеих частях равенства, получим систему уравнений относительно А и В:

        Решив систему, получим: А = 0,   В = 3. Значит,  = 3xsin2x.

            Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид:

y = С₁cos2x + C₂sin2x + С₁cos2x + C₂sin2x.

Ответ: y = С₁cos2x + C₂sin2x + С₁cos2x + C₂sin2x.

Пример5: Найти общее решение дифференциального уравнения

y” - 3y’ + 2y = -e^3x((38x + 45)sin5x + (8x -5)cos5x).

Решение: Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:     

y” - 3y’ + 2y =0. Составим и решим характеристическое уравнение:

k² - 3k + 2 = 0;

k₁ = 1; k₂ = 2.

            Корни характеристического уравнения действительные и различные, значит, общее решение однородного уравнения имеет вид: Y = C₁e^x + C₂e^2x.

            Переходим к .  Правая часть исходного уравнения имеет вид

e^ax (P_n(x)·sinbx + Q_k(x)·cosbx).      Тогда

 = e^ax (L_m(x)·sinbx + N_m(x)·cosbx)·x^r.

В нашем случае a = 3,   b = 5,  P_n(x) = -38x – 45,  Q_k(x)= -8x + 5,  n = 1,  k = 1. Следовательно, m = max(n,k) = 1, то есть L_m(x) и N_m(x) – многочлены первой степени. r = 0 так как нет ни одной пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения  a ± bi = 3 ± 5i.

Поэтому  = e^3x ((Ax+B)cos5x + (Cx+D)sin5x).  Вычислим коэффициенты A, B, C и D.

Предварительно найдем ’ и ”. Подставим , ’, ” в исходное уравнение.

 После приведения подобных слагаемых имеем:

-e^3x[(15A+23C)xsin5x + (10A+15B-3C+23D)sin5x + (23A-15C)xcos5x + (-3A+23B-10C-15D) cos5x] = -e^3x((38x + 45)sin5x + (8x -5)cos5x).

Приравниваем соответствующие коэффициенты и решаем полученную систему уравнений:

       Решив систему, получим A=1,B=1,C=1,D=1.

Значит,  = e^3x ((x+1)cos5x + (x+1)sin5x).  

            Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид:

y = C₁e^x + C₂e^2x + e^3x ((x+1)cos5x + (x+1)sin5x).

Ответ: y = C₁e^x + C₂e^2x + e^3x ((x+1)cos5x + (x+1)sin5x).

Задачи для самостоятельного выполнения

Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения:

1.  y” - 3y’ + 2y = e^3x(2x + 5)

2.  y” - 4y’ – 5y = e^2x(-8x + 1)

3.  y” + 16y =2cos3x

4.  y” + 25y =3sin2x

5.  y” + 2y’ + y = e^-x

6.  y” + y’ - 2y = 2e^-2x

7.  y” - 5y’ + 4y = e^2x(3x² + x - 1)

8.  y” - 2y’ – 3y = e^2x(-2x² + 3x + 5)

9.  y” + y’ - 20y =9xe^x

10.  y” + 5y’ + 6y =5xe^x

11.  y” - 4y’ – 5y = cos2x + 3sin2x

12.  y” + y’ - 20y = 2cosx + 3sinx

13.  y” -2y’ - 8y = -e^-2x

14.  y” + 6y’ + 8y = 5e^-4x

15.  y” - 5y’ + 6y = 13sin3x

16.  y” + y’ + 2,5y = 25cos2x

17.  y” - 3y’ - 10y = sinx + 3 cosx

18.  y” - 3y’ + 2y = e^3x(x² +x)

19.   y” - 4y = 8x³

20.   y” - 6y’ + 9y = e^3x

21.   y” + y = 2cosx   

22.  y” + 9y =  12cos3x + 18sin3x

23.  y” – y’ = (2x + 3)e^x

24.  y” - 3y’ = xe^3x

25.  y” – 4y’ + 4y = xe^2x