Методический материал для внеклассной работы по математике "Пифагор. Его жизнь и научная деятельность"

Жизнь Пифагора

Пифагор Самосский (ок. 572-497 до н.э.) – древнегреческий математик, философ и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев. Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве великого учёного и совершенного мудреца, посвящённого во все таинства греков и варваров. Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. Рождение ребёнка якобы предсказала Пифия в Дельфах, потому Пифагор и получил своё имя, означающее «тот, о ком объявила Пифия». С ранних лет ребёнок обнаружил необыкновенную одарённость. По словам античных авторов, Пифагор встретился чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, впитав в себя всё знание, накопленное человечеством. В юном возрасте Пифагор отправился в Египет, чтобы набраться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Философ Ямвлих писал, что Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров Самос и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 году до н.э. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, затем в 56-летнем возрасте вернулся в Самос, где соотечественники признали его мудрецом. Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, а в остальном – сознательно, подчиняясь нравственному авторитету. Пифагору традиция приписывает введение слов «философия» и «философ». Ученики Пифагора образовали своего рода религиозный орден, или братство посвящённых, состоящий из касты отобранных единомышленников, буквально обожествляющих своего учителя. Этот орден фактически пришёл к власти в Кротоне, однако, из-за антипифагорейских настроений в конце VI в. до н.э. Пифагору пришлось удалиться в другую греческую колонию Метапонт, где он и умер. У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь Аригнота. Диоген, ссылаясь на Гераклида (IV в. до н.э.) говорит, что Пифагор мирно скончался в возрасте 90 лет, к началу эпохи греко-персидских войн. Наиболее поэтичное предание о кончине Пифагора гласит, что его спасли из горящего дома Милона, однако страшной ценой – ценой жизней его единомышленников. Оставшись один, Пифагор так затосковал, что удалился из города и там лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения была лишена для Пифагора всякого смыла.

Арифметика

Числа Пифагором и пифагорейцами мыслились как зримо, в виде камешков, разложенных на песке или абаке – счётной доске. Именно поэтому пифагорейцы не знали нуля – его невозможно было «увидеть». Число они определяли как «множество, составленное из единиц». В современной терминологии числа пифагорейцев – натуральные числа. Так как пифагорейцы представляли числа в виде набора камешков, они пришли к идее фигурных чисел – линейных, плоских, телесных, треугольных, квадратных, пятиугольных и т.д. По этой же причине ими были «увидены» многие свойства натуральных чисел, которые доказываются методом математической индукции, а также открыты свойства арифметических действий. Важнейшей частью пифагорейской арифметики было учение о чётных и нечётных числах. Важнейший полученный ими результат: произведение двух чисел чётно тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей чётен. Вершиной пифагорейской арифметики является учение о совершенных числах. Именно они задолго до нашей эры нашли единственную формулу для совершенного числа. Другим важным открытием считается нахождение пифагоровых троек, то есть, троек чисел, удовлетворяющих уравнению Пифагора                   Интересно отметить, что пифагорейцам были известны такие громоздкие пифагоровы тройки как (12709, 13500, 18541). Нет никаких сомнений, что такие числа были подобраны не простым перебором, а по неким единым правилам. Ныне известная каждому школьнику таблица умножения также восходит к Пифагору. Характерной особенностью мышления пифагорейцев было не только стремление всё измерять, но и соизмерять. Именно так возникла теория пропорций, причём раньше, чем теория самих отношений. Так как дробных чисел у пифагорейцев не существовало, то любая обыкновенная дробь воспринималась ими не как доля единицы, а именно как отношение двух целых чисел. Помимо обычных пропорций пифагорейцы уделяли большое внимание непрерывным пропорциям (средним величинам) – так называемым средним степенным. Наивысшим достижением пифагорейской школы и поворотным этапом в развитии всей математики было открытие несоизмеримости, то есть обнаружение таких величин, отношение которых не может быть выражено целым числом или их отношением. Скорее всего, пифагорейцы пришли к этому великому открытию, решая задачу о нахождении диагонали квадрата, хотя доподлинно это  неизвестно.

Геометрия

В школе Пифагора геометрия оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию как науку о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию. Самое главное – свойства геометрических фигур устанавливались пифагорейцами не путём измерений, а именно с помощью логических рассуждений. Таким образом, Пифагор ввёл доказательство в геометрию (и в математику вообще). Обладая широчайшей областью практических применений, геометрия первой из учений пифагорейской школы сбросила пелену «секретности» и стала самой популярной наукой. Пифагорейцы в  целом построили всю планиметрию прямолинейных фигур. Они изучили свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов, трапеций, доказали теорему о сумме углов треугольника, теорему о стороне треугольника, лежащей против тупого угла, теоремы о равновеликости треугольников. Вершиной планиметрии прямолинейных фигур явилось доказательство знаменитой теоремы Пифагора. Легенда гласит, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка (по другим данным – даже сто быков). Пифагорейцы проявляли повышенный интерес к правильным фигурам и телам. Правильные геометрические формы как нельзя более отвечали всей пифагорейской философии о закономерном, структурно-упорядоченном гармоничном устройстве мироздания. Пифагорейцы доказали, что плоскость можно замостить лишь тремя правильными многоугольниками: треугольниками, квадратами и шестиугольниками. Пифагорейцы умели строить правильный пятиугольник. Пятиконечную звезду (пентаграмму)  – свой главный символ и опознавательный знак – они складывали из трёх равнобедренных треугольников. Пифагорейцы поставили проблему – при каких  правильный угольник может быть построен при помощи циркуля и линейки? Окончательно эта проблема была решена в конце XVIII века немецким математиком К.Ф. Гауссом (1777-1855). Пифагорейцы также занимались тремя классическими задачами древности – об удвоении куба, о трисекции угла и о квадратуре круга. Первую из этих задач удалось окончательно решить последнему и наиболее выдающемуся представителю пифагорейской школы – Архиту.

Музыка

В пифагорейской математике именно музыка стала первым и единственным физическим свидетелем пифагорейского тезиса «Всё есть число». Родство с арифметикой обогатило музыку методами построения её фундамента – музыкальной гаммы. Пифагор обнаружил, что приятные слуху созвучия – консонансы – получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, относятся как целые числа первой четвёрки. При этом было замечено, что чем меньше число  в отношении , тем созвучнее интервал. Именно это открытие послужило отправной точкой в пифагорейской философии. Законы звучащих тел изучали на древнем примитивном музыкальном инструменте – монохорде. В основу пифагорейской теории музыки легла два закона: 1) Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число 10. 2) Высота тона определяется частотой колебания струны, которая обратно пропорциональна длине струны. В основу музыкальной шкалы – гаммы -  пифагорейцы положили интервал октавы. Октава настолько созвучный консонанс, что верхний звук кажется уменьшенной копией нижнего, поэтому его и принято называть октавным повторением нижнего тона и обозначать той же нотой. Наблюдение пифагорейцами движения струн было прообразом исследований колебаний струны – одной из важнейших задач математической физики.

Астрономия

 Звёздное небо будоражило разум пифагорейцев, и астрономия для них была наиболее мировоззренчески значимой и одновременно наиболее поэтической наукой. Астрономия, как никакая другая наука, давала пищу богатому воображению пифагорейцев, и они мало заботились об обуздании своих фантазий логическими и эмпирическими доказательствами. Пифагорейцы верили в гармоническое устройство мироздания. Именно поэтому они впервые назвали Вселенную словом «космос», что означает «строй, порядок, прекрасное устроение». Именно из соображений совершенства пифагорейцы утверждали, что планеты имеют шарообразную форму, а траектории их движения – окружности. Пифагор впервые высказал предположение, что две самые яркие и красивые на небе звезды – одна утренняя, а другая – вечерняя, это не что иное,  как планета Венера. По преданию, Пифагору принадлежит первая модель устройства Вселенной. В центре Мироздания Пифагор помещает Землю, вокруг которой вращаются три сферы: сфера Луны, сфера Солнца и сфера звёзд вместе с планетами. Пифагорейская мысль о том, что каждая планета прикреплена к своей прозрачной небесной сфере и вместе с ней совершает круговое вращение, продолжала жить в астрономии вплоть до работ Иоганна Кеплера. Внутреннее устройство пифагорова космоса напоминало своеобразную музыкальную шкатулку, в которой каждая из движущихся сфер издавала некоторый звук. Слух человека не воспринимает гармоничного звучания небесных сфер, однако душа человека охотно откликается на это звучание.