|
ПОЛЕЗНЫЕ ПОДСКАЗКИ
|
Просто о главном. Пособие для учащихся.
|
Методическая
разработка Фазлутдиновой Назифы Фаильевны, учителя математики МКОУ «Ишимская
ООШ» Новосибирская область Чистоозерный район
|
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
Признак
делимости на
|
Число делится
«на», если
|
Делятся
|
Не делятся
|
2
|
оно оканчивается чётной цифрой (0,2,4,6,8)
|
148; 10006; 74; 270
|
43; 1225; 1007
|
10
|
оно оканчивается нулём
|
20; 69800; 430
|
255; 6631; 14; 87
|
5
|
оно оканчивается 0 или 5
|
2205; 980; 70; 9875
|
2201; 987; 74; 552
|
3
|
сумма цифр числа делится на 3
|
411(4+1+1=6); 1002; 81; 111000
|
751; 33800; 80821
|
9
|
сумма цифр числа делится на 9
|
1260; 6039; 70704
|
111115; 120; 30305
|
РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Разложить число на простые множители – значит представить его в виде
произведения простых чисел.
75 = 5∙5∙3
1)
28
= 2∙2∙7; 2) 363 = 3∙11∙11; 3) 264 = 2∙2∙2∙3∙11
Ход работы в примере
3): 264 2
264 : 2 =
132
132
2
13 2 : 2 =
66 66 2
66 : 2 =
33
33
3
33 : 3 =
11 11 11
11 : 1 1= 1
делители – только простые
числа
НОК и НОД
(наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель)
НОД (63и98) = 7 НОД(120и45) = 5∙3=15
63
3 98 2 120 5
45 5
21
3 49 7 24
2 9 3
7
7 7 7 12
2 3 3
63=3∙3∙7 98=2∙7∙7
6 2 120=5∙2∙2∙2∙3; 45= 5∙3∙3
3 3
НОК(15и20) = (5∙3)∙2∙2=60
НОК(12и40) = (2∙3∙2)∙5∙2=120
15
5 20 2 нет в разложе-
12 2 40 2 нет в раз-
3
3 10
2 нии 15 6 2 - 5 ложении 12
5 5 3
3 4 2
2 2
СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
Чтобы сократить дробь, нужно и числитель и знаменатель разделить на одно и
то же число.
(сократили на 5)
= (сократили на 2)
= (сокр. на 10) = (сокр. на 2)
, , ─ несократимые
дроби
ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ОБЩЕМУ
ЗНАМЕНАТЕЛЮ
Любые две дроби можно привести к общему (одинаковому) знаменателю. Обычно дроби
приводят к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). НОЗ = НОК знаменателей
Привести к общему знаменателю дроби:
1)
и ; а) НОК(9и 6)=18; б) 18:9=2, 18:6=3 ( 2 и 3 – дополнительные мно –
жители)
в) умножаем
на дополнительные множители и числители и
знаменатели
данных дробей.
Ответ: и → и
2)
и ; а) НОК(12 и 15)=60; б)60:12=5, 60:15=4 (5 и 4 – дополн. множ.)
в) см.пример 1.
Ответ: и → и
СРАВНЕНИЕ, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
Чтобы
сравнить, сложить или вычесть обыкновенные дроби, надо:
· привести дроби к общему
знаменателю;
· сравнить, сложить или вычесть
числители новых дробей, оставляя их знаменатели без изменения.
1. Сравнить: и ; а) НОЗ (9и7)=63; б) = ; = ; в) › → ›
2.
Вычислить: + ( НОЗ(10и15) = 30 ← в уме ) = + =
Вычислить: – ( НОЗ (12и8) = 24 ← в уме ) = – =
ЗАПИСЬ: + = = =
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ
ЧИСЕЛ
Для сложения и вычитания смешанных чисел нужно отдельно
сложить целые и дробные части компонентов.
1.
+ = = = ← в ответе дробь должна быть правильной
2.
–1 = = 4 = 4 ← в ответе дробь должна быть несокра-
тимой
БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИТАНИЯ
3.
3
– = ← ? (9 11) : занимаем у 2 целых 1 и дробим её на , которые добавляем к дробной части, имеем: = =
1 = = = …… = = …… = = …… = = ….
УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
· Для умножения обыкновенных
дробей нужно перемножить их числители и их знаменатели.
· Если возможно сокращение –
его надо выполнить, это облегчит вычисления.
· При умножении смешанных и
целых чисел их заменяют неправильными дробями.
1.
∙ = =
2.
2
∙ = = = = 1
3.
7
∙ = ∙ = = 4
ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
Деление обыкновенных дробей можно заменить умножением на «перевёрнутую»
дробь.
Шаги деления обыкновенных дробей:
1.
преобразовать
пример: : (все компоненты – дроби)
2.
заменить:
: = ∙
3.
выполнить
умножение
1) : = ∙ = = = 1 ;
2) : 6 = : = ∙ = =
НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА
Задача. В книге 140 страниц. Андрей прочитал 0,3 этой книги. Сколько страниц
прочитал Андрей?
Решение
0,3
от 140 стр. ; 140 ∙ 0,3 = 42 (стр.)
Ответ:
Андрей прочитал 42 страницы.
НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ДРОБИ
Задача. Девочка прошла на лыжах 300 метров, что составляет дистанции. Какова длина дистанции?
Решение
300
м сост. дистанции; 300 : = ∙ = = 800 (м)
Ответ:
длина дистанции 800 метров.
ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
1)
2
: 48; 36 : 1,8; х : 15 - отношения.
2)
Пропорция
– равенство двух отношений.
3)
12
: 6 =
100 : 50 12 и 50 – крайние члены
6 и
100 – средние члены
=
4)
Основное свойство пропорции: если пропорция верна, то произведение
крайних членов равно произведению средних членов пропорции: 12 : 6 = 100 : 50; → 12 ∙
50 = 6 ∙ 100 = 600;
5)
Решение
уравнений
=
10 : Х = 2,5 : 5
0,4 ∙х = 2∙
5
2,5Х = 10 ∙ 5
0,4х = 10; х = 10 : 0,4 = 100:4=25 ; Х = 25
2,5Х = 50; Х = 50 : 2,5 = 500 : 25; Х = 20
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА.
C – длина окружности; S – площадь круга;
∏(пи) ≈ 3,1415926536… (3,14); R(r)-радиус;
C = 2∏R
S = ∏
Задача Найти длину окружности и площадь круга с радиусом 5 см.
Решение
1.
r = 2 ∙ 3,14 ∙5 = 6,28 ∙ 5 = 31,4(см)
2.
= 3,14 ∙ = 3,14 ∙ 25 = 78,5()
Окружность – линия, Круг – часть плоскости
КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ.
ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ЧИСЛА. МОДУЛЬ ЧИСЛА.
1.
В(-5); А(2); С(3,4) –
координаты точек
2. противоположные числа: 2 и-2; 5 и-5; -135 и 135; -2,3 и 2,3
3. а - модуль числа а
│а│ = а, если а ≥ 0 → │9│ = 9; │138│ = 138; │0│ = 0
│а│ = -а, если а ≤ 0 → │-5│ = 5; │-18│ = 18
Модуль числа не может быть отрицательным!
СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ
1.
Из
двух чисел всегда больше то, которое расположено на числовой прямой правее:
21 › -40; 18 › 11; -2 › -2339.
2.
Любое
положительное число всегда больше
отрицательного: 0,12 › -743; 1 › -5
3.
Любое
положительное число больше нуля, а любое отрицательное меньше нуля: 25 › 0; 0 ‹ 987; 0 › -45;
-2,47 ‹ 0
4.
Из
двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше:
-287 ‹ -5; -18 › -35; -100 ‹ -1
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И
ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и в
ответе поставить знак «-«:
(-5) + (-11) = -16; -100 + (2,9) = -102,9
2. Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из
большего модуля вычесть меньший и в ответе поставить знак слагаемого с большим
модулем:
25 + (-8) = 17 |25| › |-8| → в ответе знак
«+»
-25 + 8 = -17; |-25| › |8| → в ответе
знак «-«
3. Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к
уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а) -6 – 10 = -6 + (-10) =
-16; б) 2 – (-3) = 2 + 3 = 5; в) -1 – (-5) = -1 + 5 =
4;
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ
И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
МНОЖИТЕЛЬ(ДЕЛИМОЕ)
|
МНОЖИТЕЛЬ(ДЕЛИТЕЛЬ)
|
ПРОИЗВЕДЕНИЕ(ЧАСТНОЕ)
|
+ /
+
|
+ / +
|
+ /
+
|
+ /
+
|
- /
-
|
- / -
|
- /
-
|
+ /
+
|
- / -
|
- / -
|
- /
-
|
+ / +
|
ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ СЛАГАЕМЫХ
Подобные слагаемые – это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную
часть: 25х и 0,4х; 8 m и 100m; 6 а и 7,11а
Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и
результат умножить на общую буквенную часть
· 6х – 2х + 4х = 8х
6 – 2 + 4 = 8
· 18а + 10а – а = 27а
18 + 10 – 1 = 27
· 5а – у + 11у – 9а – 2а
= -6а + 10у
5 – 9 – 2 = -6; -1 + 11 =
10
РАСКРЫТИЕ СКОБОК
Чтобы раскрыть
скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать скобки, оставив все
слагаемые в скобках со своими знаками (если перед первым слагаемым в скобке
знака нет, то подразумевается «+»).
· (-21х + 47 – 5х) = -21х
+ 47 – 5х = -26х + 47;
· 11а + (5у + 5х – 5а) = 11а
+ 5у + 5х – 5а = 6а + 5х + 5у;
Чтобы раскрыть скобки, перед
которыми стоит знак «-», нужно убрать скобки, поменяв знаки всех слагаемых в
скобках на противоположные.
· - (-21х + 47 – 5х) = 21х
– 47 + 5х = 26х – 47;
· 11а – (5у + 5х – 5а) = 11а
– 5у – 5х + 5а = 16а -5у – 5х.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Уравнения решаются по следующему
алгоритму
Дано уравнение
|
7х – (12 + 3х) = 4(х – 3) – 2х + 10
|
Раскрыть скобки
|
7х – 12 – 3х = 4х – 12 – 2х + 10
|
Перенести в левую часть уравнения
неизвестные слагаемые, а в правую – известные (при переносе поменять
знак!)
|
7х – 3х – 4х + 2х = -12 + 10 + 12
|
Привести подобные слагаемые
|
2х = 10
|
Найти корень уравнения
|
Х = 10 : 2
Х = 5
|
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.