Выдаём удостоверения и дипломы установленного образца

Получите 5% кэшбэк!

Запишитесь на один из 793 курсов и получите 5% кэшбэк стоимости курса на карту

Выбрать курс
Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодическое пособие для самостоятельной работы по разделу «Основы тригонометрии».

Методическое пособие для самостоятельной работы по разделу «Основы тригонометрии».

Скачать материал
библиотека
материалов

Департамент образования, науки и молодежной политики Воронежской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Воронежской области

«Воронежский политехнический техникум»

(ГБПОУ ВО «ВПТ»)



РАССМОТРЕНО

на заседании предметно-цикловой комиссии математических и естественнонаучных дисциплин

Протокол от «___»_______201___ г.

___

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора

по учебно-методической работе

_________ Ю.Н. Козырев


«____»____________ 20_____ г.







Методическое пособие для самостоятельной работы по разделу «Основы тригонометрии».


по дисциплине Математика


19.02.10 Технология продукции общественного питания

15.02.08 Технология машиностроения




Разработал: ______преподаватель Я. А. Жигалкина


Председатель

цикловой комиссии: _________ А.В. Бакланова




2019 г.

Пояснительная записка

В условиях реализации государственных образовательных стандартов нового поколения внеаудиторная нагрузка является обязательной формой работы для каждого студента и подлежит контролю и оцениванию со стороны преподавателя. Новизна требования образовательных стандартов для студентов состоит в том, чтобы сформировать желание и умение учиться и самосовершенствоваться, развиваться всю жизнь, работать в команде. В основе самостоятельной работы студента должен лежать деятельностный подход. Он заключается в том, что бы учащиеся получали не только готовые знания, но и добывали их сами, осознавая при этом содержание и формы своей учебной деятельности. Данные подходы развивают творческий потенциал личности и способствуют приобретению собственного опыта деятельности, способности адекватного принятия решения в условиях выбора. Вам будут предложены разнообразные формы работы:

  • работа с источниками информации, с современными средствами коммуникации;

  • решение познавательных и практических задач, отражающих типичные ситуации;

Методичка содержит основные вопросы теории по изучаемому разделу математики, примеры решения задач, контрольные вопросы по данному разделу для систематизации материала, а также задачи для самостоятельного решения.





















Основы тригонометрии

  1. Радианная мера угла. Тригонометрические функции числового аргумента.

Определение. Углом в один радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу.

Формула перехода от градусного измерения к радианному: .

Пример 1.Найти радианную меру угла, равного .

Решение.

Подставив в формулу вместозаданное значение, получим: .

Формула перехода от радианного измерения к градусному:

.

Пример 2.Найти градусную меру угла, равного .

Решение.

Подставив в формулу вместозаданное значение, получим: .

Определение. Абсцисса точки числовой единичной окружности, в которую перейдет конец начального радиуса при повороте на угол , называется косинусом числа . Обозначение: .


Определение. Ордината точки числовой единичной окружности, в которую перейдет конец начального радиуса при повороте на угол , называется синусом числа . Обозначение: .

Определение. Отношение синуса к косинусу называется тангенсом числа : .

Определение. Отношение косинуса к синусу называется котангенсом числа : .

Для синуса и косинусаобластью определения является вся числовая прямая, т. к. угол поворота начального радиуса может быть каким угодно. Областью значенийэтих функций является отрезок [-1;1], т. к. координаты точек окружности единичного радиуса не превосходят единицу по модулю.

Для тангенса областью определения являются все значения числовой прямой, в которых косинус не равен нулю, т. е. все точки, кромеДля котангенса исключаются из числовой прямой точки, в которых синус равен нулю, т.е.

Область значения тангенса и котангенса ограничений не имеет.

Границы координатных четвертей в градусах и радианах.


I

II

III

IV

Градусы





Радианы






Знаки функций по четвертям:



+




+





_



+




_



+


_


_


_



+


+


_




Четность и нечетность тригонометрических функций.

Функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными. Для них справедливы следующие равенства:

, , .

Косинус является четной функцией, поэтому .


Таблица значений тригонометрических функций


0









sin hello_html_567774a5.gif

0

hello_html_m26b92426.gif



1




0

cos

1




0




-1

tg

0


1


_


-1


0

ctg

_


1


0


-1


_


Тригонометрические тождества

  1. 2 3

4 5 6

Пример 3. Найти и , если

Решение.

Выразим из формулы , получим ,

так как угол принадлежит второй четверти, а косинус во второй четверти принимает отрицательные значения.

Отсюда имеем . Так как , то


Пример 4.Упростить выражение: .

Решение.

Применим формулу квадрата суммы, приняв за первое слагаемое , а за второе - : =.

Из формулы следует, что выражение в скобках равно 1, т.е.

=.

Пример 5. Упростить выражение: .

Решение.

Из тригонометрических тождеств следует: ,

, . Подставим полученные выражения в условие: =.


2. Основные тригонометрические формулы


Формулы двойного аргумента

  1. или , или


Формулы сложения

  1. 5

  2. 6

Формулы суммы и разности

4

Формулы половинного аргумента

  1. , 2 ,


3 , ,

Формулы приведения

С помощью формул приведения тригонометрическую функцию любого аргумента можно представить в виде функции острого угла, записав аргумент как сумму или разность двух углов, первый из которых представляет собой одну из границ координатных четвертей, а торой является острым.

Если граница выражена целым количеством числа(), функция сохраняет название. А если граница четвертей представлена дробным числом (), название функции меняется на противоположное ( на «кофункцию»), например, синус на косинус, тангенс на котангенс острого угла. Знак новой функции определяется по функции, стоящей в условии.

Пример 6.

Решение.

Так как граница представлена дробью, название функции изменено на «кофункцию», т.е. синус на косинус.


является углом IV четверти. Синус в этой четверти принимает отрицательные значения. Следовательно, новая функция будет также принимать отрицательное значение.


Пример 7.

Решение.

Так как граница представлена целым количеством , название функции сохраняется.является углом IV четверти. Тангенс в этой четверти принимает отрицательное значение.



Пример 8. Упростить .

Решение.

Так как , а , получим

.

Пример 9. Упростить .

Решение.

Применим к числителю формулы сложения: =

.


Пример 10. Вычислить , если .

Решение.

По формулам двойного аргумента имеем: . Отсюда подставив в формулу значение синуса, получим: .

Пример 11.Определить знак выражения .

Решение.

По формулам приведения имеем:

1);

2) ;

3) .

Подставив данные функции в условие и зная, что в первой координатной четверти все функции принимают положительные значения, получим: = =



Преобразования графиков тригонометрических функций.

1 Параллельный перенос

1.1 Для построения графика функции

,

где - постоянное число, надо перенести график функции на вектор вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию

.

Здесь график функции


параллельным переносом смещается вдоль оси ординат на вектор (0;2), т. е. на два единичных отрезка вверх.

Для функции


график функции


параллельным переносом смещается вдоль оси ординат на вектор (0;-3), т. е. на три единичных отрезка вниз.

1.2 График функции


получается из графика функции


переносом воль оси абсцисс на вектор (а;0). Если а положительное, то вектор направлен в положительном направлении, а при отрицательном значении а – в отрицательном.

Рассмотрим функцию

.

В этом случае график функции


параллельным переносом смещается вдоль оси абсцисс на вектор , т. е. навправо. График функции


получается смещением графика функции


вдоль оси абсцисс на вектор (), т. е. навлево.

2 Деформация

2.1 Для построения графика функции


надо растянуть график функции


в k раз вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию

.

Здесь график функции


растягивается вдоль оси ординат в три раза. Поэтому областью значений функции будет отрезок . Точки графика функции

,

лежащие на оси абсцисс свое положение не изменят.

Для функции


график функции


растянется в 0,5 раза, т. е. сожмется в два раза вдоль оси ординат.

2.2 Для построения графика функции


надо подвергнуть график функции


растяжению с коэффициентом kвдоль оси абсцисс.

Рассмотрим функцию

.

В этом случае график функции


растягивается в два раза вдоль оси абсцисс. Не меняет свое положение только точка с координатами (0;0).

Для функции


график функции


растягивается в раза, т. е. сжимается в два раза. Точка с координатами (0;1) не меняет свое положение.

Таким образом, при деформации вдоль оси абсцисс не меняет свое положение точка графика, лежащая на оси ординат.

Тригонометрические уравнения.

Теорема о корне

Если функция убывает или возрастает на некотором промежутке, и число а - любое из значений, принимаемых функций на этом промежутке, то уравнение


имеет единственный корень в этом промежутке.


1. Уравнение .

Если , уравнение не имеет решений, так как для любого х.

Пусть .

Определение. Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка , косинус которого равен а .


Если , то формула корня имеет вид

( 1 )


Если а =1, то

( 2 )

Если а = -1, то

( 3 )

Еслиа = 0, то

( 4 )

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.


Так как , то

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

, то есть

Выразим переменную х :,

.

2.Уравнение .


Данное уравнение не имеет решений, если , так как область значений функции синуса принадлежит отрезку .

Определение.Арксинусомчислаа называют такое число из отрезка ,синус которого равен а.


Общее решение уравнения принято записывать в виде формулы

( 5 )

Если а = -1, то ( 6 )

Если а = 1, то ( 7 )

Если а = 0, то( 8 )



Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

По формуле ( 5 ) имеем, следовательно,

.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

По формуле (5) .

Так как , то или .

Выразим х: , .

3.Уравнение ,

При любом значенииа данные уравнения имеют единственное решение.

Определение. Арктангенсом числа а называется такое число из интервала , тангенс которого равен а.

; .

Определение. Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала , котангенс которого равен а .

Для уравнения корень находят по формуле

(9)

Для уравнения корень находим по формуле

(10)

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

По формуле (9) имеем

или ,

откуда

или .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.

По формуле (10) имеем или .

Уравнение, являющееся квадратным относительно одной тригонометрической функции, решается сначала как квадратное, а затем сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение.

Обозначим , получим уравнение . Найдем корни данного уравнения:

и .

Таким образом исходное уравнение сводится к решению двух простейших уравнений: и . Первое уравнение решения не имеет, учитывая область значений функции . Решая второе, получим: или .

Пример 8. Решить уравнение .

Решение.

Заменим на . Получим уравнение или

Обозначим , получим уравнение . Найдем корни данного уравнения:

и .

Таким образом исходное уравнение сводится к решению двух простейших уравнений: и . Из первого уравнения . Решая второе, получим: .

Тригонометрические неравенства.

Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится к решению простейших неравенств вида


и т.д.

Рассмотрим на примерах способы их решения.

Пример 7. Решим неравенство .

Решение.

Следовательно, все точки единичной окружности при значениях х, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, большую или равную . Множество таких точек выделено дугой. Т. к. неравенство нестрогое, концы дуги входят в промежуток решения. Точка лежит на правой полуокружности, ее ордината равна , поэтому в качестве х можно взять значение .

Совершая обход дуги против часовой стрелки от точки к, легко увидеть, что и, следовательно, .

Значит, решением данного неравенства является отрезок , , учитывая периодичность функции.

Пример 8. Решим неравенство .

Решение.

Следовательно, все точки единичной окружности при значениях х, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, меньшую . Множество таких точек выделено дугой. Т. к. неравенство строгое, концы дуги не входят в промежуток решения. Точка

лежат на правой полуокружности, ее ордината равна , поэтому в качестве х можно взять значение .

Совершая обход дуги по часовой стрелке от точки к, легко увидеть, что и, следовательно, .

Учитывая периодичность функции, решением данного неравенства является интервал , .

Пример 9. Решим неравенство .

Решение.

Все точки единичной окружности при значениях х, удовлетворяющих данному неравенству, имеют абсциссы, меньшие . Множество таких точек выделено дугой. Т. к. неравенство строгое, концы дуги не входят в промежуток решения. Точка лежит в верхней полуплоскости, ее абсцисса равна , следовательно, .

Совершая обход дуги против часовой стрелки от точки к , легко увидеть, что , следовательно, .

Учитывая периодичность функции, решением данного неравенства является интервал .

Пример 10. Решим неравенство .

Решение.

Период тангенса равен , поэтому все решения данного неравенства будут принадлежать промежутку . Проведем линию тангенсов, параллельную оси ординат и проходящую через точку с абсциссой. Проведем луч из начала координат в первой четверти, еслиа положительное и в четвертой, если отрицательное. Этот луч ограничит дугу, содержащую все точки, удовлетворяющие данному неравенству. Пусть

а =1. Тогда неравенство примет вид . Точка принадлежит дуге, следовательно, .

Т. к. неравенство нестрогое, эта точка принадлежит решению неравенства. С другой стороны, т. к. , следуя по дуге по часовой стрелке, увидим, что другой конец промежутка, содержащего решения, ограничен областью определения функции, а именно значением . Поэтому решением данного неравенства является промежуток

.

Контрольные вопросы

  1. Дать определение тригонометрических функций.

  2. Указать области определения и области значений каждой функции.

  3. Записать основные тригонометрические формулы.

  4. Таблица значений тригонометрических функций.

  5. Четность и нечетность тригонометрических функций.

  6. Записать границы координатных четвертей в градусах и радианах.

  7. Как определяются знаки тригонометрических функций по четвертям?

  8. Перечислить виды преобразований графиков функций.

  9. В чем заключается параллельный перенос графиков тригонометрических функций вдоль координатных осей.

  10. В чем заключается деформация графиков тригонометрических функций вдоль координатных осей.

  11. Сформулируйте определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса.

  12. Сформулируйте свойство четности и нечетности обратных тригонометрических функций.

  13. Перечислите формулы для решения тригонометрических уравнений вида , , , .


Домашнее задание/задание для самостоятельной работы:

1 А. Н. Колмогоров.стр. 224, 232, 238, 259

1. Выполнить задания:

1.
  1. Упростить:


  1. Вычислить , если .

  2. Преобразовать в произведение .

  3. Упростить:


2.

  1. Упростить:


  1. Вычислить , если .

  2. Преобразовать в произведение .

  3. Упростить:


3.

  1. Упростить:


  1. Вычислить , если .

  2. Преобразовать в произведение .

  3. Упростить:


4.

  1. Упростить:


  1. Вычислить , если .

  2. Преобразовать в произведение .

  3. Упростить:



2. Построить графики функций:1) , 2), 3), 4) , 5) , 6) , 7) .

3. Решите уравнение:

136. а) , б) .

137. а) , б) .

138. а) , б) .

139. а) , б) .

141. а) , б) .

144. а) , б) .

146. а) , б) .

164. а) , б).

165. а) , б).

4. Решите неравенство:

154. а) , б) .

155. а) , б) .

158. а) , б) .

159. а) , б) .

5. Н. В. Богомолов. Сборник задач по математике. Среднее профессиональное образование.

Вычислить:

148. 1) , 2) , 3) .

149. 1) ,

2) ,

6) .

150. 1) ,

3)

  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

В условиях реализации государственных образовательных стандартов нового поколения внеаудиторная нагрузка является обязательной формой работы для каждого студента и подлежит контролю и оцениваниюсо стороны преподавателя. Новизна требования образовательных стандартов для студентов состоит в том, чтобы сформировать желание и умение учиться и самосовершенствоваться, развиваться всю жизнь, работать в команде. В основе самостоятельной работы студента должен лежать деятельностный подход. Он заключается в том, что бы учащиеся получалине только готовые знания, но идобывали их сами, осознавая при этом содержание и формы своей учебной деятельности. Данные подходы развивают творческий потенциал личности и способствуют приобретению собственного опыта деятельности, способности адекватного принятия решения в условиях выбора. Вам будут предложены разнообразные формы работы:

  • работа с источникамиинформации, с современными средствами коммуникации;
  • решение познавательных и практических задач, отражающих типичные ситуации;

Методичка содержит основные вопросы теории по изучаемому разделу математики, примеры решения задач, контрольные вопросы по данному разделу для систематизации материала, а также задачи для самостоятельного решения.

Проверен экспертом
Общая информация
Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.