Методическое пособие для самостоятельной работы по разделу «Основы тригонометрии».

Департамент образования, науки и молодежной политики Воронежской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Воронежской области

«Воронежский политехнический техникум»

(ГБПОУ ВО «ВПТ»)

РАССМОТРЕНО на заседании предметно-цикловой комиссии математических и естественнонаучных дисциплин Протокол  от «___»_______201___ г. № ___

УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по учебно-методической  работе  _________ Ю.Н. Козырев «____»____________ 20_____ г.

Методическое пособие для самостоятельной работы по разделу «Основы тригонометрии».

по дисциплине Математика

19.02.10 Технология продукции общественного питания

15.02.08  Технология машиностроения

Разработал: ______преподаватель Я. А. Жигалкина Председатель цикловой комиссии: _________ А.В. Бакланова

2019 г.

Пояснительная записка

         В условиях реализации государственных образовательных стандартов нового поколения внеаудиторная нагрузка является обязательной формой работы для каждого студента и подлежит контролю и оцениванию  со стороны преподавателя. Новизна требования образовательных стандартов для студентов состоит в том, чтобы сформировать желание и умение учиться и самосовершенствоваться, развиваться всю жизнь, работать в команде. В основе самостоятельной работы студента должен лежать деятельностный подход. Он заключается в том, что бы учащиеся получали  не только готовые знания, но и  добывали их сами, осознавая при этом содержание и формы своей учебной деятельности. Данные подходы развивают творческий потенциал личности и способствуют приобретению собственного опыта деятельности, способности адекватного принятия решения в условиях выбора. Вам будут предложены разнообразные формы работы:

-         работа с источниками  информации, с современными средствами коммуникации;

-         решение познавательных и практических задач, отражающих типичные ситуации;

         Методичка содержит основные вопросы теории по изучаемому разделу математики, примеры решения задач, контрольные вопросы по данному разделу для систематизации материала, а также задачи для самостоятельного решения.

Основы тригонометрии

1.     Радианная мера угла. Тригонометрические функции числового аргумента.

Определение. Углом в один радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу.

Формула перехода от градусного измерения к радианному: .

Пример 1.Найти радианную меру угла, равного .

Решение.

Подставив в формулу вместозаданное значение, получим: .

                   Формула перехода от радианного измерения к градусному:

.

Пример 2.Найти градусную меру угла, равного .

Решение.

Подставив в формулу вместозаданное значение, получим: .

Определение. Абсцисса  точки  числовой единичной окружности, в которую перейдет конец начального радиуса при повороте на угол , называется косинусом числа . Обозначение: .

Определение. Ордината  точки  числовой единичной окружности, в которую перейдет конец начального радиуса при повороте на угол , называется синусом числа . Обозначение: .

Определение. Отношение синуса к косинусу называется тангенсом числа : .

Определение. Отношение косинуса к синусу называется котангенсом числа : .

     Для синуса и косинусаобластью определения является вся числовая прямая, т. к. угол поворота начального радиуса может быть каким угодно. Областью значенийэтих функций является отрезок [-1;1], т. к. координаты точек окружности единичного радиуса не превосходят единицу по модулю.

Для тангенса областью определения являются все значения числовой прямой, в которых косинус не равен нулю, т. е. все точки, кромеДля котангенса исключаются из числовой прямой точки, в которых синус равен нулю, т.е.

Область значения тангенса и котангенса ограничений не имеет.

Границы координатных четвертей в градусах и радианах.

	I	II	III	IV
Градусы
Радианы

Знаки функций по четвертям:

+	+		_	+		_	+
_	_		_	+		+	_

Четность и нечетность тригонометрических функций.

Функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными. Для них справедливы следующие равенства:

,    ,     .

Косинус является четной функцией, поэтому .

Таблица значений тригонометрических функций

	0
sin	0						1							0
cos	1						0							-1
tg	0			1			_			-1				0
ctg	_				1		0				-1			_

Тригонометрические тождества

1                 2              3 

           4              5       6 

Пример 3. Найти   и , если

Решение.

Выразим   из формулы , получим ,

так как угол  принадлежит второй четверти, а косинус во второй четверти принимает отрицательные значения.

Отсюда имеем  . Так как ,  то

Пример 4.Упростить выражение: .

                       Решение.

           Применим формулу квадрата суммы, приняв за первое слагаемое               ,  а за второе - :     =.

               Из формулы  следует, что выражение в скобках равно 1, т.е.

=.

Пример 5. Упростить выражение: .

Решение.

Из тригонометрических тождеств следует: ,

,   . Подставим полученные выражения в условие: =.

2. Основные тригонометрические формулы

Формулы двойного аргумента

1      

2        или , или

3      

Формулы сложения

1                 5

2      

3                  6  

4      

Формулы суммы и разности

1      

2      

3      

           4  

Формулы половинного аргумента

1        ,           2   ,                            

3  ,               ,               

Формулы приведения

С помощью формул приведения тригонометрическую функцию любого аргумента можно представить в виде функции острого угла, записав аргумент как сумму или разность двух углов,  первый из которых представляет собой одну из границ координатных четвертей,  а торой является острым.

Если граница выражена целым количеством числа(), функция сохраняет название. А если граница четвертей представлена дробным числом (),  название функции меняется на противоположное ( на «кофункцию»), например,  синус на косинус, тангенс на котангенс острого угла.  Знак новой функции определяется по функции, стоящей в условии.

Пример 6.

Решение.

Так как граница представлена дробью, название функции изменено на «кофункцию», т.е. синус на косинус.

является углом IV четверти. Синус в этой четверти принимает отрицательные значения. Следовательно, новая функция будет также принимать отрицательное значение.

Пример 7.

Решение.

  Так как граница представлена целым количеством ,  название функции сохраняется.является углом IV четверти. Тангенс в этой четверти принимает отрицательное значение.

Пример 8. Упростить  .

Решение.

Так как   , а , получим

.

Пример 9. Упростить .

Решение.

Применим к числителю формулы сложения: =

.

Пример 10. Вычислить , если .

Решение.

По формулам двойного аргумента имеем: . Отсюда подставив в формулу значение синуса, получим: .

Пример 11.Определить знак выражения .

Решение.

По формулам приведения имеем:

1);  

2) ;

3) .

Подставив данные функции в условие и зная, что в первой координатной четверти все функции принимают положительные значения, получим:    = =

Преобразования графиков тригонометрических функций.

1 Параллельный перенос

1.1  Для построения графика функции

,

где - постоянное число, надо перенести график функции  на вектор  вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию

.

Здесь график функции

параллельным переносом смещается вдоль оси ординат на вектор (0;2), т. е. на два единичных отрезка вверх.

Для функции

график функции

параллельным переносом смещается вдоль оси ординат на вектор (0;-3), т. е. на три единичных отрезка вниз.

1.2 График функции

получается из графика функции

переносом воль оси абсцисс на вектор (а;0). Если а положительное, то вектор направлен в положительном направлении, а при отрицательном значении а – в отрицательном.

Рассмотрим функцию

.

В этом случае график  функции

параллельным переносом смещается вдоль оси абсцисс на вектор , т. е. навправо. График функции

получается смещением графика функции

вдоль оси абсцисс на вектор (), т. е. навлево.

2 Деформация

2.1 Для построения графика функции

надо растянуть график функции

в k раз вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию

.

Здесь график функции

растягивается вдоль оси ординат в три раза. Поэтому областью значений функции будет отрезок . Точки графика функции

,

лежащие на оси абсцисс свое положение не изменят.

Для функции

график функции

растянется в 0,5 раза, т. е. сожмется в два раза вдоль оси ординат.

2.2 Для построения графика функции

надо подвергнуть график функции

растяжению с коэффициентом kвдоль оси абсцисс.

Рассмотрим функцию

.

В этом случае график функции

растягивается в два раза вдоль оси абсцисс. Не меняет свое положение только точка с координатами (0;0).

Для функции

график функции

растягивается в раза, т. е. сжимается в два раза. Точка с координатами (0;1) не меняет свое положение.

Таким образом, при деформации вдоль оси абсцисс не меняет свое положение точка графика, лежащая на оси ординат.

Тригонометрические уравнения.

Теорема  о  корне

Если функция  убывает  или  возрастает на некотором промежутке,  и число а  -  любое из значений, принимаемых функций на этом промежутке, то уравнение

имеет единственный корень  в  этом  промежутке.

1.   Уравнение .

Если ,  уравнение  не  имеет  решений, так  как  для любого х.

Пусть .

Определение. Арккосинусом  числа  а  называется такое число из отрезка  ,  косинус которого равен а .

Если ,  то формула корня имеет вид

         ( 1 )

Если а =1,  то

                          ( 2 )

Если  а = -1,  то

             ( 3 )

Еслиа = 0,  то 

                      ( 4 )

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Так как ,  то 

Пример 2.  Решить уравнение

Решение.

, то есть

Выразим переменную х :,

.

2.Уравнение .

Данное уравнение не имеет решений, если  ,  так как область значений функции синуса принадлежит отрезку  .

Определение.Арксинусомчислаа  называют такое число из отрезка  ,синус которого равен  а.

Общее решение уравнения   принято записывать в виде формулы

           ( 5 )

Если  а  = -1, то ( 6 )

Если  а = 1,  то ( 7 )

Если  а = 0,  то( 8 )

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

По формуле ( 5 )  имеем, следовательно,

.

Пример 4.  Решить уравнение .

Решение.

По формуле (5) .

Так как , то   или  .

Выразим  х:    ,    .

3.Уравнение ,   

При любом  значенииа  данные уравнения имеют единственное решение.

Определение. Арктангенсом числа а  называется такое число из интервала  , тангенс которого равен  а.

;  .

Определение. Арккотангенсом числа  а  называется такое число из интервала  ,  котангенс которого равен  а .

Для уравнения     корень находят по формуле

           (9)

Для уравнения    корень находим по формуле

            (10)

Пример 5.  Решить уравнение .

Решение.

По формуле  (9)  имеем 

или  ,

откуда 

или  .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.

По формуле  (10) имеем  или  .

Уравнение, являющееся квадратным относительно одной тригонометрической функции, решается сначала как квадратное, а затем сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения.

Пример 7.  Решить уравнение .

Решение.

Обозначим , получим уравнение . Найдем корни данного уравнения:

 и .

Таким образом исходное уравнение сводится к решению двух простейших уравнений:  и . Первое уравнение решения не имеет, учитывая область значений функции . Решая второе, получим:  или .

Пример 8.  Решить уравнение .

Решение.

Заменим  на . Получим уравнение  или

Обозначим , получим уравнение . Найдем корни данного уравнения:

 и .

Таким образом исходное уравнение сводится к решению двух простейших уравнений:  и . Из первого уравнения . Решая второе, получим: .

Тригонометрические неравенства.

Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится к решению простейших неравенств вида

и т.д.

Рассмотрим на примерах способы их решения.

Пример 7.  Решим неравенство .

Решение.

Следовательно, все точки единичной окружности при значениях х, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, большую или равную . Множество таких точек выделено дугой. Т. к. неравенство нестрогое, концы дуги входят в промежуток решения. Точка  лежит на правой полуокружности, ее ордината равна , поэтому в качестве х можно взять значение .

Совершая обход дуги против часовой стрелки от точки к, легко увидеть, что и, следовательно, .

 Значит, решением данного неравенства является отрезок     ,   , учитывая периодичность функции.

Пример 8.  Решим неравенство .

Решение.

Следовательно, все точки единичной окружности при значениях х, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, меньшую . Множество таких точек выделено дугой. Т. к. неравенство строгое, концы дуги не входят в промежуток решения. Точка

лежат на правой полуокружности, ее ордината равна , поэтому в качестве х можно взять значение .

Совершая обход дуги по часовой стрелке от точки к, легко увидеть, что  и, следовательно, .

Учитывая периодичность функции, решением данного неравенства является интервал , .

Пример 9.  Решим неравенство .

Решение.

Все точки единичной окружности при значениях х, удовлетворяющих данному неравенству, имеют абсциссы, меньшие . Множество таких точек выделено дугой. Т. к. неравенство строгое, концы дуги не входят в промежуток решения. Точка  лежит в верхней полуплоскости, ее абсцисса равна , следовательно,  .

Совершая обход дуги против часовой стрелки от точки  к  , легко увидеть, что  , следовательно, .

Учитывая периодичность функции, решением данного неравенства является интервал .

Пример 10.  Решим неравенство .

Решение.

Период тангенса равен , поэтому все решения данного неравенства будут принадлежать промежутку . Проведем линию тангенсов, параллельную оси ординат и проходящую через точку с абсциссой. Проведем луч из начала координат  в первой четверти, еслиа положительное и в четвертой, если отрицательное. Этот луч ограничит дугу, содержащую все точки, удовлетворяющие данному неравенству. Пусть

а =1. Тогда неравенство примет вид . Точка  принадлежит дуге, следовательно, .

Т. к. неравенство нестрогое, эта точка принадлежит решению неравенства. С другой стороны, т. к. , следуя по дуге по часовой стрелке, увидим, что другой конец промежутка, содержащего решения, ограничен областью определения функции, а именно значением . Поэтому решением данного неравенства является промежуток

.

Контрольные вопросы

1                  Дать определение тригонометрических функций.

2                  Указать области определения и области значений каждой функции.

3                  Записать основные тригонометрические формулы.

4                  Таблица значений тригонометрических функций.

5                  Четность и нечетность тригонометрических функций.

6                  Записать границы координатных четвертей в градусах и радианах.

7                 Как определяются знаки тригонометрических функций по четвертям?

8                  Перечислить виды преобразований графиков функций.

9                  В чем заключается параллельный перенос графиков тригонометрических функций вдоль координатных осей.

10             В чем заключается деформация графиков тригонометрических функций вдоль координатных осей.

11             Сформулируйте определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса.

12             Сформулируйте свойство четности и нечетности обратных тригонометрических функций.

13             Перечислите формулы для решения тригонометрических уравнений вида , , , .

Домашнее задание/задание для самостоятельной работы:

1 А. Н. Колмогоров.стр. 224, 232, 238, 259

№ 1. Выполнить задания:

№ 1. Упростить: Вычислить , если . Преобразовать в     произведение . Упростить:	№  2. Упростить: Вычислить , если . Преобразовать в     произведение . Упростить:
№ 3. Упростить: Вычислить , если . Преобразовать в     произведение . Упростить:	№  4. Упростить: Вычислить , если . Преобразовать в   произведение . Упростить:

2. Построить графики функций:1) , 2),  3),                                                  4) ,   5) ,  6) , 7) . 

3. Решите уравнение:

№ 136. а) ,  б) .

№ 137. а) ,  б) .

№ 138. а) ,  б) .

№ 139. а) ,  б) .

№ 141. а) ,  б) .

№ 144. а) ,  б) .

№ 146. а) ,  б) .

№ 164. а) ,  б).

№ 165. а) ,  б).

4. Решите неравенство:

№ 154. а) ,  б) .

№ 155. а) ,  б) .

№ 158. а) ,  б) .

№ 159. а) ,  б) .

5. Н. В. Богомолов. Сборник задач по математике. Среднее профессиональное образование.

  Вычислить:

№ 148.  1) ,   2) ,   3) .

№ 149. 1) ,

             2) ,

             6) .

№ 150. 1) ,

             3)

Краткое описание документа:

В условиях реализации государственных образовательных стандартов нового поколения внеаудиторная нагрузка является обязательной формой работы для каждого студента и подлежит контролю и оцениваниюсо стороны преподавателя. Новизна требования образовательных стандартов для студентов состоит в том, чтобы сформировать желание и умение учиться и самосовершенствоваться, развиваться всю жизнь, работать в команде. В основе самостоятельной работы студента должен лежать деятельностный подход. Он заключается в том, что бы учащиеся получалине только готовые знания, но идобывали их сами, осознавая при этом содержание и формы своей учебной деятельности. Данные подходы развивают творческий потенциал личности и способствуют приобретению собственного опыта деятельности, способности адекватного принятия решения в условиях выбора. Вам будут предложены разнообразные формы работы:

• работа с источникамиинформации, с современными средствами коммуникации;
• решение познавательных и практических задач, отражающих типичные ситуации;

Методичка содержит основные вопросы теории по изучаемому разделу математики, примеры решения задач, контрольные вопросы по данному разделу для систематизации материала, а также задачи для самостоятельного решения.