Методическое пособие для учителя

 

Введение.

Математика...

    Дать краткое определение этой древнейшей науки совсем не просто, т.к. его содержание будет очень сильно меняться в зависимости от уровня математического образования человека. Так, ученик начальных классов, только приступивший к изучению арифметики, скажет, что математика изучает правила счета предметов. И он будет прав потому что именно с этим он знакомится на первых годах обучения в школе. Школьники постарше добавят, что в понятие математики входят алгебра и геометрия. Выпускники школы включат в определение математики еще и изучение функций, а также элементы математического анализа. Студенты ВУЗов назовут и другие дисциплины, входящие в понятие «математика»: теория вероятностей, математическая статистика, дифференциальное исчисление и т.д. Однако тем. что перечислено, не исчерпывается содержание математики, которая изучает не материальные предметы, а методы исследования и структурные свойства объекта исследования через определенные операции (суммирование, дифференцирование и др.).

Математика в школе является опорным предметом для изучения системных дисциплин. Для многих выпускников школы математика становится профессионально значимым предметом, если ими выбрана специальность, требующая высокого уровня образования и связанная с непосредственным применением математики экономика,  бизнес, финансы, физика, химия, техника, информатика, биология, психология и многое другое).

Главная задача учителя математики при этом не просто сообщить учащимся определенную систему математических знаний и обеспечить определенный уровень их усвоения, а ввести ребят в современную культуру и. прежде всего, интеллектуальную. Как этого достичь? Современных способов этому множество: опорные конспекты п метод «погружения», ЭВМ и «Интернет», система комплексных дисциплин и «спиралевидная» структура учебных программ... . Все это приобретения школы за последние 10-15 лет. А каково качество обучения при этом? Естественно математическая школы в СССР в доперестроечный период была одной из сильнейшей в мире. Увы, но на сегодня это уже не так.

По оценкам экспертов  («Учительская газета» №1 от 04.01.94,  математическое образование на 1993 год в США по своему уровню занимает 12 место в мире, а I место-  Южная Корея, которая адаптировала советскую  систему математической подготовки, безусловно, умноженную на трудолюбие корейцев. Уместно вспомнить, что именно входило в  систему математического образования в СССР и тем самым давало отличные результаты. Это прежде всего,  систематическая работа по формированию навыков, достаточный объем тренировочных упражнений, продуманная система повторения ( вспомним К. Д. Ушинского: « Пустая голова не мыслит. Хороший учитель только и делает, что повторяет» ), постоянное оттачивание вычислительных умений и развитие логического умения.

  Учиться математике для ребят должно быть и легко, и интересно, но п учить необходимо также, иначе сама наука математика в школьном ее варианте будет сведена до 45-мпнутной «каторги» с великим множество иностранных значков и ненавистными домашними заданиями.

Представленный в этой брошюре материал - это один из разделов методической работы кафедры учителей математики школы № 481.

Гуманизация образования - одно из направлений обновления школы. Это ориентация на развитие человеческой личности. Гуманизация образования предполагает новое соотношение между обучением и воспитанием.

Особенное значение математики в умственном воспитании и развитии отметил еще в XVIII веке М.В. Ломоносов: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Но математика сама по себе ум школьника в порядок не приведет. Все зависит от ориентации обучения и способа преподавания. Главная задача обучения математике - учить рассуждать, учить мыслить. И никакой школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.

«Математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению. Недаром говорят, что математика - это гимнастика ума. Я не сомневаюсь, что голова у нас ломится от мыслей, но эти мысли надо упорядочить, дисциплинировать, направить, если можно так выразиться, в русло полезной работы. Вот математика и поможет нам справиться с этой задачей...

Какую бы науку вы не изучали, в какой бы вуз не поступили, в какой бы области не работали, если вы хотите оставить там какой-нибудь след, то для этого везде необходимо знание математики. Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе». — писал М.И. Калинин.

В переводе с греческого слово математика означает знание, наука. Недаром с незапамятных времен осведомленность в математике почиталась как высшая степень учености человека.

Математическое образование получают у нас все школьники с первого до последнего класса. Естественно, что математиками станут очень немногие из них, остальные будут заняты в других областях деятельности. Но применять математические методы, пусть в самом примитивном виде, станут все. Вот почему важно, чтобы школьники понимали, что математика не только представляет собой систему логических правил, но и является методом познания, средством решения задач практики. Школа должна знакомить учеников с возможностями математики для практических целей, с использованием ее в разнообразных ситуациях. Математика может и должна помогать воспитанию точности мышления, стремлению к познанию, поиску оптимальных решении стоящих перед ними проблем, привычки к критическому мышлению. Полученные знания не должны быть бесполезны грузом, а постоянно находиться в состоянии, подготовленном к применению.

Одной из основных задач преподавания математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков. Вычислительная культура формируется на всех этапах обучения, но основа се закладывается в первые 5-6 лет обучения. В этот период школьники обучаются осознанно использовать законы математических действий. В последующие годы, полученные умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения математики, физики, химии и других предметов политехнического цикла.

Вычислительные умения, навыки можно считать сформированными только тогда, когда учащиеся умеют достаточно бегло выполнять математические действия с натуральными числами, с десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, решать уравнения, а так же производить тождественные преобразования различных числовых выражений.

Низкий уровень вычислительных навыков затрудняет усвоение ряда тем математики, физики и химии, особенно при решении расчетных задач.

О наличии у учащихся вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовывать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов. Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Очень важно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыков. Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается при их целенаправленном формировании. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащимся понятен процесс вычислений и их особенности.

Правила и приемы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Но владение навыками устных вычислений представляют большую ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, совершенствуют их. Наличие у учащихся навыков устного счета влияет на степень отработки у них рациональных и безошибочных вычислительных умений. Например, без навыков устного использования таблиц сложения и умножения невозможно в совершенстве овладеть умениями в выполнении арифметических действий.

При прохождении темы «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» наиболее трудными для учащихся являются примеры типа

Но если предварительно устно отработаны вопросы типа: представить I в иплс дроби со знаменателем 3, со знаменателем 2, со знаменателем 5; сравни числитель и знаменатель этих дробей, то примеры

даются учащимся легче.

Велика роль устных упражнений и при прохождении темы: «Умножение десятичной дроби на 10, 100. ...», «Деление десятичной дроби на 10. 100. ...». Интерес учащихся вызывает так называемая «плавающая» запятая 4 . 25. Закрепленная на доске бумажная запятая позволяет отрабатывать навыки вычислений в примерах типа: 4.25*10; 4.25*0.1; 42.5*0.1; 42.5*100 и т.д.

При прохождении темы «Умножение десятичных дробей» навыки учащихся формируются на устных вычислениях типа:

0.2*0.3; 0,3*0,25; 0.4*0.25; 2.5*0,4; 2.5*0.04 и т.д.

Полезны сочетания устных и письменных вычислений.

Например: выполнить умножение: 20,8*7,69 2,08*7,69 0,208*76,9 2,08*0,769 0,208*0,769 Подумай, как выполнить задание наиболее рациональным способом.

При правильной организации работы ученику придется письменно выполнить умножение 208 на 769. а затем только отделять запятой нужное количество знаков, что существенно ускорит выполнение задания.

           Но устные упражнения используются не только для отработки вычислительных навыков. Незаменимы они и для усвоения математических понятии. Так при изучении основных свойств функций полезны следующие упражнения:

Какие из линий, изображенных на рисунках, являются графиком функций?

Для функции графики которых изображены на рисунках, указать: а) область определения; б) множество значений; в) координаты точек пересечения с осями 3)Найти область определения функции, заданной формулой:

a)    f(x)=x+7;    б) f(x)= f(x)= f(x)= е) f(x)= 

b)   f(x)=

c)    f(x)=

                                                            з)   f(x) 

По  графику функции указать промежутки возрастания и убывания функции, точки максимума и минимума.

5)  Известно, что функция f(x)  возрастающая. Сравните: f(5)   и  f(-1);                 f()  и   f(       f(

    6) Известно, что функция убывающая. Сравните:

    f(-3)  и  f(-51);                 f()  и  f(       f(

7) Какие из функций, графики которых изображены на рисунке, являются четными, а какие нечетными. Ответ обосновать.

    

                                                                                                      В)                

 

8) Какие из функций являются четными, какие нечетными, какие не являются пи четными, ни нечетными:

9) Известно, что функция f= (х), заданная на отрезке [-3, 3], является четной. Часть графика изображена на рисунке. Дополните график функции.

 

                                                           3

                                                           1

                                        -3   -2   -1   0  1   

10) Среди данных функций укажите такие, графики которых а)  симметричны относительно начала координат; б)  симметричны относительно оси ординат; в)  не симметричны ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат. а) у = х3 - х',                   б) у =| X - sinх |,                в) у =  х3+ 2х + 1. г) у = X3 + X tgX + 2 ,  д) у - X2 - Зх4 ,                     е) у = sin X + X-' . Понятие показательной функции и изучение ее свойств можно отработать на устных примерах типа:

1)     Какие из данных функций являются показательными?

а) у = 2^х, б)у = х²,

е)у = (х - 2)²,  ж) у = 𝛑^х , з) у = 3^-х .

д)у=х

2) Какие из данных показательных функций являются возрастающими, а какие убывающими?

у=

3)  Есть ли среди значений функций у= наибольшее и наименьшее значение?

4)  Найти область определения функций:

у= у= у=,       у= у= у=

5)  Сравните с единицей:

6)   Точка А(х; 16 sin𝛑/6)  принадлежит графику функции  у=2х.  Найдите х.

7) Расположите числа в порядке возрастания:

а) ;     б)

8) Сравните :

 

9) Сравните с единицей основание а>0, если известно, что:

10)   Сравните х и у, если известно, что выполняются следующие неравенства:

11)  Решить уранения:

12)  Решите неравенство:

При прохождении темы «Понятие логарифма. Основные свойства логарифмов. Логарифмическая функция и ее свойства» можно использовать такие задания: 1)  Исходя из определения логарифма, найти число, логарифм которого по основанию 5 равен 2. 2)  Логарифм числа 49 по основанию а равен 2. Найти а .

3)          Прочитайте равенства в виде логарифмических:

4)             Найти логарифмы чисел по основанию 2:4; 1;-1; ;  

5)Найти числа, логарифмы которых, по основанию 3 равны: 0; I; -1; 2; 3; -2.

6) При каком основании логарифм числа 1/16 равен: 1; 2; -1: -2; 4; -4.

7)Найти логарифмы чисел:

8)Найти х, если

9) Имеют ли смысл выражения?

10) Между какими целыми числами находятся числа

11)Используя основное логарифмическое тождество вычислите:

12)Вычислите:

13)  Найдите ООФ: у=

14)   Положительным или отрицательным будет число?

15)   Сравните :

16)  Вычислите:

17)  Зная, что

Вычислите:19) Что  больше?

20)  Решите уравнение:

21)  Решите неравенства:

Устные упражнения могут быть использованы и как форма контроля знании учащихся. Одним из видов такою использования могут быть математические диктаты. Они должны проводиться систематически, чтобы учащиеся научились воспринимать задания на слух (что достаточно сложно), но ценность такого умения велика. Оно приводит к умению слушать лекцию, радиопередачу, слушать вообще. Из различных имеющихся в нашем распоряжении каналов информации слуховой канал занимает второе место после зрительного и развивать его у учеников крайне важно. Конечно, бывает, что слуховому восприятию нужно помочь. В таких случаях одновременно с чтением задания учителем делается на доске запись или чертеж. Математический диктант должен проверять не сообразительность учащихся, а их знания. И если ученик при ответе на вопрос диктанта надолго задумался., то значит, он просто не знает ответа и долгая пауза перед следующим заданием ему все равно не поможет. Поэтому паузы между заданиями должны определяться по темпу работы среднего ученика. Диктант позволяет сразу выяснить, какое из заданий оказалось наиболее трудным и в момент проверки разобрать его более тщательно. Практика показывает, что детей, которые только что написали математический диктант, интересует не только отметка, но и обоснование решения. В случае необходимости по ходу проверки можно предложить учащимся аналогичное задание. Но в силу своей специфики математические диктанты имеют ограниченные возможности. С их помощью, как правило, можно проверить, усвоил ли учащийся обязательный минимум знаний, но нельзя организовать углубленную проверку. Поэтому необходимо сочетание с другими формами контроля, например, с самостоятельными работами. Самостоятельная работа фиксирует ход рассуждений и контролирует поиск результата, а в математическом диктанте контролируется только конечный результат. Но задания могут быть аналогичными, так как они будут иметь разные дидактические функции. Один из вариантов диктанта, который можно провести в классе при прохождении темы «Делимость натуральных чисел»: 1)    Даны числа: О, I, 3, 5, 10. 15, Выписать те, которые являются делителем 11 2)     Из данных чисел 0, 1, 2, 4, 7. 14 выписать те, которые кратны 2. 3)     Записать множество делителей числа 16. 4)     записать первые пять чисел, которые кратны 3. 5)     Сколько делителей имеет число 11? 6)     Сколько кратных имеет число 11? При прохождении этой же темы, после разбора понятия простого и составного числа можно провести такой диктант: 1)    Сколько делителей у простого числа? 2)     Сколько делителей имеет составное число? 3)     Выписать все делители числа 6. 4)     Выписать все делители числа 1. Простое или составное это число

5)     Двузначное число оканчивается цифрой 5. Может ли это число быть

простым? Ответ обосновать.

6)     Двузначное число оканчивается цифрой 3. Простым или составным будет

это число?

При прохождении темы может быть проведено несколько диктантов, а в журнал выставляется одна оценка за тему.

Устные упражнения являются одним из средств, способствующих лучшему изучению математики. С их помощью ученики отчетливее понимают сущность математических понятий, теорем, математических преобразований.

Устные упражнения активизируют мыслительную деятельность учащихся, развивают внимание, наблюдательность, память, речь. Быстроту реакции, повышают интерес к изучаемому материалу. Они дают возможность изучить больший по объему материал за более короткий промежуток времени, позволяют учителю судить о готовности класса к изучению нового материала, о степени его усвоения, помогают выявлять ошибки учащихся.

Проводимые в начале урока устные упражнения помогают учащимся быстро включиться в работу. Л проводимые в середине или конце урока, они служат своеобразной разрядкой напряжения и усталости, вызванных письменной или практической работой.

В ходе выполнения устных упражнений учащиеся получают большую возможность отвечать, причем они сразу проверяют правильность своего ответа.

В отличие от письменных упражнений содержание устных не требует большого числа рассуждений, преобразований, громоздких вычислений. Они составляются с таким расчетом, чтобы охватить все вопросы изучаемой темы.

Устные упражнения играют важную роль в процессе обучения математике.