Методическое пособие по теме "Тригонометрические уравнения!

Министерство образования Нижегородской области

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение

 «Дзержинский технический колледж»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К РЕШЕНИЮ  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

для студентов 1 курса 

Дзержинск  2018

 Организация разработчик: Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Дзержинский технический колледж»

Разработчик: преподаватель Белянина М.И.

Методические указания  рассмотрены на заседании методической комиссии математических и  естественнонаучных  дисциплин

Протокол заседания № ___    от « _______________ »  201_ г.

Председатель методической комиссии _________________/ Белянина М. И.

СОДЕРЖАНИЕ

1.      Простейшие тригонометрические уравнения	4
2.      Основные типы  тригонометрических   уравнений	7
2.1 Уравнения, квадратные относительно одной из тригонометрических функций	7
2.2  Однородные тригонометрические уравнения.	8
2.3.  Уравнения   вида     Sin x + Cos x  =  с	9
2.4  Уравнения   вида     a Sin x +b Cos x  =  с	10
2.5  Уравнения   вида     a· (Sin x + Cos x)n  + b·Sin x · Cos x + с = 0	11

§1.   Простейшие тригонометрические   уравнения

Уравнения, в которых неизвестное входит под знак тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

Рассмотрим простейшие тригонометрические уравнения.

Уравнение	При каком а  имеет решение	Решение на единичной окружности	Формула решения
Sin x = а		1                               а                             -1	х =( -1) n× arcSin а + pn,  nÎZ
Cos x = а		-1                      а    1	х = ± arcCos а + 2pn,  nÎZ
tg x = а	а -любое	а	х = arctg а + pn,    n Î Z
ctg x = а	а -любое	а	х = arcсtg а + pn,   n Î Z

1.Sin x = а 

Рассмотрим частные случаи.

 

Sin x = 1                                       x  =  p/2 + 2pk,  kÎ Z

 

Sin x = -1                                      x  = - p/2 + 2pk,  kÎ Z

 

Sin x = 0                                        x = pk,  kÎ Z

Пример 2.1    Решить уравнение:  Sin 2x = -1

Решение

Sin 2x = -1,    2х  = - p/2 + 2pk,  kÎ Z

                       х  = - p/4 + pk,  kÎ Z

Ответ: х  = - p/4 + pk,  kÎ Z

Пример 2.2    Решить уравнение:  Sin x/2 =  -½

Решение

Sin x/2 =  -½

x/2 =  (-1)ⁿ arcSin( -½) + πn

x/2 =  (-1)ⁿ⁺¹ arcSin½ + πn

x/2 =  (-1)ⁿ⁺¹ ·π/6 + πn

x =  (-1)ⁿ⁺¹ ·π/3 + 2πn

Ответ: x =  (-1)ⁿ⁺¹ ·π/3 + 2πn,    n Î Z.

Пример 2.3    Решить уравнение:  Sin x = 3

Решение

Уравнение   Sin x = 3  решения не имеет, так как 3 > 1.

2.Cos x = а

  Рассмотрим частные случаи.

 

Cos x = 0                                       x  =  p/2 + pk,  kÎ Z

 

Cos x = -1                                      x  =  p + 2pk,  kÎ Z

 

Cos x = 1                                        x = 2pk,  kÎ Z

Пример 2.4    Решить уравнение:  Cos( x/2) = -½

Решение

x/2 = ± arcCos ( -½) + 2pn

x/2 = ±( π -  arcCos ½ ) + 2pn

x/2 =  ±( π – π/3 ) + 2pn

x/2 = ± 2π/3 + 2pn

x = ± 4π/3 + 4pn

Ответ:  x = ± 4π/3 + 4pn, n Î Z.

Пример 2.5    Решить уравнение:  Cos 3x  = -1

Решение

3x = p + 2pk

x = p/3 + 2pk/3, kÎ Z.

Ответ: x = p/3 + 2pk/3, kÎ Z.

3. tg x = a

Пример 2.6    Решить уравнение:  tg 2x  = -1

Решение

tg 2x  = -1     2x = arctg ( -1) + pn

                      2x = - arctg1 + pn

                      2x = - p/4 + pn

Ответ:  x = - p/8 + pn/2,  nÎ Z.

Пример 2.7    Решить уравнение:  ctg x/2  = -Ö3

Решение

ctg x/2  = -Ö3      x/2 = arcctg ( -Ö3) + pn

x/2 = p - arcctg Ö3 + pn

x/2 = p - p/6 + pn

x/2 =  5p/6 + pn

x =  5p/3 + 2pn

Ответ: x =  5p/3 + 2pn,  n Î Z.

§2.  Основные типы  тригонометрических   уравнений

2.1. Уравнения, квадратные относительно одной из тригонометрических функций

1)     a·Sin² j(x) + b·Sin j(x) + c = 0

2)     a·Cos² j(x) + b·Cos j(x) + c = 0

3)     a·tg² j(x) + b·tg j(x) + c = 0

4)     a·ctg² j(x) + b·ctg j(x) + c = 0

Полагая   Sin j(x) = y,    | y | £ 1

Cos j(x) = y,    | y | £ 1

tg j(x) = y,    y Î R

ctgj(x) = y,     y Î R,

получим квадратное уравнение:   ay² + by + c = 0

Если  D = b² – 4ac ³ 0,   то   уравнения   1)  и   2)   имеют  решения  при    | y | £ 1,   уравнения  3)  и   4)   имеют решения при любых найденных значениях  у.  

Пример 3.1    Решить уравнение:  Sin ²(x/3) + Sin ( x/3) – 2 = 0

Решение

Полагая      Sin ( x/3) = у ,  | y | £ 1   получим:   у² + у – 2 = 0

Решая это уравнение, найдем     у₁ = 1,     у₂ =  -2.

Так как  у₂ =  -2< -1,  то  он не подходит. Берем   у = 1,  тогда

Sin ( x/3) = 1

х/3 = p/2 + 2pn,   x = 3p/2 + 6pn,   nÎ Z.

Ответ:  x = 3p/2 + 6pn,   nÎ Z.

Пример 3.2    Решить уравнение:  Cos 2x – Cos x = 2

Решение

Cos 2x = Cos²x – Sin²x

Cos²x – Sin²x – Cos x = 2

Cos²x – ( 1 -  Cos²x) – Cos x = 2

2 Cos²x – Cos x – 3 = 0

Полагая  Cos x = y,    получим     2y² – y – 3 = 0

Решая данное уравнение, получим    у₁ = -1,   у₂ = 3/2 > 1.

Cos x = -1,       x = p + 2pn,    nÎ Z.

Ответ:   x = p + 2pn,    nÎ Z.

2.2  Однородные тригонометрические уравнения.

Уравнение вида

a· Sin² j(x) + b·Sin j(x)· Cos j(x) + c· Cos²j(x) = 0

где   a, b, c Î R   называется однородным.

Поставим задачу решить данное уравнение.

Если а ¹ 0, то данное уравнение делят на  Cos²j(x).  Делить можно, так как  j(х) = p/2 + pn   при  которых  косинус обращается в ноль не являются решениями данного уравнения. Получим:

a· tg²j(x) + b· tg j(x) + c = 0

Это уравнение, квадратное относительно тангенса. Такие уравнения  мы решать уже умеем.

Если    а = 0, то исходное уравнение примет вид:

 b·Sin j(x)· Cos j(x) + c· Cos²j(x) = 0

Это  уравнение   решается  вынесением  общего множителя (делить на Cos j(x)   нельзя, так  как  мы потеряем  решение).

Cos j(x)· ( b·Sin j(x) + c· Cos j(x)) = 0

1) Cos j(x) = 0                     2)  b·Sin j(x) + c· Cos j(x) = 0

После решения первого уравнения второе можно разделить на   Cos j(x).

 Пример 3.3    Решить уравнение:  Sin² x + Sin x ·Cos x –2 Cos² x = 0

Решение

Данное уравнение однородное.  Разделим на Cos²x,  получим:

              tg² x + tg x – 2 = 0

Полагая   y = tg x,   получим

              t² + t – 2 = 0

Решая данное уравнение,  найдем корни:   t₁ = 1,     t₂ = -2

1)  tg x = 1            x = p/4 + pn,   nÎZ

2) tg x = -2           x = arctg (-2) + pn,     nÎZ 

Ответ:  x₁ = p/4 + pn,  x₂ = arctg (-2) + pn,    nÎZ

2.3.  Уравнения   вида     Sin x + Cos x  =  с  ,  c  Î R 

Поставим  задачу  решить  данное  уравнение.  Заменим   Cos x    на    Sin (p/2 – х),   получим:

Sin x + Sin (p/2 – х) =  с

2· Sin (( x + ( p/2 – x))/2) · Cos (( x – (p/2 – x))/2) = c

2· Sin (p/4)  · Cos ( x - p/4) = c

2·(Ö2/2)  · Cos ( x - p/4) = c

 Cos ( x - p/4) = c /Ö2

Если    | c /Ö2| £ 1, т. е. -Ö2 £ с £ Ö2,  то решение есть.

Если     с > Ö 2   или    с < -Ö 2,  то решений   нет.

Пример 3.4    Решить уравнение:  Sin2x  – Cos2x = Ö2

Решение

Sin 2x - Sin (p/2 –2 х) = Ö2

2· Sin ((2x - ( p/2 –2 x))/2) · Cos ((2x + (p/2 – 2x))/2) = Ö2

2· Sin (2х - p/4)  · Cos  p/4 = Ö2

2· Sin (2 x - p/4) · (Ö2/2)  = Ö2

Sin (2 x - p/4)= 1

2x  - p/4 = p/2 + 2pn

2x  = p/4 + p/2 + 2pn,    2x = 3p/4  + 2pn,  x = 3p/8  + pn,  n Î Z

Ответ:  x = 3p/8  + pn,  n Î Z

2.4  Уравнения   вида     a Sin x +b Cos x  =  с,     где  a,  b,  c  Î R 

Заменяя     Sin x = 2· Sin(x/2)·Cos (x/2)

                   Cos x = Cos²(x/2) – Sin²(x/2)

                  c = c·( Cos²(x/2) + Sin²(x/2))

получим: 

 2а· Sin(x/2)·Cos (x/2) + b·( Cos²(x/2) – Sin²(x/2)) =  c·( Cos²(x/2) + Sin²(x/2))

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, получим однородное уравнение.

Пример 3.5    Решить уравнение:  3Sin2x  – 2Cos2x = 3

Решение

6Sin x · Cos x - 2·( Cos² x – Sin² x) = 3·( Cos² x + Sin² x)

6Sin x · Cos x - 2Cos² x+ 2Sin² x - 3Cos² x - 3 Sin² x = 0

6Sin x · Cos x - 5Cos² x - Sin² x = 0

Делим на   Cos² x, получим: 

6 tg x – 5 – tg² x = 0

Полагая tg x = t,  получим:

t² – 6t + 5 = 0

t₁ = 1       t₂ = 5

1) tg x = 1                                    2) tg x = 5

   x = p/4 + pn,    n Î Z                 x = arctg 5 + pk,     k Î Z

Ответ:     x₁ = p/4 + pn,  n Î Z;       x₂ = arctg 5 + pk,  k Î Z

2.5  Уравнения   вида     a· (Sin x + Cos x)ⁿ  + b·Sin x · Cos x + с = 0,  

  где  a,  b,  c  Î R 

Полагая     Sin x + Cos x = t,  получим:  Sin x · Cos x = (t² – 1) /2

Подставим в исходное уравнение:

a tⁿ + b·( t² – 1)/2 + c = 0

При     n = 1    получаем квадратное  уравнение.

При     n = 2   -  квадратное  уравнение

При     n = 3   - кубическое  уравнение.

При     n = 4  -  биквадратное  уравнение.

Мы рассмотрели основные типы тригонометрических уравнений. Если уравнение не подходит под рассмотренные типы, то применяя формулы, уравнение либо сводится к рассмотренным, либо распадается на известные уравнения.

Пример 3.6    Решить уравнение:  Sin3x  – Cosx = 0

Решение

Данное  уравнение не  подходит  под  рассмотренные типы. Заменим   Cos x    на    Sin (p/2 – x),    получим:

Sin3x  –  Sin (p/2 – x) = 0

2 ·Sin((3x – (p/2 – x))/2) · Cos ((3x + (p/2 – x))/2) = 0

Sin (2x - p/4)  · Cos( x + p/4) = 0

1)    Sin (2x - p/4) =  0                2x - p/4 = pn

                                                    2x =  p/4+ pn

                                                    x =  p/8+ pn/2,   nÎ Z.

2)  Cos( x + p/4) = 0                  x + p/4 = p/2 + pk

                                                    x = p/4 + pk,   k Î Z.

Получили  две серии корней. Посмотрим, нет ли повторяющихся. Отметим на тригонометрическом круге  решения первой серии «·», решения второй серии  « m   »

                 

                                          Так как наложений  корней нет, то

                                         Ответ:   x₁ = p/8 + pn/2,   nÎ Z

                                     x₂ = p/4 + pk,   k Î Z.

Замечание: если тригонометрическое уравнение содержит знаменатель, то необходимо найти ОДЗ.

Пример 3.7    Решить уравнение:  Sinx /(Cosx + 1) = 0

Решение

ОДЗ:  Cos x + 1 ¹ 0,   Cos x ¹ - 1,  x ¹ p + 2pn,   nÎ Z.

Дробь равна 0,  следовательно числитель равен нулю.

Sin x = 0,     x = pn,   nÎ Z.

Отметим  на тригонометрическом круге решение   « · »,  а ОДЗ  « х »

         ·             ·

Видим, что среди решений есть постороннее, которое необходимо отбросить.

Ответ:      x = 2pn,   nÎ Z.

Пример 3.7    Решить уравнение:  Sin2x · Сosx  = 0

Решение

Произведение   равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Sin2x = 0

Сosx  = 0

1) Sin2x = 0,    2x = pn,     x_{1 =} pn /2,  nÎZ        « · »

2) Сosx  = 0,   x₂ = p/2 + pk,  kÎ Z.                   « o »   

Проверим, нет ли наложений.

                 ·

         ·             ·

                 ·

Видим, что вторая серия входит в первую.

Ответ:  x ₌ pn /2,  nÎZ