Многоугольники в школьном курсе математики

Методика изучения темы «Многоугольники» в школьном курсе.

      В различных школьных курсах планиметрии понятие многоугольников трактуется неодинаково.  В курсе геометрии VI-VIII классов систематически изучаются геометрические фигуры на плоскости, причем большое внимание уделяется многоугольникам, изучению их свойств, рассмотрению величин, характеризующих плоский многоугольник. В решении задач на многоугольники находят применение различные методы.

По учебнику «Геометрия7-9» Л.С.Атанасян  в 8классе по теме «Четырехугольники»  распределены :

Тема занятия	Основное содержание по теме	Характеристика основных видов деятельности (универсальные учебные действия), направленные на формирование результатов
		Личностных	Метапредметных	Предметных
Многоугольники	Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника	Положительно относится К учению, имеет желание приобретать новые знания, умения	Коммуникативные: вступает в диалог, Регулятивные: выделяет и осознавать то, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознавать качество и уровень усвоения. Познавательные: выбирать смысловые единицы текста и устанавливать отношения между ними	Знакомиться с понятиями многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник как частный вид выпуклого четырехугольника. На- учиться формулировать и доказывать теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника и четырехугольника, решать задачи по теме
Многоугольники. Решение задач.	Многоугольники. Элементы многоугольника.	Осознает своитрудностиистремитсяких преодолению; способности ксамооценке	Коммуникативные: адекватноис- пользует речевыесредствадлядис- куссиииаргументациисвоейпози- ции. Регулятивные: осознает самого себякакдвижущуюсилусвоего научения, своюспособностькмо- билизациисилиэнергии, волевому усилию. Познавательные: выбиратьсмысло- выеединицытекстаиустанавливать отношениямеждуними	Познакомитсяспонятиеммногоугольник, сформулойсумма углов выпуклого многоугольника. Умеетраспознавать начертежахмногоуголь- никиивыпуклыемно- гоугольники, используя определение.
Параллелограмм	Параллелограмм и его свойства	Воспринимает речь учителя (одноклассников), непосредственно не обращенную к учащемуся	Коммуникативные:организовывает и пла­нирует учебное сотрудничество с учителем и сверстниками. Регулятивные:формирует целеполагание как постановку учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что еще неизвестно. Познавательные: умеет строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его строении, свойствах и связях	Определяет параллелограмм, его элементы. Знает свойства параллелограмма. Распознает параллелограмм на чертеже, выполняет чертеж по условию задачи.
Признаки параллелограмма	Признаки параллелограмма	Умеет проявлять в конкретных ситуациях доброжелательность, доверие, внимательность, помощь	Коммуникативные: управляет своим поведе­нием (контроль, самокоррекция, оценка сво­его действия). Регулятивные: формирует способность к мобилизации сил и энергии, к волевому уси­лию в преодолении препятствий. Познавательные: произвольно и осознанно владеет общим приемом решения задач	Формулирует свойства и признаки параллелограмма. Доказывает, что данный четырехугольник параллелограмм
Решение задач по теме: «Параллелограмм»	Параллелограмм, его свойства и признаки	Использует образовательные средства для собственного  личностного  развития	Коммуникативные:формирует коммуника­тивные действия, направленные на структури­рование информации по данной теме.     Регулятивные:корректирует деятельность: вносит  изменения в процесс с учетом воз­никших трудностей и ошибок, намечает спо­собы их устранения. Познавательные:умеет осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения	Применяет свойства и признаки параллелограммов при решении задач
Трапеция	Трапеция, средняя линия трапеции. Прямоугольная трапеция, равнобедренная трапеция и ее свойства	Применяет правила делового сотрудничества: сравнивает разные точки зрения; считается с мнением другого человека	Коммуникативные:воспринимает текст с уче­том поставленной учебной задачи, находит в тексте информацию, необходимую для ре­шения, обсуждает полученный результат.  Регулятивные:формирует целевые установ­ки учебной деятельности, выстраивает после­довательность необходимых операций Познавательные:умеет выделять существен­ную информацию из текстов разных видов	Знает определение трапеции, свойства равнобедренной трапеции. Распознает трапецию, ее элементы, виды на чертежах. Умеет находить углы и стороны равнобедренной трапеции, используя ее свойства
Теорема Фалеса	Теорема Фалеса	Анализирует и характеризуетэмоциональные состояния и чувства окружающих	Коммуникативные:способствует формиро­ванию научного мировоззрения учащихся. Регулятивные:обнаруживает и формулирует учебную проблему, составляет план выполне­ния работы. Познавательные:умеет осуществлять анализ объектов с выделением существенных и несу­щественных признаков	Формулирует теорему Фалеса и основные этапы ее доказательства. Применяет теорему в процессе решения задач
Задачи на построение	Задачи на построение	Проявляет терпение и доброжелательность в споре (дискуссии).	Коммуникативные:умеет выслушивать мне­ние членов команды, не перебивая, прини­мать коллективное решение. Регулятивные:определят новыйуровень от­ношений к самому себе как субъекту деятель­ности. Познавательные:умеет строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его строении, свойствах и связях.	Знает основные типы задач на построение. Делит отрезок на n равных частей, выполняет необходимые построения
Прямоугольник	Прямоугольник, элементы прямоугольника, свойства прямоугольника	Проявляетучебно-познавательный интерес к новому учебному материалу и способам решения новой задачи	Коммуникативные:воспринимает текст с уче­том поставленной учебной задачи, находит в тексте информацию, необходимую для ре­шения, обсуждает полученный результат. Регулятивные:формирует целевые установ­ки учебной деятельности, выстраивает алго­ритм действий. Познавательные:умеет выделять существен­ную информацию из текстов разных видов	Знает определение прямоугольника, его элементы свойства признаки. Распознает прямоугольник на чертежах. Находит стороны, используя свойства углов и диагоналей.
Ромб, квадрат	Понятие ромба, квадрата. Свойства и признаки.	Умеет ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимает смысл поставленной задачи, выстраивает аргументацию, приводит примеры и контрпримеры	Коммуникативные:управляет своим поведе­нием (контроль, самокоррекция, оценка сво­его действия). Регулятивные:формирует способность к мобилизации сил и энергии, к волевому уси­лию в преодолении препятствий. Познавательные:произвольно и осознанно владеет общим приемом решения задач	Формулирует определения ромб, квадрат, как частные виды параллелограмма. Умеет распознавать и изображать ромб, квадрат, находить стороны и углы, используя свойства
Решение задач по теме: «Прямоугольник, ромб, квадрат»	Прямоугольник, ромб, квадрат. Свойства и признаки.	Формирует умение проявлять в конкретных ситуациях доброжелательность, доверие, внимательность, помощь	Коммуникативные: развивает умение точно и грамотно выражать свои мысли, отстаивать свою точку зрения в процессе дискуссии. Регулятивные:формирует целевые установ­ки учебной деятельности, выстраивать алго­ритм действий. Познавательные:учится основам смыслового чтения научных и познавательных текстов	Применяет признаки и свойства параллелограмма, ромба, квадрата при решении задач
Осевая и центральная симметрия	Осевая и центральная симметрии как свойство геометрических фигур	Воспринимает речь учителя (одноклассников), непосредственно не обращенную к учащемуся	Коммуникативные:организовывает и пла­нирует учебное сотрудничество с учителем и сверстниками. Регулятивные:формирует целеполагание как постановку учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что еще неизвестно. Познавательные: умеет строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его строении, свойствах и связях	Знает виды симметрии в многоугольниках. Строит симметричные точки и распознает фигуры, обладающие осевой и центральной симметрией
Решение задач по теме: «Четырехугольники»	Четырехугольники.Элементы,  свойства, признаки	Умеет распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта	Коммуникативные:воспринимает текст с уче­том поставленной учебной задачи, находит в тексте информацию, необходимую для ре­шения, обсуждает полученный результат. Регулятивные:формирует целевые установ­ки учебной деятельности, выстраивает алго­ритм действий. Познавательные:умеет выделять существен­ную информацию из текстов разных видов	Выполняет чертеж по условию задачи, применяет свойства и признаки при решении задач
Контрольная работа №1 по теме: «Четырехугольники»	Контроль и оценка знаний	Осознает своитрудности истремится ких преодолению; способности ксамооценке	Коммуникативные:управляет своим поведе­нием (контроль, самокоррекция, оценка сво­его действия). Регулятивные:формирует способностьк мобилизации сил и энергии, к волевому уси­лию в преодолении препятствий. Познавательные:произвольно и осознанно владеет общим приемом решения задач	Воспроизводит по памяти информацию, необходимую для решения задач по теме «Четырехугольники»

Выпуклые многоугольники

В учебнике «Геометрия 7-11» А.В.Погорелова (18) тема «Выпуклые многоугольники» изучается в §13 «Многоугольники» п. 144.

В начале пункта вводится определение замкнутой: «Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают». Затем дается определение многоугольника: «Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершинами ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной - сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями».

После чего рассматривается определение «выпуклого многоугольника»

и доказывается теорема 13.2: Сумма углов выпуклого п-уголъника равна 180(п-2).

В учебнике «Геометрия 7-9» Л.С.Атанасяна (4) тема «Выпуклые   многоугольники» рассматривается в п.40 §1 «Многоугольник» главы 5.

Определение «выпуклого многоугольника» дается в начале пункта: «Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины». Затем рассматривается свойство: «Сумма углов выпуклого n-угольника равна (п-2)180.

При изучении нового материала учащиеся должны познакомиться с несколькими новыми понятиями, уметь дать каждому определение, проиллюстрировать на рисунке.

Классу можно задать вопросы (рисунки к вопросам заготовлены заранее):

1. Назовите концы ломаных, изображенных на данном рисунках .

2. Чем отличаются друг от друга данные ломаные? [Концы  ломанной не совпадают или не совпадают].

Составляется определение замкнутой ломаной.

3. Какие из известных фигур можно назвать замкнутыми ломаными? [Треугольник, четырехугольник].

4. Чем отличаются замкнутые ломаные( без самопересечения; с самопересечением].

Дается название: замкнутая ломаная, изображенная на рисунке 2, а, называется многоугольником. Составляется определение многоугольника. Вводятся понятия: вершина, сторона, диагональ.

5. Назовите на рисунке  выпуклые четырехугольники. Какой четырехугольник называется выпуклым?

6. Составляется определение выпуклого многоугольника: многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Вводится понятие угла выпуклого многоугольника: углом выпуклого многоугольника

при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Затем рассматривается теорема  о сумме углов выпуклого п-уголъника , которая равна   180(п-2).

В учебнике «Геометрия 7-9» И.М.Смирновой, В.А.Смирнова «правильный многоугольник» изучается в п.6 «Ломаные и многоугольники».

В начале пункта вводятся определение «ломаной»: «Фигура, образованная отрезками, расположенными так, что конец первого является началом второго, конец второго - началом третьего и т.д., называется ломаной линией или просто ломаной».

Затем даются определения простой, замкнутой и многоугольника: «Ломаная называется простой, если она не имеет точек самопересечения». «Если начало первого отрезка ломаной совпадает с концом последнего, то ломаная называется замкнутой». «Фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной его частью плоскости, называется многоугольником».

После чего рассматривается определение «правильного многоугольника»: «Многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны».

Построение правильных многоугольников можно уже проводить  на факультативных занятиях.

Можно предложить решить  задачи

1.Найти сумму углов выпуклого восьмиугольника

2.В четырехугольнике   АBCD противолежащие стороны параллельны АВ=10см,ВС=14см.Найти периметр четырехугольника.

3. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 135; 2) 150?