Наглядная геометрия: алгоритм ручного построения кривых дракона на клетчатом листе бумаги

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ОДИНЦОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
ШКОЛА №17 С УГЛУБЛЁННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ

(143005, Московская область, г. Одинцово, ул. Кутузовская д.11)

8 (495) -989-24-61

КОНКУРСНАЯ РАБОТА

Золотое сечение (математика)

Наглядная геометрия: алгоритм построения кривых дракона на клетчатом листе бумаги

исследование

Выполнила:

Бочаркова Олеся Игоревна, 6 «б» класс

Московская область,

г. Одинцово,

ул. Кутузовская д.9, кв. 152

Руководитель:

Минбаева Максат Козубековна,

Учитель математики

Одинцовской СОШ №17 с УИОП

                                                        Одинцово

2018

Оглавление

Введение…………………………………………………………….............	3
1.     Фракталы. История создания кривых дракона………………….	5
2.     Коды и алгоритм для рисования кривых дракона по учебному пособию «Наглядная геометрия» …………………………………	6
3.     Разработка алгоритма ручного построения кривых дракона на клетчатом листе бумаги……………………………………………..	8
Заключение………………………………………………………………….	11
Библиографический список………………………………………………..	12
Приложения…………………………………………………………………	13

Введение

Актуальность темы:

1.     Кривые дракона позволяют развить у детей и подростков внимательность, пространственное воображение, усидчивость, аккуратность, внимание и память. Кривые дракона относятся к семейству геометрических линий.

2.     Многие школы в Российской Федерации, в том числе и школы Одинцовского района, на дополнительных кружках, элективных курсах по математике в 5-6 классах используют учебное пособие «Наглядная геометрия. 5-6 класс» И.Ф. Шарыгин, Е. Н. Ерганжиева [1] Данное пособие содержит тему «Кривые дракона», в которой описан алгоритм ручного построения этих кривых. Однако, на практике выполнение действий по данному алгоритму не позволяет построить кривые дракона.

3.     Мое исследование позволяет разработать новый алгоритм построения кривых дракона, что позволит внести коррективы в пособие [1].

           Проблема исследования. При построении кривых дракона по алгоритму из пособия [1] возникло затруднение в его воспроизведении. По данному алгоритму невозможно было построить даже простейшие кривые, соответствующие рисунку в данном пособии (приложение 1, г, д).

           Предмет исследования - алгоритм ручного построения кривых дракона с помощью кодов на клетчатой бумаге.

           Объект исследования – кривые дракона (фрактал).

           Разработанность исследуемой проблемы: Мое исследование показало, что кривые дракона очень легко построить с помощью компьютерной программы, поскольку фракталы, каковыми являются кривые дракона, образуются по принципу копирования самой себя. Многочисленные публикации в сети интернет посвящены именно созданию на различных языках программирования программ, которые рисуют фракталы, например, в публикации [2]. Однако, я не нашла в сети интернет ни одной публикации, которая бы была посвящена тому, как вручную с помощью кодов построить кривую дракона на клетчатом листе бумаге. Все работы, которые были мной просмотрены, например, [3], [4] были основаны на том, что вручную можно построить только элементарные кривые дракона.

По этой причине я решила исследовать эту тему и доказать, что с помощью кодов можно вручную построить на клетчатом листе бумаги кривые дракона.

           Гипотеза моего исследования состоит в том, что существует алгоритм ручного построения кривых дракона по коду любой длины на клетчатом листе бумаги. Ожидаемый результат: разработка нового алгоритма ручного построения кривых дракона по коду любой длины на клетчатом листе бумаги.

Цель данной работы: разработка алгоритма ручного построения кривых дракона с помощью кодов на клетчатой бумаге.

           Задачи:

1.     Изучение истории создания кривых дракона, фракталов

2.     Поиск информации о различных алгоритмах построения кривых дракона

3.     Анализ алгоритма построения кривых дракона, предложенного авторами учебного пособия «Наглядная геометрия»

4.     Разработка собственного алгоритма ручного построения кривых дракона по коду любой длины на клетчатом листе бумаги.

Методы исследования:

1.     анализ алгоритма авторов учебного пособия [1],

2.     экспериментальное воплощение алгоритма построения кривых дракона с помощью проволоки,

3.     анализ результатов эксперимента и сравнение с ожидаемым теоретическим результатом,

4.     синтез полученных результатов.

          1. Фракталы. История создания кривых дракона                       

В ходе исследования было выяснено, что кривые дракона – это фрактал.                Фракталы бывают маленькие, что их будет сложно увидеть, или большие, что их можно будет рассмотреть лишь спустя некоторое время. Фракталы можно встретить прямо на улице.

           Фрактал – это разделенная на части геометрическая фигура, которой характерно самоподобие: фигура в точности повторяет себя, в итоге мы в большой фигуре можем увидеть маленькую повторяющуюся часть целого.

          Фракталы известны почти 100 лет. Впервые этот термин ввел ученый математик Бенуа Мандельброт в 1975 году. Сейчас фракталы очень хорошо известны и наблюдаются не только в математике, но и в других сферах.

           Фракталом можно считать тот предмет, который имеет хотя бы одно из свойств:  

·        Имеет сложное строение, несмотря на масштаб

·        Предмету характерно самоподобие.

          Математические фракталы – это треугольник и ковер Серпинского, множество Кантора и другие (приложение, рис. 2, 3, 4, 5) Природные фракталы мы можем увидеть, как в маленьких, так и в больших местах. Например, галактика или кора дерева, облако или снежинка, кораллы или веточка дерева, даже разветвления трохеи считаются фракталом приложение, рис. 6,7). Немногие картинки, выполненные компьютерной графикой, могут похвастаться свойством фрактальности (см. приложение, рис. 8,9). Фрактал можно получить с помощью масштабирования и копирования. Именно по этой причине фракталы создают с помощью компьютерных программ, которые позволяют с легкостью копировать и масштабировать элементы фигуры.

          Кривая дракона – это тоже фрактал. Кривую дракона придумал физик Джон Э. Хейтуэй. Именно в честь создателя назвали эту кривую. Позже эту кривую совместно с Джоном Хейтуэем подробно разработали Брюс Бэнкс и Вильям Хартер. Кривая в действительности похожа на дракона (приложение, рис 10).

2. Коды и алгоритм рисования кривых дракона по учебному пособию «Наглядная геометрия» 

           В нашей школе, как и во многих школах Одинцовского района, ведется дополнительный кружок по математике «Наглядная геометрия» в математических классах в 5-6 классах по данному учебному пособию. Все ученики нашего математического класса очень любят данный кружок и посещают его второй год. Мы узнаем очень много интересного и полезного из мира геометрии. Все темы необычайно увлекательны.

           Поэтому, когда наш класс приступил к изучению темы «Кривые дракона», я с большим интересом и воодушевлением приступила к её изучению. Сначала было все понятно и ясно: полоска бумаги, коды…  Я поняла, что кривая дракона получается в процессе расшифровки кодов. Чтобы получить коды, нужно складывать полоску бумаги пополам, затем зашифровать полученные сгибы бумаги с помощью букв. Последний шаг перед получением кривой дракона, это перенесение кодов на бумагу.

           Коды для рисования кривых дракона. Согласно материалу учебного пособия «Наглядная геометрия» для того, чтобы сделать коды для рисования кривой дракона, нужно взять длинную полоску бумаги, левый конец которой пометить точкой. Свернуть ее пополам, чтобы точка оказалась закрытой (приложение, рис. 11), а потом еще пополам (всякий раз правый конец накладывать на левый). Развернуть её теперь так, чтобы линии сгибов отчётливо выделялись, и положить на стол. Точка должна быть слева. Получилась полоска. Теперь нужно записать коды. Изгибы идут так: вниз – вниз - вверх. Можно обозначить буквами: вниз – Н, вверх – В, это записывается Н Н В (приложение, рис. 12).

           Складываем полоску три раза пополам. Получается такая полоска, где изгибы идут в таком порядке: Н Н В Н Н В В (приложение, рис. 13).

           Если полоску сложить четыре раза, то получится следующая кодовая цепочка: Н Н В Н Н В В Н Н Н В В Н В В. При пяти складываниях полоски: Н Н В Н Н В В Н Н Н В В Н В В Н Н Н В Н Н В В В Н Н В В Н В В.

           Так получаются коды для рисования кривых дракона. Из этих кодов можно найти некоторые закономерности:

1.     Число изгибов нечетное, причем если на каком – то шаге их было К, то на следующем их будет 2К + 1; сначала 2*1 + 1 = 3 изгиба, затем 2 * 3 + 1 = 7, потом 2 * 7 + 1 = 15 и т.д;

2.     В середине всегда Н, а сгибы до этого среднего Н такие же, как и на предыдущем шаге.

3.     Самое главное, буквы, равноудаленные от среднего Н, всегда различны.

       С помощью этих закономерностей появляется правило перехода одного кода к другому.

Правило: Берем имеющийся код, приписываем к нему букву Н (под ней удобно поставить точку), затем выписываем в обратном порядке буквы, предшествующие этому Н, заменяя Н на В и наоборот.

           Пользуясь этим правилом, напишем цепочку – код для полоски, сложенной 6 раз: берем предыдущий код, т. е полоска сложенная пять раз - Н Н В Н Н В В Н Н Н В В Н В В Н Н Н В Н Н В В В Н Н В В Н В В, приписываем букву Н- Н Н В Н Н В В Н Н Н В В Н В В Н Н Н В Н Н В В В Н Н В В Н В В Н, выписываем меняя буквы в обратном порядке –   Н Н В Н Н В В Н Н Н В В Н В В Н Н Н В Н Н В В В Н Н В В Н В В Н Н Н В Н Н В В  Н Н Н В В Н В В В Н Н В Н Н В В В Н Н В В Н В В .     

           Алгоритм рисования кривых дракона по учебному пособию «Наглядная геометрия». Для использования кодов построения кривых дракона, необходимо на листе клетчатой бумаги провести вертикальную черточку по стороне одной клетки вверх. Заменить в коде букву Н на Л (левый поворот), а В на П (правый поворот) и продолжить черточку, следуя командам кода и поворачивая, следовательно налево и направо на 90 градусов (приложение, рис. 1).  

Проблема возникла при перенесении кодов на клетчатый лист бумаги по предложенному в учебном пособии [1] алгоритму. Данный алгоритм изображения кривых дракона по кодам - не работал. Два месяца я, вместе с моим учителем математики Минбаевой Максат Козубековной пыталась понять алгоритм и применить его на практике.

           Я предположила, что с данной проблемой столкнулась не только я и мой учитель математики, но и очень большое количество шестиклассников, которые изучают тему «Кривые дракона» по всей России по данному учебному пособию. По опыту в нашем классе, я видела, как многие мои одноклассники, даже не заметили проблемы. Каждый из них как мог, интерпретировал этот алгоритм и что-то пытался построить в своей тетради.

3. Разработка алгоритма ручного построения кривых дракона на клетчатом листе бумаги

           Проблема исследования. При построении кривых дракона по вышеописанному алгоритму возникло затруднение в его понимании. Было непонятно, каким образом, следуя данному алгоритму, можно было построить даже простейшие кривые, соответствующие рисунку в данном пособии (приложение рис. 1, г и д).

           Данное затруднение побудило начать поиск информации о том, что такое кривые дракона. Результатом поиска явилось познание, что кривые такого рода являются фракталами. То есть фрактал - кривая дракона должна была получится путем копирования самой себя с одновременным поворотом на 90 градусов влево или вправо.

           Данный факт, в свою очередь, привел к мысли создать кривую дракона путем использования жесткой проволоки, поскольку в этом случае предполагалось, что проволочные элементы дракона можно просто поворачивать на 90 градусов и на листе клетчатой бумаги обводить контуры проволоки. Были изготовлены отдельные элементы проволочного дракона (приложение, рис. 14). Когда отдельные проволочные элементы дракона были приложены к листу бумаги, возникло новое затруднение. Проблема состояла в том, что проволока была определенной толщины и не было понимания как обводить её: по внешней или внутренней стороне (приложение, рис. 15).

           На этом этапе исследования был сделан повторный анализ всей имеющейся информации: полоска бумаги, точка, изгибы, коды вниз Н и вверх В, толстая проволока.

Проведенный анализ показал, что необходимо вернуться назад, к истоку, к полоске бумаги. Было высказано предположение, что авторы пособия неправильно обозначили сгибы бумаги и, соответственно, неверно ввели обозначения кодов.

           Гипотеза состояла в том, что точка на полоске бумаги должна обозначать внутреннюю поверхность (сторону) бумаги. И по отношению к этой внутренней стороне бумаги, сгибы надо было обозначить соответственно тому, что они из себя представляли: вогнутый сгиб и выпуклый сгиб. Мы не стали менять обозначения кодов, оставив Н и В. Но буквой Н – обозначили вогнутый сгиб, а буквой В – выпуклый сгиб.

           Далее было сделано предположение, что при изображении кривых дракона на клетчатом листе бумаги, надо использовать внутреннюю и внешнюю сторону проводимой линии. Именно по отношению к внутренней стороне линии по кодам будут изображаться вогнутые и выпуклые сгибы. Согласно данным обозначениям, не надо использовать повороты фигуры на 90 градусов.

           Таким образом, был разработан новый алгоритм ручного построения кривых дракона по коду любой длины на клетчатом листе бумаги:

1.          необходимо на листе клетчатой бумаги провести первую вертикальную черточку по стороне одной клетки,

2.          поставить точку с левой стороны от черточки, обозначив внутреннюю сторону линии,

3.          далее следовать командам кода: выпуклый (буква В кода) или вогнутый (буква Н кода) изгибы линии по отношению к её внутренней стороне.

В приложении, на рис. 16 показан данный алгоритм на примере кода ННВННВВ. На рисунке обозначены вогнутый и выпуклый углы, а также точкой обозначена внутренняя сторона линии.

Ниже приведен пример алгоритма построения дракона по коду

Н Н В Н Н В В Н Н Н В В Н В В:

1.          необходимо на листе клетчатой бумаги провести вертикальную черточку (первая) по стороне одной клетки,

2.          поставить точку слева от черточки, обозначив тем самым внутреннюю сторону линии,

3.          от верхнего конца черточки налево провести вторую черточку налево (также по стороне клетки), образуя вогнутый изгиб линии по отношению к внутренней стороне линии: первая буква Н в предложенном коде,

4.          от конца второй черточки провести вниз третью черточку (по стороне клетки), образуя вогнутый изгиб линии по отношению к внутренней стороне линии: вторая буква Н в предложенном коде,

5.          от конца третьей черточки налево провести четвертую черточку (далее везде черточки чертим по стороне клеток), образуя выпуклый изгиб линии по отношению к внутренней стороне линии (далее везде образуем изгибы по отношению к внутренней стороне линии): третья буква В в предложенном выше коде,

6.          от конца четвертой черточки провести вниз пятую черточку, образуя вогнутый изгиб: четвертая буква Н в коде,

7.          от конца пятой черточки провести направо шестую черточку, образуя вогнутый изгиб: пятая буква Н в коде,

8.          от конца шестой черточки провести вниз седьмую черточку (далее не будем считать номера черточек, подразумевая следующие номера), образуя выпуклый изгиб: шестая буква В в коде,

9.          от конца предыдущей черточки рисуем черточку налево (выпуклый изгиб – седьмая буква В), затем черточку вниз (вогнутый изгиб – восьмая буква Н), затем черточку направо (вогнутый изгиб – девятая буква Н), далее черточка вверх (вогнутый изгиб – десятая буква Н), затем черточку направо (выпуклый изгиб – В), черточка вниз (выпуклый изгиб – В), черточка направо (вогнутый изгиб – Н), черточку вниз (выпуклый изгиб – В), черточка налево (выпуклый изгиб – В)

           Приведенный выше алгоритм позволил полностью воспроизвести тот самый рисунок в учебном пособии (приложение 1, г и д), который никак не удавалось построить методом авторов.

Заключение

           В процессе исследования было выяснено, что расшифровка кодов и алгоритм для построения кривых дракона, предложенные авторами учебника Наглядная геометрия И. Ф. Шарыгин и Л. Н. Ерганжиева, неправильные и с их помощью невозможно построить кривые дракона. Было выяснено, что в данном пособии рисунок (приложение рис.1) и алгоритм, предложенные авторами, не соответствуют друг другу. По сути, рисунок иллюстрирует принцип самоподобия фигуры и ясно показывает, что следующая фигура получается простым вращением фигуры, полученной на предыдущем этапе, при этом ось вращения обозначена красной точкой и показано направление вращения - по часовой стрелке.

           Однако вручную таким способом можно построить лишь кривые дракона, соответствующие 2-3 сгибам полоски бумаги. Далее ее будет практически невозможно повернуть без ошибок на клетчатом листе бумаги. Что делает практически невозможным построение кривых дракона, соответствующих 4, 5, 6 и т.д. сгибам полоски бумаги. Таким образом, выполнить задание на построение кривой, соответствующей шести сгибам полоски – невозможно.

           Проведенное исследование показало, что в данном пособии фактически не был дан алгоритма ручного построения кривых дракона на клетчатом листе бумаги.  Было достигнуто понимание того, что авторы учебного пособия [1] отталкивались от алгоритма, который используется при создании компьютерных программ на различных языках программирования для построения фракталов. Такие команды по этому алгоритму способны выполнить лишь машины, но не человек.

           Данное исследование открыло такой алгоритм, и он является уникальным.

           Результатом исследования является:

А) Новое обозначение кодов для рисования кривых дракона: Н – вогнутый, В – выпуклый,

Б) Новый алгоритм ручного построения кривых дракона по коду любой длины на клетчатом листе бумаги:

1.          необходимо на листе клетчатой бумаги провести первую вертикальную черточку по стороне одной клетки,

2.          далее следовать командам кода: выпуклый (буква В кода) или вогнутый (буква Н кода) изгибы линии по отношению к её внутренней стороне.

3.          По новому алгоритму был вручную построен дракон (приложение, рис. 17), полностью соответствующий дракону на рис. 219 из учебного пособия [1] (см. приложение, рис. 10), а также выполнено задание 2 на стр. 122 ([1]), а именно была построена кривая, соответствующая шести сгибам полоски, из кривой в пять сгибов и обрисована контуром (см. приложение, рис. 18).

Таким образом, гипотеза проведённого исследования полностью подтвердилась.

Библиографический список:

1.     Шарыгина И. Ф., Ерганжиева Л. Н., Наглядная геометрия: Учебное пособие для V – VI кл. – Москва: Дрофа, 2016

2.     Лекция 06. Графическое моделирование живой природы. Фракталы на сайте министерства образования РФ http://www.graph.unn.ru/rus/materials/CG/CG06_Fractals.pdf

3.     http://elementy.ru/posters/fractals/dragon

4.      https://www.popmech.ru/science/9519-krivaya-drakona-fraktal-iz-bumagi/

5.     http://uchebilka.ru/geografiya/76824/index.html

6.     http://wp.wiki-wiki.ru/wp/index.php/Фрактал

Приложения

Рис.1. Дракончики, соответствующие 1,2,3 и 4 складываниям (c.121 учебного пособия [1])

Рис. 2. Снежинка Коха

Рис. 3. Кривая Леви

Рис. 4. Треугольник Серпинского

Рис. 5. Ковер Серпинского

Рис. 6. Природный фрактал снежинка

Рис. 7. Природный фрактал: крона дерева

Рис. 8. Фрактал, выполненный в компьютерной графике (лев)

Рис. 9. Фрактал, выполненный в компьютерной графике (медведь)

Рис. 10. Кривые дракона (стр.119 учебного пособия [1])

Рис. 11. Складывание полоски для получения кодов

Рис. 12. Сгибы при складывании полоски 2 раза

Рис. 13. Сгибы при складывании полоски 3 раза

Рис. 14. Заготовки из проволоки для создания дракона

Рис. 15. Проволочный дракон

Рис. 16. Алгоритм ручного построения кривых дракона по коду любой длины на клетчатом листе бумаги (обозначены выпуклые и вогнутые изгибы (углы) линии)

Рис. 17. Дракон, построенный вручную по новому алгоритму, который полностью соответствует дракону на рис. 219 из учебного пособия [1] (приложение, рис. 10)

Рис. 18. Наш первый дракончик, полученный по новому алгоритму, соответствующий полоске бумаги, сложенной шесть раз (6 сгибов)