Научно-исследовательская работа по математике 6 класс "Лабиринты"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ЛИЦЕЙ №3

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

на тему:

“Лабиринты”

Выполнил:

ученик 6 М класса

Лукьянов Юрий

Научный руководитель:

Бордунова

Светлана Николаевна

ИРКУТСК, 2011

Содержание

Введение ……………………………………………………………………...	3
1 Основная часть …………………………………………….……………….	5
1.1 Происхождение и значение слова «лабиринт» .……………………….	5
1.2 Лабиринт в истории …………..………………………………………….	6
1.3 Самые известные лабиринты мира …..…………………………………	7
2. Практическая часть ……..………………………………………………...	9
2.1 Формы лабиринтов ………………………………………………………	9
2.2 Представление лабиринтов в памяти компьютера …………………….	10
2.3 Решение лабиринта. Рекурсивный обход ………………………………	10
2.4 Математические лабиринты …………………………………………….	11
2.5 Организация «математического лабиринта» на уроке математики …..	12
Заключение …………………………………………………………………...	14
Список используемых источников ………………………………………….	15
Приложение …………………………………………………………………..	16

Введение.

Рис. 1. Петроглифы (изображения на камне)

В лабиринте у вас, по крайней мере, есть цель.

Евгений Кащеев.

Возникшее на заре истории (первые изображения лабиринта обнаружены в верхнем палеолите 38.000 лет до н. э.) простое изображение лабиринта с петляющими дорожками было знакомо многим культурам. Лабиринт интернационален. Неизвестно, какой народ придумал его первым. Где бы ни жил человек, в Перу или Швеции, в Англии или России, он представляет один образ: путаные дорожки, ложные ходы и тупики, долгожданный выход, который не найти без помощи Ариадны.

Примитивные формы лабиринта нередко выкладывались из камней или прорезались в торфе, и эта традиция жива и поныне (рис. 1) [1, 2].

Различные лабиринты очень широко и подробно описаны в литературе. Все они имеют больше исторический, чем математический интерес. Распутать их нетрудно. С течением времени фигуры эти потеряли свое символическое значение и сделались предметом развлечения. Лабиринты переходят в сады, цветники и парки, где построены самые запутанные и головоломные фигуры, в которых, действительно, нелегко найти дорогу от края к центру и где можно заблудиться.

В обзоре литературы приведена историческая справка, которая показывает, насколько стар вопрос о лабиринтах и вместе с тем насколько многих он интересовал в свое время [1, 2, 3]. Люди изощрялись в изобретении самых замысловатых и «безвыходных» лабиринтов. Но, в самом деле, возможно ли построить или даже начертить безвыходный лабиринт, т. е. такой, в котором найти путь к его центру и найти обратный, выход было бы только делом удачи, случая, счастья, а не совершенно определенного и правильного математического расчета?

Разрешение каждого лабиринта может быть найдено, и притом сравнительно простым путем. В практической части работы мы постарались привести несколько примеров математических лабиринтов и пути их решения.

Цель работы: доказать возможность выхода из любого лабиринта.

Задачи:

·                     изучить справочную и научную литературу;

·                     узнать происхождение и значение слова «лабиринт»;

·                     найти разные типы лабиринтов;

·                     узнать, какие существуют современные способы решения лабиринтов;

·                     узнать, есть ли универсальное решение любого типа лабиринта;

·                     составить коллекцию задач о лабиринтах.

Объекты исследования: лабиринты разных типов.

Методы и приемы: анализ источников информации, решение задач.

Основная часть

1.1 Происхождение и значение слова «лабиринт».

В русский язык слово пришло, скорее всего, из немецкого языка, образовано от слова Labyrinth, а первоисточник – древнегреческое слово λαβύρινθος, образованное от «улица, переулок, ущелье». Другой вариант – происхождение от слова «лабрис» (др.-греч. λάβρυς) – так назывался церемониальный топорик с двумя лезвиями, который в древности использовался на Крите [1]. Помимо уже перечисленных значений оно связано с понятием «камень». Несмотря на многократные попытки ученых выявить происхождение слова «лабиринт», его этимология до сегодняшнего дня остается неясной.

По найденным древним изображениям, сделанным около 620 года до н. э., где изображается группа воинов, в танце выходящих из лабиринта, ученые сделали вывод, что схема лабиринта выполняла хореографическую функцию – она предписывала последовательность и направление танцевальных движений. Во многих других древних источниках упоминается танец лабиринта Данная. Все это говорит в пользу теории, согласно которой термин «лабиринт» первоначально обозначал танец и движения в этом танце подчинялись строгой графической схеме. В современном словаре понятие «лабиринт» дается следующим образом:

Лабиринт (по Ефремовой) – это запутанная сеть ходов, сообщающихся друг с другом помещений или сеть дорожек в парке, саду, из которых было трудно найти выход. Переносное значение: сложное, запутанное расположение чего-либо [5, 6]. Лабиринты бывают двух видов. Однонаправленные, где один путь ведет прямо к центру, а потом снова к выходу, где нет выбора, головоломных загадок. При этом путника ведут по максимально длинной дороге таким образом, чтобы она не пересекалась (ведя вначале к центру, тропинка затем поворачивает назад к периметру и, каждый раз, снова поворачивая назад, постепенно добирается до центра и выводит из лабиринта) (рис. 2).

Рис. 2. Самый большой лабиринт в мире в г. Турене (Франция)

В другом варианте лабиринт имеет множество путей с целью запутать, сбить путника с дороги. В нем есть тупики, в которых требуется искать ключ или решить трудную проблему [7].

1.2 Лабиринт в истории.

На Балтике широко распространены два основных принципа лабиринтов, которые можно пройти «навылет» и «тупиковые», из которых можно выйти только тем же путем, что и вошел. Вероятно, длина дорожки и время её прохождения должны быть достаточными для изменения состояния человека. Предполагают, что распространенные народные названия лабиринтов у финнов: «каменный забор», «забор великанов» намекают на охранную функцию обряда прохождения лабиринта. Кроме того, есть упоминания о том, что лабиринты также использовали пастухи и охотники в южной Швеции, считалось, что лабиринт оберегает от волков.

Расцвет лабиринтной традиции в средневековой Европе, к которой относятся и балтийские лабиринты, вероятно, приходится на 12-14 века, но еще и в начале 15 века в некоторых церквях священники проходили лабиринты и устраивали игры на Пасху. Видимо, именно из подобной традиции позже получило распространение изображений лабиринтов в церковных росписях на стенах. Древний дохристианский лабиринт получил трактовку уже как христианский символ. Церковные лабиринты и их практика показывают еще одну интересную грань проблемы: лабиринт это не конструкция, а принцип. Ему необязательно быть выложенным камнями, он может быть просто нарисованным на полу, сути это не меняет. Именно из этого факта можно сказать, что культа лабиринта как такового не было, была практика. Лабиринт был не культовым, а сугубо функциональным сооружением. Изображения лабиринтов на петроглифах бронзового века, вероятно, служили оберегами того или иного места.

Рис. 3 Лабиринт на Соловках.

На территории России, выложенные из валунов спирали, каменные лабиринты занимают особое место не только среди древностей Ленинградской области, но и, в целом, среди мегалитов Европы (рис. 3) [8].

1.3 Самые известные лабиринты мира.

Египетский лабиринт.

Самой выдающейся постройкой египтян, были не пирамиды, как полагает большинство, а огромный лабиринт.

Описанный древним историком Геродотом египетский лабиринт был построен еще в 2300 году до нашей эры и представлял собой окруженное высокой стеной здание, где было полторы тысячи наземных и столько же подземных помещений. Лабиринт занимал пространство общей площадью 70 тысяч квадратных метров. Весь этот колосс использовался в качестве гробницы для фараонов и крокодилов, которые в Египте считались не менее священными, чем правители.

Критский лабиринт.

Самый знаменитый лабиринт, безусловно, тот, что по преданию, построил на Крите афинский скульптор Дедал. Лабиринт в Кносе на острове Крит был построен позже египетского лабиринта. Критский лабиринт напоминал египетский, но его размеры были намного меньше.

Живые изгороди.

Лабиринты с живой изгородью из деревьев и кустарников особенно пылко любили и любят англичане. В 1988 году в Лидсе высадили "живую изгородь" – 2400 тисовых деревьев – причем так, что дорожки лидсской "головоломки" образуют изображение королевской короны. По углам лабиринта были установлены башни и бастионы. Пройти к центру лабиринта можно вполне обычным способом – по аллеям, а обратный путь посетители совершают по подземному гроту, специально устроенному для этой цели. Вход в грот находится на холмике, одновременно служащем смотровой площадкой.

1991 год в Великобритании был провозглашен Годом лабиринта. Лабиринтов во владениях Ее Величества Английской королевы очень много и они столь любимы, что в их честь был придуман особый праздник [3, 9]

За последние 500 лет рисунок лабиринта эволюционировал от традиционной единственной линии к более усложненным формам. Начиная с XIX в. под влиянием развития математики основной узор стал еще более запутанным – в результате повсеместно появились хитроумные лабиринты-головоломки в парках, на площадках для игр и занятий спортом. В XX столетии мотив лабиринта используется в рекламе, компьютерных играх и фильмах. Таким образом, лабиринт прошел с нами – от бронзового века к веку компьютерному [3].

Практика

2.1 Формы лабиринтов.

В основном, существуют две формы лабиринтов: круглые и прямоугольные. Самым лёгким считается круглый лабиринт (рис. 4), т. к. его дороги ведут к центру, если попадёшь в тупик, иди обратно и другой дорогой к центру.

Рис 4. Круглый лабиринт.

Тяжёлым лабиринтом является прямоугольный (рис. 5). Оказавшись в прямоугольном лабиринте, вы не сможете уже ориентироваться в нём, т. к. чтобы достичь середины можно подойти ближе к ней, а потом уйти от неё, пройти по периметру и вернуться обратно. Поэтому ходить по прямоугольному лабиринту опасно и захватывающе [10].

 

Рис. 5. Прямоугольный лабиринт.

2.2 Представление лабиринтов в памяти компьютера.

Толковый словарь русского языка определяет лабиринт как «запутанную сеть дорожек, ходов, сообщающихся друг с другом помещений». Лабиринты – плоские (двумерные, если угодно), поэтому их можно легко нарисовать на бумаге. Кроме того, все помещения (их обычно называют локациями) будут квадратными, а сам лабиринт (естественно) – прямоугольным. У каждого такого помещения есть не более четырех соседних, и в каждое соседнее помещение может вести проход (а может и не вести – в этом случае там будет «стена»).

Следующий вопрос – как представить лабиринт в памяти компьютера. Это делают так: нуль обозначает стену, единица – проход (рис. 6).

Рис. 6 Создание лабиринта на компьютере.

 

2.3 Решение лабиринта. Рекурсивный обход.

У этого метода есть только одно достоинство – он простой. Человек будет решать этот лабиринт так: поскольку нет идей, какой путь может вести к финишной локации, ничего не остается делать, кроме как последовательно изучать лабиринт, пока не наткнемся на нее. Если наш путь проходит по коридору, от которого нет ответвлений, надо идти вперед, а больше просто некуда; когда же мы оказываемся на перекрестке, имеет смысл поступить следующим образом. Отметим какой-нибудь из возможных путей (московское время такое-то, выбрали такой-то путь) и будем двигаться по нему. Если нам придется вернуться, мы можем выбрать уже другой путь.

Если на пути встретилась финишная локация – замечательно, конец алгоритма. При этом надо не забывать отмечать свой путь (в «бортовом журнале»), чтобы знать, каким именно образом мы сюда попали.

К сожалению, гораздо чаще, чем хотелось бы, мы будем встречаться не с финишной локацией, а с тупиком. Тупик бывает двух видов: либо просто некуда идти (идем по коридору, а в конце ждет глухая стена), либо там, куда можно идти, мы уже были. Второе означает, что в маршруте образовалась петля, а никакого смысла в том, чтобы идти по тем локациям, где уже все изучено, нет. В этом случае проще всего сделать шаг назад, забыв о том, что мы посетили текущую локацию (вычеркнуть ее из «бортового журнала»), и выбрать другой путь. Если шаг назад ничего не дает, надо сделать еще один шаг назад, а если понадобится – и еще несколько, до тех пор, пока не появятся альтернативы. Если все варианты исчерпаны, а решение так и не найдено, это означает, что его попросту не существует. Например, финишная локация полностью окружена сплошной стеной. Вот и весь алгоритм. Может, кто-нибудь вспомнит о простом правиле: если хочешь выйти из лабиринта, всегда, что бы ни случилось, держись рукой правой стены (можно и левой, конечно; главное – не менять решение в середине пути). К сожалению, это правило гарантирует только то, что мы вернемся туда, откуда пришли; при этом существенная часть лабиринта может остаться неисследованной [10].

2.4 Математические лабиринты.

Лабиринт – запутанная система комнат и переходов, спланированная так, чтобы из нее трудно было найти выход. Можно составить лабиринты разной сложности, изображённые в виде запутанных дорожек и в виде цифр, увидев закономерность которых, можно выбраться из лабиринта. Для обучения счёту и цифр в пределах 100 как нельзя, кстати, подойдёт "Математический лабиринт", задача которого проложить правильный маршрут, вспомнив числовой ряд от 1 до 100 (прил., рис. 1).

Детские математические лабиринты в игровой форме помогут ребенку закрепить вычислительные навыки. Как и в обычном лабиринте, ребенок должен найти верный путь и попасть в противоположный угол.

Для прохождения задания потребуется вооружиться ручкой или карандашом, с помощью которых ребенок проложит путь (прил., рис. 2) [11].

Путь начинается от цифры 5, затем к этой цифре ребенок прибавляет 5, получается 10, затем 10+5=15, 15+5=20 и т.д.

Детский лабиринт – это не только увлекательная игра, которая может занять ребенка, как дома, так и в транспорте, это ещё и одно из важных упражнений, способствующих развитию пространственно-зрительного восприятия, которое необходимо ребёнку для подготовки к школе.

Дети, у которых слабо развито пространственное восприятие с трудом концентрируются, им сложнее запоминать очертания букв и цифр, следовательно, и сложнее научиться их писать, что приводит к ухудшению почерка [12].

2.5 Организация «математического лабиринта»

на уроке математики.

"Лабиринт" проводится в классной комнате. Парты или столы расставляются так, чтобы можно было свободно ходить между ними

На каждый стол ставится картонный куб, на всех гранях которого (кроме основания) написаны числа и задания.

Игра проходит так. При входе в лабиринт ученик получает талон с написанным на нем числом (например, 50). Получив талон, находит куб, на одной из граней которого написано это число, и выполняет указанное там задание (найти 20 % этого числа). Результат действия (ответ задачи) он должен найти на грани другого куба и снова выполнить написанное задание и т. д. После решения нескольких заданий, количество которых указывается заранее (например, пройти 5 кубов, т. е. выполнить 5 заданий), ученик подходит к контрольному пункту и сообщает ответ. Если цепочка заданий (упражнений) выполнена правильно, без ошибок, то ответ совпадает с контрольным числом, и ученик считается прошедшим лабиринт.

Если же при выполнении одного из заданий ученик сделает какую-либо ошибку, то он может пойти по ложному пути, его ответ не совпадет с контрольным числом, и лабиринт будет считаться не пройденным; ученик должен возвратиться и постараться исправить свою ошибку, чтобы найти верный путь.

Ученик, не нашедший ошибку или встретившийся при прохождении лабиринта с "непреодолимыми" трудностями, может обратиться в стол справок. Стол справок в этой игре имеет большое обучающее значение. Ответы здесь не даются. Для каждой задачи заранее продумываются вопросы, указания и вспомогательные задания, направляющие учащегося на правильный путь решения задачи.

Например:

1. Вспомни, как решается такая задача? (Дается задача, решенная раньше.) Нельзя ли использовать ее решение?

2. Подумай, как решается такая задача? (Дается задача, составляющая часть данной задачи.)

3. Можно ли решить эту задачу, если узнать, какую часть от всех денег составляет 20 руб.? Найди эту часть.

4. Тебе нужно доказать равенство отрезков.

Подумай, нельзя ли эти отрезки включить в треугольники и доказать их равенство и т. д. Такие справки только направляют мысли учеников, заставляют вспомнить пройденное и применить его к новой ситуации.

Количество заданий может быть различным и определяется многими факторами: целью лабиринта, наличием времени, его содержанием по степени трудности заданий, составом играющих и т. д. Как правило, оно колеблется от 3 до 5.

В игре одновременно могут участвовать от 15 до 25 человек. Большее количество участников может создать скученность, что отразится на продуктивности выполнения заданий [11].

Заключение.

Тема «Лабиринты» очень интересна. С одной стороны, она занимательна, с другой – полезна, потому что можно найти не одно и не два применения алгоритмам, описанным в работе, а несколько, а с третьей – даже научна.

Лабиринты, появившись еще до нашей эры, существуют и сейчас как постройки и как игры в компьютере или на бумаге. Это замечательная зарядка для ума, разгадывание лабиринтов учит мыслить логически, просчитывать ходы вперед, устанавливать закономерности. Играть в лабиринты можно дома, в школе и на улице.

Изучая разные типы лабиринтов, мы узнали, что решать задачи можно разными способами, но существует и универсальный алгоритм для решения всех задач на нахождение правильного пути в лабиринте. Представленная в работе коллекция лабиринтов может быть полезна учителю математики для проведения занимательных уроков, родителям и детям любого возраста.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.                 Электронный журнал : Новый Акрополь. URL : http://www.newacropol.ru/alexandria/symbols/labirint

2.                 Делия Стейнберг Гусман. Электронное издание : Человек без границ. Лабиринт. URL : http://www.manwb.ru/articles/simbolon

3.                 Электронный журнал : URL : http://akamar.narod.ru/Labirint/labi1.htm

4.                 Игнатьев Е. И.. В царстве смекалки. – Москва, «Наука», 1978. URL : http://www.mathworld.ru/labyrinths

5.                 Словарь Ефремовой онлайн. URL : http://efremova-online.ru

6.                 Толковый словарь Ожегова. Ожегов.РУ. URL : http://www.ozhegov.ru

7.                 Электронный журнал : Энциклопедия культуры Deja vu. URL : http://deja-vu4.narod.ru/Labyrynth.html

8.                 Мизин В. Шаг в лабиринт (о каменных лабиринтах Финского залива) интернет-версия части 9 главы "Феномена сакральных мест", 2006-2009. Опубликовано в журналах Эко-хроника №3/81 (Петербург), Аномалия №3, 2009 (Москва). URL : http://perpettum.narod.ru/labyrinth.htm

9.                 Электронный журнал : Комета-возмездие. URL : http://www.kometa-vozmezdie.ru

10.            Мозговой М. В. Занимательное программирование : Самоучитель. Глава 4. Лабиринты. URL : http://www.piter-press.ru

11.              Дышинский Е. А. Игротека математического кружка. URL : http://comp-science.narod.ru

12.            PRODETSTVO.ru. URL : http://prodetstvo.ru/games/lab/

13.            Stasiya Alexandrova. Labyrinth – Загадочные лабиринты. URL : http://stasiya-doll.blogspot.com/2011/09/labyrinth.html

14.            Тест "Лабиринты-2009. Форма А" [Электронный ресурс] // А. Я. Психология (azps.ru) : [web-сайт]. 13.02.2009. – Режим доступа: http://azps.ru/tests/kit/kit1012.html (13.02.2009).
Приложение.

Рис. 1. Помогите кошке добраться до своей миски.

Рис. 2. Помоги Пингвинчику найти шарики.