Научно-исследовательская работа по математике на тему "Комбинаторные задачи" (5 класс)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ   УЧРЕЖДЕНИЕ «КОЛЫВАНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №2» МБОУ  «Колыванская СОШ № 2» 633160 РФ, Новосибирская обл. р.п. Колывань, пр-кт  Революционный.  21 [e-mail]    тел/факс  [phone]

Комбинаторика.

Задачи.

                                                  Авторы работы: 

                                                  Горлова Анастасия Владимировна, 5 Б класс,

                                         Адрес: Колывань, ул. Некрасова, 2а кв.12

                                  Кудряшова Анастасия Дмитриевна, 5 Б класс,

                           Адрес: Б. Оеш, ул. Озерная, 50 кв 1

                                                 Руководитель:

                          Клоненгер Светлана Викторовна,   

                 учитель математики первой

                      квалификационной  категории

р.п. Колывань, 2019 г.

Содержание

                                                                                                                                                 страница

1.     Введение                                                                                                         3

2.     Цели и задачи работы                                                                                   4

3.     История возникновения и развития комбинаторики                                 4

4.     Комбинаторные задачи. Особенность решения комбинаторных задач.  5

5.     Способы решения комбинаторных задач                                                   6

6.     Области применения комбинаторики                                                         8

7.     Заключение                                                                                                    9

8.     Литература                                                                                                   10

9.     Приложение 1.                                                                                             11

1.     Введение

С комбинаторными задачами мы познакомились задолго до изучения этой темы на уроках математики. В интернете мы  читали разные задачи, искали интересную информацию. И нашли такую задачу: У Маши было 3 юбочки и 4 кофточки. Сколько возможных комплектов одежды есть  у Маши, чтобы каждый день ходить в новом наряде, с условием, что все вещи сочетаются друг с другом? Оказалось, что 12. Почти на две недели. Мы стали рассуждать, если добавить еще кофту, юбку и две пары туфель. Сначала предположили, что ответ будет около 18-20 нарядов. Стали изучать способы решения комбинаторных задач. Когда эта задача была решена, то оказалось, что таких нарядов будет 40. Это было невероятно. Потом мы узнали, что для блокировки телефона пин-кодом из 4 цифр имеется 10000 вариантов. Оказалось, что без решения угадать ответ, даже примерно, невозможно. Но и сами ответы поражали воображение. 

Нам стало интересно, какие еще задачи бывают, кто первым их придумал.

Мы решили изучить историю комбинаторики и некоторые способы решения задач и поделиться своими знаниями с одноклассниками на уроке «Математика вокруг нас», где мы представили свой небольшой проект. Позже на уроках математики мы опять встретили задачи из комбинаторики. Мы уже знали, как их решать, тем более, способов решения мы освоили больше, чем изучается в 5 классе. Мы быстро решили все задачи и тогда начали сочинять свои. Это оказалось трудным, но увлекательным занятием. Нам помогали одноклассники, они предлагали идеи для задач. Так у нас  получился небольшой сборник интересных задач по комбинаторике, который, мы надеемся, пригодится нам в дальнейшей учебе и при сдаче экзаменов.

         А мы задались вопросом, только ли для уроков математики нужна комбинаторика? Насколько эти знания важны для жизни? И какую сферу своей будущей работы надо выбрать, чтобы снова встретится с комбинаторикой?

2.     Цели и задачи работы

Цель:  Научиться понимать и составлять комбинаторные задачи. Исследовать в каких сферах  деятельности человека комбинаторика нашла широкое применение

Задачи:

- Изучить историю возникновения и развития комбинаторики,

- Изучить некоторые способы решения комбинаторных задач,

- Научиться понимать и составлять  задачи на применение различных способов решений.

- Исследовать области применения комбинаторики,  связанные с практической  деятельностью человека.

3.                 История возникновения и развития комбинаторики

Еще в 5 веке до нашей эры в китайской «Книге перемен» написано, что всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также  восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо. В 4 веке до нашей эры в Древней Греции подсчитывали число комбинаций слогов в стихотворных размерах, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата. В 12 веке индийский математик Бхаскара исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями. Стремительно развиваться комбинаторика начала в 16 веке. Первоначально она применялась для расчета шансов на выигрыш в различных азартных играх: рулетке, игре в кости, а также в карточных играх. В карты и кости выигрывались и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения. Широко были распространены всевозможные лотереи. Ясно, что первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр. Исследования вопросов комбинаторики предпринимали итальянские математики Тарталья и Кардано, французы Паскаль и Ферма.

Сам термин «комбинаторика» придумал Лейбниц, который в 1666 году (ему было 20 лет) опубликовал книгу «Рассуждение о комбинаторном искусстве». Правда термин «комбинаторика» Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него даже логику.

4.     Комбинаторные задачи. Особенность решения комбинаторных задач.

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает соединять, сочетать. Она включает в себя задачи, решая которые приходиться составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными задачами. Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать таким образом, что он начинался бы словами: Сколькими способами…? Сколько вариантов…? Для того, чтобы решить задачу по комбинаторике, необходимо сначала понять её смысл, то есть, представить мысленно процесс или действие, описанное в задаче. Нужно чётко определить тип соединений в задаче, а для этого надо, составив несколько различных комбинаций, проверить, повторяются ли элементы, меняется ли их состав, важен ли порядок элементов. Если же комбинаторная задача содержит ряд ограничений, то нужно понять, как влияют или не влияют эти ограничения на соединения. В том случае, если трудно сразу определить какие-либо важные моменты задачи, то неплохо было бы попытаться разобраться в более лёгкой задаче. Например, в той, в которой не учитываются ограничения, если они есть в исходной задаче, или же в задаче, в которой рассматривается меньшее количество элементов, тогда проще будет понять принцип образования выборок. Когда комбинаторная задача состоит из различных комбинаций элементарных задач, то нужно просто разбить задачу на подзадачи.   Далее мы изучили три способа решения задач. В процессе исследования мы пришли к выводу, что каждый из способов имеет свои достоинства и свои недостатки.                                          

5.     Способы решения комбинаторных задач

Способ перебора.

Задача №1. У мамы в саду растут розы, астры, гладиолусы, пионы и георгины. Мне на урок биологии нужно принести три разных цветка. Сколько способов у меня есть для того, чтобы выбрать три цветка из маминого сада?

Решение. Зашифруем название цветов:  астра (А), роза (Р), пион (П), гладиолус (Гл), георгин (Гр). Возьмем первым цветком розу. Посчитаем все варианты, когда в «букете» будет роза.

Р А П;  Р А Гл;  Р А Гр;

Р П Гл;  Р П Гр;

Р Гл Гр.

Дальше считаем, когда розы нет:

 А П Гл;   А П Гр;

А Гл Гр;  П Гл Гр.

Итого, 10 способов.

(Перебор всех вариантов можно вести иначе, например, берём 2 цветка и перебираем варианты третьего).

Дерево возможных вариантов.

Задача №2. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение.

Действительно, если перевернуть рисунок, он будет похож на дерево с пушистой кроной.

Правило Умножения.

Задача №3. На каникулах город Кемерово посетят школьники из Колывани. Они могут приехать поездом или автобусом. В Кемерово им предложено на выбор посетить областной краеведческий музей, музей - заповедник угледобычи под открытым небом «Красная сопка» или совершить экскурсию в кемеровский ботанический сад. Сколько возможных экскурсионных маршрутов предложили учащимся?  (Эта задача составлена  нами).

Решение. Если школьники поедут поездом, то у них есть три выбора экскурсий. Если поедут автобусом, тоже 3 экскурсии. Значит, 2*3=6 (экскурсионных маршрутов). 

Мы рассмотрели три основных способа решения комбинаторных задач. Однако, многие задачи имеют ограничения и их нужно учитывать при решении. На базе этих задач мы самостоятельно составили сборник задач, причем, некоторые из них, на первый взгляд, кажутся очень похожими. На самом деле это не так. Накладывая определенные ограничения, мы получили «похожие» задачи с разными решениями.

6.     Области применения комбинаторики

В процессе составления задач мы обращались к дополнительным источникам. Биология, там мы искали название насекомых, цветов, животных. География – название городов и их достопримечательности. Конечно же, история с её историческими событиями и именами великих людей. Даже поинтересовались музыкой, как располагаются музыканты в квартете. Большую помощь нам оказала Википедия.

Нас заинтересовало, в каких сферах деятельности людей мы можем встретиться с комбинаторикой. Оказалось, что далеко ходить не надо и с этим мы встречаемся каждый день в школе, кроме каникул: наше расписание уроков. Значит, и в любом другом учебном заведении, чтобы составить расписание занятий;

- в нашей и любой другой столовой, чтобы составить меню;

- у мамы в магазине, чтобы оформить витрину с товарами;

- у врача, чтобы  попасть к пациентам и как можно скорее оказать помощь;

А также:

- в экономике, чтобы анализировать варианты купли-продажи акций;

- в криптографии, чтобы разработать методы шифрования или взломать шифр;

- на почте, чтобы распределить варианты пересылки;

- в агротехнике, размещать посевы на нескольких полях;

- в лингвистике, для рассмотрения вариантов комбинаций букв;

- в биологии, для расшифровки кода ДНК;

- в  военном  деле, для расположения подразделений;

- в астрологии, анализировать расположения планет и созвездий;

- в спорте, для расчета количества игр между участниками;

- география, для раскрашивания карт;

- на производствах, для распределения нескольких видов работ между рабочими;

-в азартных играх, лотереях, для подсчёта частоты выигрыша;

- в химии, для анализа возможных связей между химическими элементами;

и во многих других сферах деятельности человека, все их перечислить оказалось невозможно, потому что, как только мы начинали изучать, чем занимается выбранная сфера, выяснялось, что комбинаторика и здесь работает.

7.     Заключение

         Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.

В ближайшем будущем мы научимся решать более сложные задачи комбинаторики, а наши знания по теме будут востребованы при решении задач олимпиадного типа, задач из ЕГЭ.

Мы выяснили, что комбинаторика играет большую роль в практической деятельности человека.

 Комбинаторные задачи могут дать ответ на многие вопросы, связанные с практической деятельностью людей, а решение задач помогает развивать умственные способности, логическое мышление, вычислительные навыки.

Мы выяснили, что знание комбинаторики необходимо представителям самых разных специальностей. Всё это необходимо для всестороннего развития личности. Современный человек должен обладать хорошей математической подготовкой, уметь применить свои знания и навыки на практике.

А мы, как оказалось, очень давно, даже не замечая этого, каждый день применяем комбинаторику в своей жизни. Вся жизнь, с самого её начала, это выбор. Каждый день мы выбираем варианты: что поесть, во что одеться, куда пойти, чем заняться, как учиться, где учиться  и так далее. И от правильности выбора зависит наше будущее.

 А люди, которые умеют рассуждать, перебирать различные варианты решений, быстрее находят выход даже из самых безвыходных ситуаций.

8.     Литература

1.     https://ru.wikipedia.org/wiki/Лейбниц,_Готфрид_Вильгельм

2.     https://ru.wikipedia.org/wiki/История_комбинаторики

3.     https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1509070

4.     https://4brain.ru/blog/комбинаторное-мышление/

5.     https://www.google.ru/search?newwindow=1&rlz=1C1PRFI_enRU809RU812&q=%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0+%D0%B2+%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9+%D0%B6%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B8&sa=X&ved=2ahUKEwiB3LzIm4PfAhUGjCwKHQiOA_oQ1QIoAHoECAYQAQ&biw=1366&bih=657

6.     https://eduherald.ru/ru/article/view?id=11943

7.     http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/596798/

8.     http://rutrip.net/sibir/kemerovskaya-oblast/kemerovo/dostoprimechatelnosti-kemerova

9.     Приложение

Задача 1. Из группы учащихся, которые входят в редколлегию 5Б класса, классный руководитель выделяет двоих для оформления стенгазеты для школы. Сколько существует вариантов такой пары, если группа состоит из 6 человек?

Решение: Зашифруем учеников 1,2,3,4,5,6. Тогда пары могут быть такие 1и 2; 1 и 3; 1 и 4; 1 и 5; 1и 6; 2 и 3; 2 и 4; 2 и 5; 2 и 6; 3 и 4; 3 и 5; 3 и 6; 4 и 5; 4и 6; 5 и 6. Ответ: 15 пар.

Задача 2. У Насти пять подруг: Катя, Таня, Лиза, Кристина и Аня. Она решила пригласить двух из них в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

Решение: С Катей 4 пары, с Таней 3 пары, с Лизой 2 пары, с Кристиной 1 пара. Ответ: 10 вариантов.

Задача 3. Мы с подругой спекли пирожки, из них  2 с картошкой, 2 с вишней и 1 с яблоком. Мы решили угостить  двумя пирожками  Светлану Викторовну. Сколько способов выбора угощения из двух пирожков для этого существует?

Решение: Перечислим все возможные варианты. 2 с картошкой, 2 с вишней, картошка и вишня, картошка и яблоко, вишня и яблоко. Ответ: 5 способов.

Задача 4. У Насти 4 юбочки, 5 кофточек и 2 пары новых туфелек. Все вещи в гардеробе сочетаются. Сколько дней Настя может выходить в разных нарядах, не повторяя комплект?

Решение: 4*5*2=40. Ответ: 40 дней.

Задача 5. Моей маленькой сестре дали кубики: 2 красных, 1 зелёный, 3 желтых: из них надо собрать светофор. Сколько  есть способов собрать светофор, если все кубики одинакового размера?  

Решение: 1 способ.

Задача 6. Моей маленькой сестре дали кубики: 2 красных, 1 зелёный, 3 желтых: из них надо собрать светофор. Сколько  есть способов собрать светофор, при условии, что все кубики пронумерованы? 

Решение: 2*1*3=6. Ответ: 6 светофоров.

Задача 7. В моей  комнате веселились: 1 маленькая муха, 1 большая муха , 1 комар, случайно залетевшие 1 стрекоза и 1 пчела. Мой отважный кот Тимка прогнал 3  насекомых. Сколько есть вариантов из 3насекомых, которых прогнал Тимка?

Решение: Перечислим: м – маленькая муха, М - большая муха, к - комар, с -  стрекоза, п – пчела.  мМк, мМс, мМп, мкс, мкп, мсп. Теперь без м : Мкс, Мкп, Мсп, ксп. Ответ: 10 вариантов.

Задача 8. У Тани есть фрукты: яблоко, груша и банан и апельсин. На столе стоят две одинаковых  вазы. Сколько существует способов разложить фрукты в вазы? Учтите вариант, когда ваза остается пустой.

Решение: Я и Г,Б,А;   Г и Я,Б,А;    Б и Я,Г,А;    А и Я,Б,Г;    Я,Г и Б,А;

                 Я,Б и Г,А;   Я,А и Г,Б;  и все фрукты в одной вазе. Ответ: 8 способов.

Задача 9. Настя Горлова идет от дома до магазина 2 дорогами, а от магазина до школы 3 дорогами. Сколько вариантов маршрутов от дома до школы есть у Насти?

Решение: 2*3+6 . Ответ: 6 маршрутов.

Задача 10. Четыре лучших подруги встретились в школе после каникул и решили обняться – каждая пара по одному разу. Сколько получилось обнимашек?

Решение: 1      2   Ответ: 6 обнимашек.

                 3      4

Задача 11. В областных соревнованиях по футболу участвовало 8 команд из разных районов Новосибирской области: Колыванского, Коченевского, Тогучинского, Ордынского, Купинского, Искитимского, Карасукского, Мошковского. В первый день каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре. Сколько всего игр было в первый день?

Решение: 7+6+5+4+3+2+1=28. Ответ: 28 игр.

Задача 12. Мама утром мне предложила на выбор  чай, сок или какао. А на столе в вазе лежали ватрушка, круассан, кекс и пончик. Сколько вариантов завтрака у меня есть, если я возьму один напиток и одну вкусняшку?

Решение: 3*4=12. Ответ: 12 завтраков.

Задача 13. Принцесса собирается на бал. У неё есть 5 новых бальных платьев и 4 пары замечательных туфель, которые подойдут к каждому платью. Сколько возможных комплектов может составить принцесса, чтобы блистать на балу?

Решение: 5*4=20. Ответ: 20 комплектов для бала.

Задача 14. Составить трехзначное число из цифр 1, 4, 8, 9. Сколько таких чисел существует?

Решение: 4*4*4=64. Ответ: 64 чисел.

Задача 15. Составить трехзначное число из цифр 1, 4, 8, 9. Сколько таких чисел существует, при условии, что все цифры различны?

Решение: 4*3*2=24. Ответ: 24 числа.

Задача 16. Составить трехзначное число из цифр 1, 4, 8, 9. Сколько таких чисел существует, при условии, что число делится на 2?

Решение: 4*4*2=32. Ответ: 32 числа.

Задача 17. Составить трехзначное число из цифр 1, 4, 8, 9. Сколько таких чисел существует, при условии, что число не делится на 2?

Решение: 64-32=32. Ответ: 32.

Задача 18. Составить трехзначное число из цифр 1, 4, 8, 0. Сколько таких чисел существует?

Решение: 3*4*4=48. Ответ: 48 чисел.

Задача 19. Составить трехзначное число из цифр 1, 4, 8, 0. Сколько таких чисел существует, при условии, что цифры не повторяются и число не делится на 2?

Решение: 401, 481, 801, 841. Ответ: 4 числа.

Задача 20. В понедельник у нас по расписанию музыка, информатика, физкультура, математика и русский язык. Сколько вариантов расписания из 5 уроков можно составить на этот день?

Решение: 5*4*3*2*1=120. Ответ: 120 вариантов.

Задача 21. В понедельник у нас по расписанию музыка, информатика, физкультура, математика и русский язык. Сколько вариантов расписания можно составить на этот день, если первым уроком стоит информатика?

Решение: 1*4*3*2*1=24. Ответ: 24 варианта.

Задача 22. В понедельник у нас по расписанию музыка, информатика, физкультура, математика и русский язык. Сколько вариантов расписания можно составить на этот день, если первым уроком стоит информатика, а последним не математика?

Решение: Когда первый урок информатика, то вариантов 24. Каждый из оставшихся предметов может быть последним одинаковое число раз. Значит, 24/4=6 раз. То есть математика не была последней 24-6=18. Ответ: 18 вариантов

Задача 23.

Проказница-Мартышка,
Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка,
Затеяли сыграть Квартет.
Достали нот, баса, альта, две скрипки,
И сели на лужок под липки,— 
Пленять своим искусством свет.
Ударили в смычки, дерут, а толку нет.
«Стой, братцы, стой!» кричит Мартышка: «погодите!
Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.
Сколько есть вариантов рассадить музыкантов?

Решение: При условии правильного расположения инструментов, осталось рассадить зверей. За первым инструментом может сидеть любой из 4 зверей, за вторым только один из троих, так как первый уже на месте и т.д. 4*3*2*1=24 . Ответ: 24 варианта

Задача 24. Посадил дед репку, выросла репка большая пребольшая. И вот тянут они репку впятером: дед, бабка, внучка, жучка и кошка. И так встанут друг за другом, и сяк, а вытянуть не могут. А мышка из окошка поглядывает, да записывает все варианты их расстановки. Сколько всего было таких расстановок? Сколько времени потрачено на расстановки, пока догадливая кошка не сообразила позвать мышку? (На каждую расстановку потрачено  2 минуты).

Решение: На первое место может встать любой из 5, на второе - любой из 4, потом из 3..то есть 5*4*3*2*1=120 вариантов. На каждую расстановку потрачено 2 минуты, то есть 120*2=240минут= 240/60=4 часа. Ответ: 4 часа тянули репку незадачливые дачники.