Научно-исследовательская работа по теме "Треугольник Паскаля" (9 класс)

                                            МБОУ «Школа № 129»

                           Научно- иследовательская работа на тему:

                                            «Треугольник Паскаля»

Выполнила: Морозова Ольга Васильевна

Научный руководитель:Сударева Евгения Аркадьевна

                                     Г.Нижний Новгород.   2016-2017 гг.

                                                   Оглавление.   

Введение……………………………………………………………………...…3

Глава 1: Биография Блеза Паскаля, открытие треугольника Паскаля, его построение.

 §1 Кто такой Блез Паскаль……………………………………………………...5

 § 2 Что такое треугольник Паскаля…………………………………………….7

Глава 2: свойства треугольника Паскаля, решене комбнаторных задач возведение в степень с его помощью.

§ 1 Свойства треугольника Паскаля…………………………………….............9

§ 2 Решение комбинаторных задач с помощью треугольника Паскаля……..14

 §3 Нахождение биномиальных коэффициентов……………………………...16

 §4 Нахождение степеней числа 11  с помощью треугольника Паскаля…...  17

 Заключение…………………………………………………………………….  18

 Используемая литература…………………………………………………....   .19

                                                       Введение.

Цель иследования: ознакомиться с «треугольником Паскаля», изучить его свойства, рассмотреть его применение в решении математических задач.

Задачи:изучить литературу по теме «Треугольник Паскаля»,выявить свойства чисел, входящих в состав треугольника Паскаля, определить применение свойств чисел треугольника Паскаля.

Обьект иследования: треугольник Паскаля.

Предмет по которому выполняется работа: математика.

Актуальность: Данная работа позволяет выявить, насколько широко может применятся треугольник Паскаля в практической жизни и повысить навыки решения задач с применением треугольника Паскаля, которые могут помочь в рамках изучения школьного курса математики.

 Ход работы:

1. Ознакомиться с биографией Блеза Паскаля.

2. Узнать что такое треугольник Паскаля.

3. Изучить свойства треугольника Паскаля.

4. Решить задачи с помощью треугольника Паскаля.

5. Вывод.

Мой личный вклад в работу состоит в отслеживании свойств арифметического треугольника в школьных учебниках, материалах ГИА и ЕГЭ, а также дополнительной литературе.

Практическое значение работы: материалы данной работы могут быть использованы в качестве дополнительного материала на уроках алгебры и геометрии как в обычных, так и в профильных классах.

На уроках геометрии мы часто разбирали темы связанные с треугольниками. Из учебника я узнала, что треугольники бывают прямоугольные, равносторонние и многие другие, но там рассказывалось только о геометрических треугольниках, и мне стало интересно узнать, существуют ли другие виды треугольников. Оказалось, что ещё бывают знаковые и арифметические треугольники. Одним из арифметических треугольников является треугольник Паскаля. О нём говорилось, что он обладает уникальными свойствами и с его помощью можно с лёгкостью решать многие задачи. Это меня очень заинтерисовало, и  я решила изучить  свойства треугольника Паскаля и научиться с его помощью решать задачи.

Когда я подробно познакомилась с треугольником Паскаля, большим открытием для меня оказалось, что это и не совсем треугольник в привычном для нас представлении. Это скорее таблица с интересной структурой, простой и совершенной, содержащая числа – коэффициенты. Поскольку числа данного треугольника обладают особыми свойствами, то сам треугольник Паскаля можно считать универсальным математическим инструментом. Именно это и является гипотезой моего исследования.

                                                              Глава 1.

                                     §1. Кто такой Блез Паскаль?

                                                 

Блез Паскаль (фр. Blaise Pascal; 19 июня 1623, Клермон-Ферран, Франция - 19 августа 1662, Париж, Франция) - французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики. Паскаль родился в городе Клермон-Ферран (французская провинция Овернь) в семье председателя налогового управления Этьена Паскаля и Антуанетты Бегон, дочери сенешаля Оверни. У Паскалей было трое детей - Блез и две его сестры: младшая - Жаклин и старшая - Жильберта. Мать умерла, когда Блезу было 3 года. В 1631 году семья переехала в Париж. Блез рос одарённым ребёнком. Его отец Этьен самостоятельно занимался образованием мальчика; Этьен и сам неплохо разбирался в математике - дружил с Мерсенном и Дезаргом, открыл и исследовал неизвестную ранее алгебраическую кривую, с тех пор получившую название «улитка Паскаля», входил в комиссию по определению долготы, созданную Ришельё. Паскаль-отец придерживался принципа соответствия сложности предмета умственным способностям ребёнка. По его плану древние языки Блез должен был изучать с 12 лет, а математику с 15-16-летнего возраста. Метод обучения состоял в объяснении общих понятий и правил и последующем переходе к изучению отдельных вопросов. Так, знакомя восьмилетнего мальчика с законами грамматики, общими для всех языков, отец преследовал цель научить его мыслить рационально. В доме постоянно велись беседы по вопросам математики и Блез просил познакомить его с этим предметом. Отец, опасавшийся, что математика помешает сыну изучать латинский и греческий языки, обещал в будущем познакомить его с этим предметом. Как-то раз, на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, Этьен кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции, однако запретил ему всякие исследования в этой области. Однако Блез, оставаясь один, принялся углём чертить на полу различные фигуры и изучать их. Не зная геометрических терминов, он называл линию «палочкой», а окружность «колечком». Когда отец случайно застал Блеза за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясён: мальчик, не знавший даже названий фигур, самостоятельно доказал 32-ю теорему Евклида о сумме углов треугольника. По совету своего друга Ле Пайера Этьен Паскаль отказался от своего первоначального плана обучения и разрешил читать сыну математические книги.

 В часы отдыха Блез изучал Евклидову геометрию, позднее, с помощью отца, перешёл к работам Архимеда, Аполлония и Паппа, потом - Дезарга. В 1634 году (Блезу было 11 лет), кто-то за обеденным столом зацепил ножом фаянсовое блюдо. Оно зазвучало. Мальчик обратил внимание, что стоило прикоснуться к блюду пальцем, как звук исчез. Чтобы найти этому объяснение, Паскаль провёл серию опытов, результаты которых позднее изложил в «Трактате о звуках». С 14 лет Паскаль участвовал в еженедельных семинарах Мерсенна, проводимых по четвергам. Здесь он познакомился с Дезаргом. Юный Паскаль был одним из немногих, кто изучал его труды, написанные сложным языком и насыщенные новоизобретёнными терминами. Он совершенствовал идеи, высказанные Дезаргом, обобщая и упрощая обоснования.

Также он сконструировал суммирующую машину. Был один из основоположников гидростатики, установил ее основной закон (Закон Паскаля: давление на поверхность жидкости, производимое внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях). На законе Паскаля основано действие гидравлических прессов и других гидростатических машин.

Одно из его открытий – треугольник Паскаля, именно про него и будет эта работа.

                          §2.  Что такое треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами (в математике биномиальные коэффициенты – это коэффициенты в разложении бинома Ньютона (1+х)ⁿ по степеням x. Коэффициент при x^k обозначается ({\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}n/k)  или{\displaystyle \textstyle C_{n}^{k}} Cn/k и читается «биномиальный коэффициент из n по k»), записанными в таблицу, которая выглядит как равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел, из-за этого треугольник можно продолжать до бесконечности.                                                                         

Назван в честь Блеза Паскаля. В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года - даты выхода "Трактата об арифметическом треугольнике". Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.                                                                                               

Мартин Гарднер писал в книге «Математические новеллы», что "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

                                             Глава 2.

                        §1. Свойства треугольника Паскаля.

Свойство 1. (основное)

 Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно.

Свойство 2.

Первая диагональ треугольника Паскаля  – это натуральные числа, идущие по порядку.

Свойство 3.

Вдоль второй диагонали треугольника выстроены треугольные числа (Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число — это сумма n первых натуральных чисел) и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Свойство 4.

Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа или, более точно, тетраэдральные числа, показывающие сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).

 

Свойство 5. (числа Фибоначчи)

 Паскаль, наверное, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке — элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел). Красным цветом выделены числа Фибоначчи. Сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи.

 

Свойство 6.

Сумма чисел, стоящих на четных местах, равна сумме чисел, стоящих на нечетных местах.

Свойство 7.

 Сумма чисел, стоящих в любой строке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящей в предыдущей строке, поскольку при построении каждой строки числа, стоящие в предыдущей, сносятся дважды.

Свойство 8.

Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ... 

Свойство 9.

Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих пространство, ограниченный теми диагоналям, на пересечении которых стоит это число.

 

Свойство 10.

Каждое число треугольника Паскаля равно сумме предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.

Свойство 11.

Если номер строки треугольника Паскаля – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.

 

Свойство 12.

Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения n (a+b) по степеням.

          §2.  Решение задач по комбинаторике с помощью

                            треугольника Паскаля.

Задача 1.

В магазин доставили 6 компьютеров, их необходимо расставить по 3 в ряд. Сколькими способами можно это сделать?

Решение 1.

Эту задачу можно решит с помощью бинома Ньютона

  

 Или с помощью треугольника Паскаля. Для этого нам нужно найти шестую строку и третью диагональ (номер строки определяется общим количеством компьютеров, а номер диагонали тем количеством компьютеров, сколько их должно стоять в ряду).

На их пересечении будет ответ.

Примечание: если вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 6 с 3 строкой, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться.

Решение 2.

                                                  1

                                               1     1

                                           1      2     1

                                       1      3      3     1

                                    1      4     6     4      1

                                1     5     10     10     5     1

                           1     6     15     20     15     6     1

Задача 2.

Сколькими способами можно расставить 9 цветов по 3 штуки в букет?

Решение 1.

  

 Решение 2.

                                                  1

                                               1     1

                                           1      2     1

                                       1      3      3     1

                                    1      4     6     4      1

                                1     5     10     10     5     1

                           1     6     15     20     15     6     1

                       1     7     21    35      35     21     7    1

                   1     8    28     56     70     56     28    8     1

                1     9    36   84    126    126    84    36     9    1

         §3.  Задачи на нахождение биномиальных коэффициентов.

Задача 1.

Найти разложение (х+3)³

Решение.

Воспользуемся треугольником Паскаля.

Поскольку треугольник Паскаля строится с помощью биноминальных коэффициентов, то каждый ряд будет соответствовать (a+b) в степени равной номеру строки.

Из этого следует, что ³ 1х³+3х²3+3х3²+3³=х³+9х²+27х+27

Задача 2.           

Найдите разложение (4+2х)⁵

Решение.

(4+2х)⁵=4⁵+

§4.  Нахождение  степеней числа 11 с помощью треугольника Паскаля.

Задача 1.

Найдите 11³.

Решение.

Для вычисления этой задачи нам необходимо найти ряд в треугольнике, номер которого будет соответствовать степени, в которую нам необходимо возвести 11.

Если степень меньше пяти, то необходимо просто переписать числа в ряду по порядку.

Третий ряд записывается так: 1 3 3 1.

Поэтому 11³=1331

Задача 2.

Найдите 11⁶

Решение

В рядах с первого по четвёртый нам просто необходимо переписать цифры в ряду по порядку, а с остальным немного труднее. Чтобы найти дальнейшие ответы, необходимо, при получении двухзначного числа в треугольнике, прибавить количество десятков к предшествующему числу.

Пример: шестой ряд треугольника Паскаля выглядит так - 1 6 15 20 15 6 1, в нём встречаются три двухзначных числа: 15;20;15. Прибавляем количество десятков к предшествующим числам. Получается 1 7(6+1 т.к. 15) 7(5+2 т.к. 20) 1(у 20 нет единиц, поэтому 0+1 т.к. 15) 5 6 1, получается, что 11⁶= 1771561

                                          Заключение.

Работа по выбранной теме осуществлялась в полном соответствии с планом исследования, а именно: были определены объектная область, объект и предмет исследования, поставлены цели и задачи. Была определена проблема, обоснована актуальность. В данной работе был детально рассмотрен треугольник Паскаля, его свойства.

 Изучая данную тему, я узнала многое из биографии Паскаля, выяснила, что треугольник Паскаля строится по биноминальным коэффициентам, узнала его основное свойства, свойство чисел Фибоначчи и треугольных чисел, свойство коэффициентов разложения и научилась решать комбинаторные задачи, научилась раскладывать x и y по степеням и возводить число 11 в различные степени с помощью треугольника Паскаля.

 Я пришла к выводу, что одной из наиболее известных и изящных численных схем во всей математике является треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля - понятие значительно шире, чем мне представлялось. Рассматривая тему «Треугольник Паскаля», я расширила свои знания, научилась решать задачи разными способами, изучила некоторые свойства данного треугольника, а также укрепила свой интерес к математике.

 Работа по данной теме оказалась очень полезной и интересной. Я убедилась, что благодаря содержанию такого количества особых свойств, треугольник Паскаля можно считать универсальным математическим инструментом. Таким образом, выдвинутая мною гипотеза доказана.

 Выводы: таким образом, я познакомилась с треугольником Паскаля как с разновидностью треугольников, изучила свойства арифметического треугольника, выяснила какая же связь существует между числами Фибоначчи и биномиальными коэффициентами, рассмотрела его применение в решении некоторых задач.

                                                            Используемая литература:

1. Хрестоматия по истории теории вероятностей и статистики вып. 2 Составитель и переводчик О. Б. Шейнин Берлин, 2007

2.Трилогия о математике/А. Реньин – МИР, 1980

3. Блез Паскаль/ Е. Мурашова – Белый Город, 2006

 4.http://stuki-druki.com/authors/Paskal.php

 5. Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с. 3.Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. - 2 - е изд. – М.: Наука, 1979. – 48с.

6. Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft № 10 2003

7. Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17-25.

8. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.