Презентация по математике на тему "Задачи на моделирование"

• 1 слайд

  Тема работы:
  Математические модели при решении задач оптимизации
  Выполнила:
  ученица 10 класса
  Куимова Ирина Андреевна
  Руководитель:
  Учитель математики 1 категории
  Титова Мария Панкратовна
  
  

• 2 слайд

  Цель работы:
  Построить математическую модель решения поставленной задачи для поиска наилучшего результата.
  

• 3 слайд

  Задачи:
  1. Изучить литературу по проблеме построения математических моделей решения задач на оптимизацию.
  
  2. Разработать математическую модель решения нескольких задач на оптимизацию.
  
  

• 4 слайд

  Математикам удалось разработать методы решения задач на наибольшее и наименьшее значение. Такие задачи называют - задачи на оптимизацию. В переводе с латинского языка “оптимум” – это наилучший.
  

• 5 слайд

  Два вида задач на оптимизацию:
  В задачах первого вида улучшение достигается за счет коренных качественных изменений: выбор новых конструктивных решений, переход на новую технологию изготовления.
  В задачах второго вида качественная сторона дела остается неизменной, но меняются количественные показатели.
  В данной работе рассмотрены задачи только второго типа. В таких задачах ищутся наибольшее и наименьшее значения функций, зависящих от одной или нескольких переменных.
  

• 6 слайд

  Математические модели и их свойства
  Прежде чем решать какую – либо жизненную задачу, человек старается взвесить имеющуюся у него информацию, выбрать из нее существенную. И только потом, когда станет более или менее ясно, из чего исходить и на какой результат рассчитывать, он приступает к решению задачи. Этот описанный процесс называют “уяснением задачи”, или, другими словами, это замена исходной жизненной задачи ее моделью. В осмыслении простейшей жизненной ситуации присутствует модельный подход, хотя человек обычно не замечает своей деятельности .
  

• 7 слайд

  Задача
  Исходные данные
  Результат
  Способы решения, связи, алгоритм решения
  

• 8 слайд

  Алгоритм построения моделей задачи
  Выделить исходные данные.
  
  Определить, что будет служить результатом .
  
  Какова связь между исходными данными и результатом.
  
  Все это – предположения, исходные данные, результаты, связи между ними – их называют моделью задачи.
  
  Для решения модельной задачи требуется некоторый инструментарий. Этот инструментарий обычно организуется в виде единого объекта, называемого исполнителем. Чтобы исполнитель мог получить ответ, ему нужны указания, что и как делать. Такие указания часто представляются в виде алгоритма, в котором задаются математические соотношения, связывающие исходные данные и результат.
  

• 9 слайд

  Рассмотрим два вида задач, решаемые с помощью исследования линейной и квадратичной функций, решения линейных уравнений с двумя переменными.
  
  
  Основные понятия необходимые для решения задач:
  

• 10 слайд

  .
  Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где x и y –переменные, a, b, c – некоторые числа.
  
  Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
  
  Такие уравнения имеют много решений. Иногда при решении задач требуется найти все пары целых чисел или все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению с двумя переменными.
  
  

• 11 слайд

  Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax2+bx+c,
  где x и y –переменные, a, b, c – некоторые числа.
  
  Графиком этой функции является парабола. Вершина (x0, y0) находится по формуле:
  x0= -b/2a, y0=(x0) .
  Наибольшее значение функция принимает при условии, если а<0, наименьшее при а>0.
   
  
  

• 12 слайд

  
  Практические задачи, приводящие к исследованию линейной функции.
  
  

• 13 слайд

  Задача 1
  Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим??
  

• 14 слайд

  Решение.
  С – место построения завода.
  Расстояние от завода С до шахты А обозначим через х:
  A___________С__________________B
    АС = х, ВС = 60 - х .
  Количество тонно-километров:
  от А до С _______ 200 х т/км,
  от В до С _______ 100 (60 – х) т/км.
  Суммарное количество тонно-километров:
  у = 200х + 100 (60 – х) = 100х + 6000 на [0; 60].
  Это уравнение может иметь бесконечно много решений.
  Найдем дешевый вариант перевозок.
  Исследуя функцию у = 100х + 6000 на [0; 60].
  Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при х = 0,
  у = 6000 т/км.
  Вывод: Завод надо строить возле шахты А.
  

• 15 слайд

  Исследуем эту задачу при других исходных данных:
  
  а) в шахте А добывалось 100 т, а в шахте В – 200 т руды;
  б) в шахте А – 200 т, а в шахте В – 190 т;
  в) в шахте А и шахте В – по 200 т руды;
  
  Найдем на отрезке [0; 60] минимум функции:
  а) у = 100х + 200(60 – х) = - 100х + 12000;
  б) у = 200х + 190(60 – х) = 10х + 11400;
  в) у = 200х + 200(60 – х) = 12000.
  Вывод:
  Если в шахте А добывается руды больше, чем в шахте В, то завод надо строить возле шахты А; если же количество руды в этих шахтах одинаковое, то завод можно строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между шахтами А и В.
  

• 16 слайд

  Задача 2
  На колхозной ферме нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?
  
  

• 17 слайд

  Решение:
  Количество 7 – метровых труб обозначим через х , а 5 – метровых – через у.
  Тогда 7х – длина 7-метровых труб,
  5у – длина 5-метровых труб.
  Отсюда получаем линейное уравнение с двумя переменными
  7х + 5у = 167
  Выразив, например, переменную у через переменную х , получим:
  5у=167-7х
  
  

• 18 слайд

  
  
  Т.к. х, у Є N, то методом перебора найдем пары значений х и у , которые удовлетворяют уравнению 7х + 5у = 167.
  (1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4).
  Из этих решений наиболее выгодное последнее, т.е. х = 21 , у = 4.
   
  Ответ: 21 труба 7-метровая, 4трубы 5-метровые – самый выгодный вариант.
  

• 19 слайд

  Использование свойств квадратичной функции при решении экстремальных задач.
  

• 20 слайд

  Задача 3
  Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?
  
  

• 21 слайд

  М
  С
  В
  D
  A
  

• 22 слайд

  Решение:
  Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью, если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь.
  Пусть AB = x, AD = y, тогда P=AB+BC+AD+ DMC , где DMC – длина полуокружности, равная 0,5П d.
  P=x+2y+0,5 Пx (1)
  S=ABCD+ Пx2 /8
  S=xy + Пx2 /8 (2)
  Выразим из (1) у =(Р- х- 0,5 π х)/2 подставим в (2), упростим, получим
  S(x)=- ( П/8 +1/2) x2 +Р2 x
  
  

• 23 слайд

  Известно, что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при
  x0= -b/2a, т.е.
  x0= Р/ (П /2-2), y0= 3Р/ ( П +4).
  Ответ: Размеры окна
  Р/ (П/ 2-2), 3Р/ (П +4).
  

• 24 слайд

  Задача 4
  На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении не разрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъема снаряда, если начальная скорость снаряда ν 0 = 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь...
  

• 25 слайд

  Решение:
  Равноускоренное движение:
  s = s0 + ν0 t + at2/ 2, где s0 – начальный путь, ν 0 – начальная скорость, a – ускорение, t – время .
  s =0, v =300 м/с, а=-5 м/с ,
  значит, S(t) = 300t – 5t 2 .
  Функция S(t) принимает наибольшее значение при х0=30
  S(30)= 300.30-530 2 =4500(м)
  Наибольшая высота подъема снаряда равна 4500 м.
  Ответ: 4500м.
  
  

• 26 слайд

  Заключение:
  В настоящее время успех развития многих областей науки и техники зависит от развития многих направлений математики.
  Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства.
  
  

• 27 слайд

  Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности.
  Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению наших математических знаний.
  Через задачи мы знакомимся с экстремальными свойствами изучаемых функций, с некоторыми свойствами неравенств.
  
  

• 28 слайд

  Вывод:
  Цель:
  Научиться строить математические модели для решения задач на оптимизацию.
  
  Мои действия:
  Подбор соответствующей литературы, изучение её.
  Изучение идей решения задач на оптимизацию.
  Повторение материала о линейных уравнениях, линейных и квадратичных функциях, исследование на наибольшее и наименьшее значение.
  Повторение формул по физике, проследить связь математики и физики.
  Убедиться в том, что естественные науки, использующие математику, можно считать математическими моделями явлений, а также, что любой процесс в жизни можно записать с помощью математических знаков и символов, а обработать их нам помогут компьютеры.
  
  
  
  

• 29 слайд

  Список использованной литературы
  1 Беляева Э. С., Монахов В.М. Экстремальные задачи. М.: Просвещение, 1997.
  2 Виленкин Н. Л. Функции в природе и технике. – М.: Просвещение, 1978
  3 Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. М.: Просвещение, 1985.
  4 Гнеденко Б. В. Математика в современном мире. М: Просвещение, 1980.
  5 Перельман Я. И. Занимательная алгебра. М: АО “Столетие”, 1994
  6 Хургин Я. И. Ну и что? (Разговоры математика с биологами и радистами, врачами и технологами… о математике и ее связях с другими науками). М.: Молодая гвардия, 1967.
  7 Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1997