Некоторые приемы решения тригонометрических уравнений (10 класс)

Приемы решения тригонометрических уравнений

1. Сведение к одной функции

1. $\cos^2x$ заменяем на $\sin^2 x$ , ${\rm tg}\, x$ – на ${\rm ctg}\, x$ .

Пример 1.
$\begin{array}{l} \sin^2 x+2\sin x-3\cos^2x+1=0,\\ \sin^2x+2\sin x-3+3\sin^2x+1=0,\\ \sin x=t,\\ 4t^2+2t-2=0,\\ 2t^2+t-1=0. \end{array}$

$\begin{array}{ll} 1)\ \sin x=-1&2)\ \sin x=1/2\\ \displaystyle x=-{\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}& \displaystyle x=(-1)^k{\pi\over 6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z} \end{array}$

Пример 2.
$\begin{array}{l} {\rm ctg}\, x-3{\rm tg}\, x=0,\\ \displaystyle {1\over {\rm tg}\, x}-3{\rm tg}\, x=0,\\[3mm] 1-3{\rm tg}^2x=0\\ \displaystyle {\rm tg}^2x={1\over 3}\quad(\Longrightarrow\cos x\ne0,\sin x\ne0),\\[3mm] \displaystyle {\rm tg}\, x=\pm{1\over\sqrt{3}},\\[2mm] \displaystyle x=\pm{\pi\over 6}+\pi k. \end{array}$

2. $\cos2x$ заменяем на $\cos x$ , $\cos2x$ – на $\sin x$ , ${\rm tg}\,2x$ – на ${\rm tg}\, x$ .

Пример 1.

$\begin{array}{l} 2\cos2x=8\cos x-1,\\ \cos x=t,\\ 4t^2-8t-1=0,\\ {\cal D}/4=20,\\ \displaystyle t={4\pm2\sqrt{5}\over 4}={2\pm\sqrt{5}\over 2}. \end{array}$
1) $\displaystyle\cos x={2+\sqrt{5}\over 2}$ 2) $\displaystyle\cos x={2-\sqrt{5}\over 2}$ ,
В первом случае решений нет, во втором $\displaystyle x=\pm\arccos{2-\sqrt{5}\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ .

Пример 2.

$\begin{array}{l} {\rm tg}\,2x=3{\rm tg}\, x,\\ \displaystyle {2{\rm tg}\, x\over 1-{\rm tg}^2x}=3{\rm tg}\, x, \end{array}$

Пример 3.

3. Однородные уравнения относительно $\sin x,\cos x$ .

$\begin{array}{l} a\sin x+b\cos x=0,\\ a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0. \end{array}$
Если $a\ne0$ , то деля обе части уравнения на $\cos x$ или на $\cos^2 x$ , получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть — корень уравнения и $\cos x_0=0$ . Подставляя в уравнение, получаем, что и $\sin x_0=0$ , а это невозможно.

Пример.

$\begin{array}{ll} 2\sin^2x-3\sin x\cos x+\cos^2x=0,&\\ 2{\rm tg}^2x-3{\rm tg}\, x+1=0,&\\ 1)\ {\rm tg}\, x=1&2)\ {\rm tg}\, x=1/2,\\ \displaystyle x={\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x={\rm arctg}\,{1\over 2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

4. Уравнения, приводящиеся к однородным

а) Домножение на $\sin^2x+\cos^2x$

Пример.
$\begin{array}{l} \sin2x(\sin x+\cos x)=4\sin x-2\cos x,\\ \sin2x\sin x+\sin2x\cos x=4\sin^3x-2\cos x\sin^2x+ 4\sin x\cos^2x-2\cos^3x,\\ 2\sin^2x\cos x+2\cos^2x\sin x=4\sin^3x-2\cos x\sin^2x+ 4\sin x\cos^2x-2\cos^3x,\\ 4\sin^3x-4\sin^2x\cos x+2\sin x\cos^2x-2\cos^3x=0,\\ 2{\rm tg}^3x-2{\rm tg}^2x+{\rm tg}\, x-1=0,\\ ({\rm tg}\, x-1)(2{\rm tg}^2x+1)=0,\\ {\rm tg}\, x=1,\\ \displaystyle x={\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

б) Переход к половинному аргументу

Пример.
$\begin{array}{l} 11\sin x-2\cos x=10,\\ \displaystyle 22\sin{x\over 2}\cos{x\over 2}-2\cos^2{x\over 2}+2\sin^2{x\over 2}=10\sin^2{x\over 2}+10\cos^2{x\over 2},\\[3mm] \displaystyle 4{\rm tg}^2{x\over 2}-11{\rm tg}\,{x\over 2}+6=0,\\[5mm] \displaystyle {\rm tg}\,{x\over 2}={11\pm\sqrt{121-96}\over 8}={11\pm5\over 8}. \end{array}$
$\begin{array}{ll} \displaystyle \displaystyle{\rm tg}\,{x\over 2}=2&\displaystyle{\rm tg}\,{x\over 2}={3\over 4},\\[3mm] x=2{\rm arctg}\,2+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x={\rm arctg}\,{3\over 4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

5. Использование формулы $a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+{\rm arctg}\,(b/a)), a>0$

Пример.
$\begin{array}{l} \sin x+\cos x=1,\\ \sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1,\\ \sin(x+\pi/4)=\sqrt{2}/2,\\ x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z};\ x=\pi/2+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

6. Замена $\sin2x\to\sin x\cos x\to\sin x+\cos x,\sin x-\cos x$ .
Пример.
$\begin{array}{l} \displaystyle{1\over \sin x}-{1\over \cos x}=1,\\[3mm] \cos x-\sin x=\sin x\cos x,\\ \cos x-\sin x=t,\\ \displaystyle \sin x\cos x={1-t^2\over 2},\\[3mm] 1-t^2=2t,\\ t^2+2t-1=0,\\ t=-1\pm\sqrt{2}. \end{array}$

$\begin{array}{ll} \cos x-\sin x=-1+\sqrt{2}&\cos x-\sin x=-1-\sqrt{2},\\ -\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)=-1+\sqrt{2}&-\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)=-1-\sqrt{2},\\ x=\pi/4+{\rm arcsin}\,(1-1/\sqrt{2})+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\emptyset,\\ x=5\pi/4-{\rm arcsin}\,(1-1/\sqrt{2})+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.& \end{array}$

Разложение на множители

1. Формулы преобразования суммы в произведение

2. Формулы

$\begin{array}{l} \sin2x=2\sin x\cos x,\\ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x,\\ \sin^2x=1-\cos^2x,\\ \cos^2x=1-\sin^2x. \end{array}$

Пример 1.

$\begin{array}{ll} \cos2x=\cos x+\sin x,&\\ 1)\ \cos x+\sin x=0,&2)\ \cos x-\sin x=1,\\ 1+{\rm tg}\, x=0,&-\sqrt{2}\sin(x+{\rm arctg}\,(-1))=1,\\ {\rm tg}\, x=-1,&\displaystyle\sin\left( x-\pi/4\right)=-{\sqrt{2}\over 2},\\[3mm] \displaystyle x={3\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x-{\pi\over 4}=-{\pi\over 4}+2\pi k,\ x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] &\displaystyle x-{\pi\over 4}={5\pi\over 4}+2\pi k,\ x={3\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

Ответ. $\displaystyle\left\{ 2\pi k,{3\pi\over 2}+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

Пример 2.

$\begin{array}{l} \sin x+\sin^2x+\cos^3x=0,\\ \sin x+1-\cos^2x+\cos^3x=0,\\ \sin x(1+\sin x)+(1-\sin^2x)\cos x=0,\\ \sin x(1+\sin x)+(1+\sin x)(1-\sin x)\cos x=0,\\ 1)\ 1+\sin x=0,\\ \sin x=-1,\\ \displaystyle x=-{\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\ 2)\ \sin x+(1-\sin x)\cos x=0,\\ \sin x+\cos x=t,\\ \displaystyle\sin x\cos x={1\over 2}(t^2-1),\\[3mm] \displaystyle t-{1\over 2}t^2+{1\over 2}=0,\\[3mm] \displaystyle {1\over 2}t^2-t+{1\over 2}=0,\\[3mm] t=1\pm\sqrt{2}. \end{array}$

$1)\ \sin x+\cos x=1+\sqrt{2}>\sqrt{2}$ , решений нет,

$\begin{array}{l} 2)\ \sin x+\cos x=1-\sqrt{2},\\ \sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1-\sqrt{2},\\ \displaystyle x+{\pi\over 4}=\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] \displaystyle x=-{\pi\over 4}+\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] \displaystyle x+{\pi\over 4}=\pi-\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] \displaystyle x={3\pi\over 4}-\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

Ответ. $\displaystyle\left\{-{\pi\over 2}+2\pi k,-{\pi\over 4}+\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k\right.$ , $\displaystyle\left.{3\pi\over 4}-{\rm arcsin}\,{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k\left.\right| k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

Понижение степени

Использование формул

$\begin{array}{l} \displaystyle \cos\alpha\cos\beta={1\over 2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)),\\[3mm] \displaystyle \sin\alpha\sin\beta={1\over 2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)),\\[3mm] \displaystyle \sin\alpha\cos\beta={1\over 2}(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)),\\[3mm] \displaystyle \cos^2\alpha={1\over 2}(1+\cos2\alpha),\\[3mm] \displaystyle \sin^2\alpha={1\over 2}(1-\cos2\alpha). \end{array}$

Сравнение левой и правой части

Пример 1.

$\begin{array}{l} 2\sin^35x+7\cos5x=9,\\ 2\sin^35x\le2,\\ 7\cos5x\le7,\\ 2\sin^35x+7\cos^5x\le9,\\ \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \sin5x=1,\\ \cos5x=1, \end{array}\right. \end{array}$

что невозможно.

Ответ. $\{\}$ .
Пример 2.

$\begin{array}{l} \displaystyle\sin^{19}x+\cos^{19}x={\pi\over 3},\\[3mm] \sin^2x+\cos^2x=1,\\ \left.\begin{array}{l} \sin^{19}x\le\sin^2x,\\ \cos^{19}x\le\cos^2x, \end{array}\right|\Rightarrow\sin^{19}x+\cos^{19}x\le1,\\ \pi/3>1. \end{array}$

Ответ. $\{\}$ .
Пример 3.

$\begin{array}{l} \sin3x+\sin7x=2,\\ \left\{\begin{array}{l} \sin3x=1,\\ \sin7x=1, \end{array}\right.\\[5mm] \sin3x=1,\\ \displaystyle x={\pi\over 6}+{2\pi k\over 3},\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

Пусть
$x\in[0;2\pi[,\displaystyle x\in\left\{{\pi\over 6};{5\pi\over 6};{3\pi\over 2}\right\} . $

Подставляем во второе уравнение:

$\displaystyle \sin{7\pi\over 6}\ne1;\ \sin{35\pi\over 6}\ne1;\ \sin{21\pi\over 2}=1.$

Ответ. $\displaystyle\left\{\left.{3\pi\over 2}+2\pi k\right| k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

Пример 4.
$\begin{array}{l} \cos^3x\cos2x=-1,\\ |\cos x|\le1,\ |\cos2x|\le1,\ |\cos^3x\cos2x|\le1,\\ \left\{\begin{array}{l} \cos x=1,\\ \cos2x=-1, \end{array}\right.\end{array}$

или

$\left\{\begin{array}{l} \cos x=-1,\\ \cos2x=1. \end{array}\right.$

Если $\cos x=1$ , то $\cos2x=\cos^2x-0=1\ne-1$ . Если $\cos x=-1$ , то $\cos2x=1$ .

$\left\{\begin{array}{l} \cos x=-1,\\ \cos2x=1. \end{array}\right.\Longleftrightarrow\cos x=-1.$

Ответ. $\{\pi+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\}$ .

Скачать материал

Скачать материал "Некоторые приемы решения тригонометрических уравнений (10 класс)"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 671 652 материала в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Разработка урока Объем параллелепипеда 5 кл. математика Виленкин

26.02.2017
1364
66

docx

Конспект урока на тему "Треугольник"

26.02.2017
506
0

pptx

Презентация по математике на тему "Деление с остатком" (3 класс)

26.02.2017
913
4

docx

Тема саморазвития учителя "Использование технологии уровневой дифференциации в личностно ориентированном обучении математике"

26.02.2017
1108
1

docx

Доклад «Ведущие аспекты проектирования урока по ФГОС. Технологическая карта урока»

26.02.2017
317
0

docx

Поурочный план урока на тему "Вычитание натуральных чисел и его свойства"

26.02.2017
1301
14

pptx

Презентация по теме "Проектная деятельность на уроках математики"

26.02.2017
925
1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 26.02.2017 552
- DOCX 165 кбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Айзатуллова Анися Арифулловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Айзатуллова Анися Арифулловна
- На сайте: 8 лет и 3 месяца
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 16068
- Всего материалов: 17