Нестандартные задачи в 5 классе (Сборник для кружковой работы)

В науке нет широкой столбовой дороги, и только тот сможет достигнуть ёё сияющих вершин, кто, не страшась усталости, карабкается по ёё каменистым сторонам.

В средней школе математику изучают с 1-го по 11-ый класс. Уроков за это время проводится много. Разумеется, каждый ученик должен хорошо усваивать всё то, что излагает учитель, тщательно выполнять все задания. Но на практике не всё так гладко. Для успешного изучения математики необходимы ещё и самостоятельная творческая работа, и сознательное отношение к изучению этого трудного предмета.

Каждый учитель, работая с детьми, ставит перед собой цель привить интерес к предмету, желание заниматься математикой. А добиться этого можно, решая с учащимися интересные, нестандартные задачи, требующие творческого подхода к решению.

Часто думают, что для занятия математикой необходимы особые способности. Практика обучения, а я работаю в школе 25-й год, показывает, что обычных средних способностей вполне достаточно для того, чтобы ученик, при правильном руководстве им, сознательно усвоил математику, преподающуюся в средней школе. Математические способности нужны для тех, кто будет заниматься этим предметом дополнительно, выходя за рамки школьной программы. Очень важно для тех, кто посвятит себя математике овладеть умениями находить наиболее удачные пути решения задач. Особенно ценно для всех желающих заниматься математикой - развивать логическое мышление, умение правильно, обоснованно и последовательно рассуждать. А развить в себе эти качества можно в ходе творческого изучения математики. Нужно только любить эту науку и упорно заниматься ею. Но одних способностей для занятий математикой недостаточно. Математический талант – это, прежде всего, напряжённый, хорошо организованный труд.

Самое интересное в математике – это, пожалуй, задачи. Вместе с тем, это и самое трудное. Не случайно решению задач в школе отводится не менее 2/3 учебного времени. Однако не всегда это время используется достаточно эффективно, особенно в 5^х – 6^х классах, где закладываются основы математического мышления. Упражнения, решаемые учениками, зачастую ограниченны одной темой, направлены на отработку одного правила, и в итоге многие ученики  плохо справляются даже с несложными задачами, требующими знания нескольких тем. Ограниченность круга задач, их “однотемность” не способствуют воспитанию интереса к математике, что в свою очередь отрицательно влияет на изучение математики в старших классах. Расширить круг решаемых упражнений можно в первую очередь за счёт нестандартных задач, задач повышенной трудности, имеющихся в учебнике. Их следует предлагать не только “избранному” кругу школьников, но и всем учащимся 5^х – 6^х классов, привлекая их к осмысленному творческому труду.

И хотя методы и приёмы решения задач усваиваются практически, отсюда не следует, то учитель добьётся успеха, если будет требовать от учащихся решать побольше задач, давать им ответы и показывать образцы решения. Необходимо учитывать психологический аспект этой проблемы. Трудные задачи требуют от учащихся напряжённого труда, воли и упорства. А они проявляются у школьников, если задача интересна. Поэтому особое место занимает подбор задач.

На первых порах нужно предлагать учащимся интересные задачи, вызывающие у учащихся желание их решать. Задачи должны быть и доступными, иначе учащиеся могут потерять интерес к ним, а значит и к математике вообще. Ведь ничто так не “окрыляет” ученика, как победа над трудной, нестандартной задачей. Д. Пойа говорил: “Если вы хотите научиться решать задачи, то решайте их”.

Думаю, что данный сборник будет неплохим “помощником” как ученикам, так и молодым начинающим учителям математики.

1.                   Натуральные числа и действия над ними.

I.                                                                                                                             “Натуральные числа”

№1.           Счёт – простое и легкое дело тогда, когда считают однородные предметы. Если же требуется определить количество разнородных предметов, то приходится использовать особые приёмы. Рассмотри рисунок 15. Эту таблицу составил лесничий, когда считал количество берёз, осин, сосен и других деревьев, растущих на участке.

 Сколько деревьев каждого вида отдельно насчитал лесничий, если известно, что берёз он насчитал 83. Объясни способ подсчёта деревьев на этом участке.

Решение:

Дубы
Сосны
Берёзы
Осины
Другие деревья

Лесничий обозначал деревья отрезками. Из отрезков он строил прямоугольник с одной диагональю. Таким образом, фигура     обозначала 5 деревьев какого-то вида, так как она состоит из 5 отрезков. Значит, чтобы узнать, сколько деревьев каждого вида насчитал лесничий, нужно посчитать количество прямоугольников в строке, умножить это число на 5 и прибавить количество отрезков недостроенного прямоугольника.

Дубы:

Сосны:

Берёзы:

Осины:

Другие деревья:

Ответ: 64; 42; 83; 56; 43.

№2.  Возьми три любые последовательные натуральные числа и сложи их. Обрати внимание, что полученная сумма делится на три. Когда эта сумма делится на шесть?

Решение:

Пусть одно число n, тогда два последующих n+1 и n+2. Найдем их сумму

n+n+1+n+2=3n+3=3(n+1)

Сумма представляет собой произведение двух множителей 3 и n+1. Значит, сумма трёх последовательных чисел всегда делится на три. Чтобы эта сумма делилась на шесть, при разложении ёё на множители, должны быть множители 3 и 2 . Следовательно, множитель n+1 должен быть чётным числом. Но n+1 это второе число из выбранных трёх последовательных чисел. Значит, чтобы сумма трёх последовательных чисел делилась на 6, второе число в этом ряду должно быть чётным.

Ответ: второе число чётное.

№3            Возьми три любые последовательные числа и  перемножь их. Докажи, что полученное  произведение  делится на шесть. В каком случае такое произведение делится на 24?

Решение:

1. Три последовательных натуральных числа  содержат одно число, которое делится на 3 и хотя бы одно четное. Значит, произведение этих чисел разделится на 3 и на 2 т.е. на 6 ().

2. Мы доказали, что произведение любых трех последовательных чисел  делится на 6. Если из трех последовательных чисел два четные, то произведение делится на 24, т.к.

Например:

1. а)                                                   2. а)

                                                                          

    б)                  б)

-          ч. т. д.                                                                  и т. д.

№ 4.          Запиши все трехзначные числа, в которых используются только цифры 4 и 7.

Решение:

444; 447; 474; 744; 477; 774; 747; 777.

№ 5.          Девятизначное число имеет по три единицы каждого разряда. Запиши и прочитай это число.

Решение:

Т.к. число имеет по три единицы каждого разряда, т.е. три единицы, три десятка, три сотни и т.д., то это число –

333333333 – триста тридцать три миллиона триста тридцать три тысячи триста тридцать три.

Ответ: 333333333.

№21*        Какое наибольшее и какое наименьшее трехзначные  числа можно записать, используя только цифры 8, 0 и 4?

Решение:

Числа состоят из цифр обозначающих количество единиц соответствующего разряда. Первая цифра в числе, обозначает количество единиц большего разряда, а последняя – количество единиц меньшего разряда. Значит, чтобы записать из данных цифр  наибольше число их надо расположить в порядке убывания, а чтобы написать наименьшее число цифры располагаются в порядке возрастания. Учитывая, что ноль обозначает отсутствие разряда, получили:

840 – наибольшее число;

408 – наименьшее число.

Ответ: 840; 408.

№ 6.          Одно трехзначное число записано цифрами 1, 0 и 3, а второе – цифрами 5, 0 и 7. Размести в каждом числе цифры так, чтобы произведение этих двух чисел было наибольшим. При каком расположение цифр трехзначных числе будет наименьшим.

Решение:

Учитывая рассуждения предыдущей задачи

Ответ:   и  .

№ 7.          Запиши все трехзначные числа, обозначенные только цифрами 5, 2 и 0. Найди сумму этих чисел и объясни, почему она делится на 211.

Решение:

205; 250; 502; 520.

 значит, сумма этих чисел делится на 211.

Ответ: 205; 250; 502; 520.

№ 8.          Все натуральные числа от 1 до 40 записаны подряд. Сколько раз в этой записи встречается цифра 1? Сколько раз использовали цифру 5; цифру 0?

Решение:

1 – 1, 10, 11, 12 ……..19, 21 31 – 13 раз.

(по одному разу в третьем и четвертом десятке, два раза в первом десятке и девять раз во втором десятке).

5 – 5, 15, 25, 35 – 4 раза  (по одному разу в каждом десятке)

0 – 10, 20, 30, 40 – 4 раза (по одному разу в каждом десятке).

Ответ: 13; 4; 4.

№ 9.          Скорость электровоза 120 км/ч, а скорость велосипедиста в 6 раз меньше. Сколько нужно времени велосипедисту, чтобы приехать то расстояние, которое электровоз проехал за 2 ч. Найди два способа решения задачи и сравни их. Какой способ удобнее.

Решение:

I способ:

1)       (км/ч) – скорость велосипедиста;

2)       (км) – проехал электровоз за 2 часа;

3)       (ч) – понадобится велосипедисту.

II способ:

1)       (часов) – нужно велосипедисту, т.к. во сколько раз меньше скорость, во столько раз потребуется больше времени для преодоления одного и того же расстояния.

Второй способ  удобнее.

Ответ: 12 ч.

№ 10.        Напиши числа от однозначного до шестизначного, используя только цифру 4, и прочти их. Что означает цифра 4 в записи каждого числа?

Решение:

4; 44; 444; 4444; 44444; 444444.

Цифра 4 в записи каждого числа означает, что число содержит 4 единицы каждого разряда (4 единицы, 4 десятка, 4 сотни и т.д.).

№ 11.        Продолжи ряд чисел (напиши еще четыре числа):  18886; 18888; 18890…

Решение:

Это ряд четных чисел, значит 18886; 18888; 18890; 18892; 18894; 18896.

№ 12.        Сколько существует различных семизначных чисел, сумма цифр каждого из которых 3? 4? 8?

Решение:

1. Если сумма цифр семизначного числа равна 3, то оно может состоять либо из трех единиц и четырех нулей, либо из единицы, двойки и пяти нулей. Различные числа можно получить, если перемещать эти цифры по разрядам. Учащиеся должны найти самый рациональный способ таких перемещений, т.е. вначале нужно передвигать последнюю значащую цифру по разрядам, обозначенным нулями, затем  предпоследнюю цифру и т.д. Когда перемещение по одной цифре завершиться, нужно провести перемещение по две цифры, потом по три, и так до тех пор, пока пройдут все варианты.

Например:

2)  1110000                                                         1)         2100000

      1101000                                                                    2010000

      1100100                                                                     2001000

      1100010                                                                     2000100

      1100001                                                                     2000010

      1011000                                                                     2000001

      1010100                                                                     1200000

      1010010                                                                     1020000

      1010001                                                                   1002000

      1001100                                                                   1000200

      1001010                                                                   1000020

      1001001                                                                   1000002

      1000110

      1000011

      1000011

Аналогично можно получить все семизначные числа сумма цифр каждого, из которых равна 4 или 8.

№ 13.    Расстояние между точками А и В равно 5 см. Найди на прямой АВ все такие точки, сумма расстояний от которых до точек А и В равна 9 см.

Решение:

Искомые точки не могут лежать на отрезке АВ, значит, они лежат вне этого отрезка.

 

АВ = 5 см.                                                                     АВ = 5 см.

АС = 2 см.                                                                     ВД = 2 см.

ВС = 7 см.                                                                     АД = 7 см.

АС+ВС=9см.                                                                ВД+АД=9см.

Искомые точки С и Д лежат на расстоянии 2 см от  точек А и В.

№ 14.    Начерти от руки схему расположения трех городов, расстояние между которыми равны 145 км, 128 км и 273 км. Как они расположены?

Решение:

1.      145 + 128 = 273 – значит, города расположены на оной прямой.

 

Обозначив один город буквой А, другой буквой В, а третий – С, можно начертить данную схему.

№ 15.   Вычисли значение выражений и вместо точек поставь соответствующий знак:

а)   743 + 943 + 1207 ….             4743 – 1879 + 21

б)   ….             

Решение:

а)   743 + 943 + 1207 ….     <      4743 – 1879 + 21

2893                         <             2915

б)   ….       <     

                        6564 – 833                      <      2772 + 3004            

          5731                            <             5776

№ 16.  Напиши наименьшее и наибольшее шестизначные числа, состоящие из двух двоек, трех троек и нуля.

Решение:

202333 – наименьшее число

333220 – наибольшее число.

Ответ: 202333,333220.

№ 17.  Из города А в город В можно проехать автобусом с пересадкой в городе К или в городе М. Какой путь наиболее выгоден, если известно, что от А до К автобус идет 1 ч 30 мин, следующего автобуса нужно ждать 10 мин, от К до В автобус идет 45 мин. От А до М автобус идет 1 ч 10 мин, в городе М автобус надо ждать 22 мин, от М до В ехать 50 мин (рис. 20).

 

Решение:

1.      90 + 45 + 10 =145 (мин) = 2 ч 25 мин – время для поездки из города А в город В с пересадкой в городе К.

2. 70 + 50 + 22 = 142 (мин) = 2 ч 22 мин – время для поездки из города А в город В с пересадкой в город М.
3. 2 ч 25 мин > 2 ч 22 мин.

Ответ: выгоднее путь через город М.

№ 18.  Сколько разных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 5, 0, 4? Соглашаешься ли ты с тем, что ответ на вопрос – 18? Сможешь ли ты записать все эти числа?

Решение:

Нет, чисел не 18, а всего 4.

540; 504; 450; 405.

№ 19.  Человек должен перевезти через реку прирученного волка, козу и капусту. Лодка настолько мала, что в ней может поместиться только человек и с ним или волк, или коза, или капуста. Понятно, что козу нельзя оставлять с волком, а капусту с козой. Что делать человеку?

Решение:

1.      Перевозит козу на другой берег.

2.      Возвращается один.

3.      Перевозит капусту на другой берег.

4.      Возвращается с козой.

5.      Оставляет козу и перевозит  на другой берег волка.

6.      Возвращается один.

7.      Перевозит козу на другой берег.

 

 

 

II Действия первой ступени.

№ 20.   Найти сумму корней уравнений

      и          45 – (х + 9) = 14

Решение:

1)                            2) 45 – (х + 9) = 14

х – 11 = 84 – 26                                 х + 9 = 45 – 14

х – 11 = 58                                         х + 9 = 31

х = 58 + 11                                         х = 31 – 9

х = 69                                                 х = 22

3) 69 + 22 = 91

Ответ: 91.

№ 21.        На сколько единиц корень уравнения 29 – (45 – х) = 18 больше, чем корень уравнения 46 – (у – 8) = 27?

Решение:

1.   29 – (45 – х) = 18                   2.         46 – (у – 8) = 27

      45 – х = 29 – 18                                 у – 8 = 46 – 27

      45 – х = 11                                         у – 8 = 19

      х = 45 – 11                                         у = 19 = 8

      х = 34                                                 у = 27

3.   х – у = 34 – 27 = 7

Ответ: 7.

№ 22.        Два брата пошли в школу. Когда они прошли 240 м, старший брат вспомнил, что оставил дома альбом, и возвратился, а младший продолжал свой путь. Старший брат взял альбом и тотчас же пошел в школу. Когда он пришел на то место, с которого возвращался домой, младший брат в это время входил в школу. Какое расстояние от дома до школы? (Скорость движения обоих братьев одинаковая).

Решение:

1.      240 х 3 = 720 (м) – от дома до школы.

Ответ: 720.

№ 23.  В четырех  коробках лежат монеты. В одной из них монеты фальшивые. Требуется одним взвешиванием определить, в какой коробке  монеты фальшивые. Известно, что масса настоящей монеты 10г, а фальшивой – 9 г. Чтобы найти ответ, из первой коробки взяли 1 монету, из второй 2, из третьей 3, а из четвертой – 4 монеты. Суммарная масса всех монет оказалась 97 г. В какой коробке были фальшивые монеты? Объясни, почему такое взвешивание позволяет найти ответ на вопрос.

Решение:

Всего взяли 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (монет).

Если бы все монеты были настоящие, то они должны весить (грамм). Т.к. монеты весят 97 г, то получается, что три монеты фальшивые, т.к. 100–97 =3г Три монеты взяли из третьей коробки, то фальшивые монеты в третьей коробке.

№ 24.        Определи наибольшее число, которое является суммой двух разных трехзначных чисел.

Решение:

1.      999 + 998 = 1997.

Ответ: 1997.

№ 25.        Вычисли: 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + …. + 100 (всего 20 слагаемых)

Решение:

5 + 10 + 15 + 20 + 25 + …. + 100 = (5 + 100) + (10 + 95) + (15 + 90) + (20 + 85) + …… + (50 + 55) = = 1050.

Ответ: 1050.

№ 26.  Как разделить поровну 12 ведер хлебного кваса, налитого в двенадцати ведерную бочку, пользуясь восьми ведерной и пяти-ведерной пустыми бочками? Реши эту головоломку, пользуясь таблицей             12                    8                      5

                                                     4                      8                      0

                                                     4                      3                      5

                                                     9                      3                      0

                                                     9                      0                      3

                                                     1                      8                      3

                                                     1                      6                      5

                                                     6                      6                      0

Решение:

Из таблицы ясно, как переливался квас. Покажем это с помощью стрелок – указателей.

12-8

12                         8                      5

8-5

4                           8                      0

5+4

4                           3                      5

3-3

9                           3                      0

9-8

9                           0                      3

8-2

1                           8                      3

1+5

1                           6                      5

6                           6                      0

№ 27.        Замени звёздочки цифрами:

                             

34* 7 6        * 59*               ****                * 5 4 8

*71 8 *      12 *47               7834                1 2 * 6

Решение:

                            

   34276        7591                4089               1548

   77181     12047                7834               1276

№ 28.  Запиши пропущенное число:

         23457                          43777                          ******

+   *****                     +  *****                      +    34541

 2793                          25333                              2509       

  48976                          99999                          143478

Решение:

         23457                          43777                          106429

+   22726                     +  30889                      +    34541

 2793                          25333                              2509       

  48976                          99999                          143478

№ 29.  Чтобы определить массу слона, верблюда и жирафа, осел поставил их всех на весы. Их общая масса оказалась 6 т 160 кг. Когда на весах остался верблюд и жираф, весы показали 11 ц 51 кг. Когда на весах остался только жираф, его масс была 475кг. Определи массу слона и верблюда.

Решение:

1.      6 т 160 кг = 6160 кг

2.      11 ц 51 кг = 1151 кг

3.      6160 – 1151 = 5009 кг = 5 т 9 кг – масса слона

4.      1151 – 475 = 676 (кг) – масса верблюда.

Ответ: 5 т 9 кг;  676 кг.

№ 30.  Сколько градусов содержит угол, если он составляет;

а) прямого угла

б)развернутого угла

в)прямого угла

г)развернутого угла

Решение:

а)     

б)

в)

г)

Ответ: 45⁰; 60⁰; 30⁰;  45⁰.

№ 31.  Часы показывают 12ч. Через какое время угол между стрелками будет:

а) острым;

б) тупым?

Решение:

Если считать, что циферблат имеет шкалу минут, то острый угол между стрелками будет через 1 мин, а тупой через 16 мин.

Ответ: 1 мин; 16 мин.

№ 32.  Начерти два тупых угла у которых одна сторона общая, а две другие образуют прямой угол.

Решение:

 

ВАД и САД – тупые с общей стороной АД

ВАС – прямой.

№ 33. На сторонах прямого угла отложи отрезки 3а и 4а, концы этих отрезков соедини. Измерь длину третьей стороны треугольника.

Решение:

АС=3а

ВС=4а

АВ=5а

Ответ: 5а.

№ 34.   Сумма длин первой и второй сторон треугольника 25 см, сумма длин первой и третьей – 27 см, а сумма длин второй и третьей 30 см. Найти периметр треугольника и длину каждой стороны.

Решение:

Пусть длина одной стороны треугольника а см, второй – в см, а третьей – с см. Тогда а + в = 25, а + с = 27; в + с = 30.

1) Найдем            а + в + а + с = 25 + 27 = 52 (см)

                             2а + в + с = 52 (см), но в + с = 30 (см).

Значит 2а = 52 – 30 = 22 (см), и а = 11 (см).

2) в = 25 – 11 = 14 (см)

3)  с = 27 – 11 = 16 (см).

Ответ: 11 см; 14 см; 16 см.

№ 35.  Одна сторона треугольника в 2 раза длиннее второй, а третья сторона равна 17 см. Периметр треугольника 44 см. Определи неизвестные стороны треугольника.

Решение:

1.      44 – 17 = 27 (см) – длина двух сторон треугольника.

2.      Пусть одна сторона треугольника х см, тогда другая 2х см. Мы знаем, что их сумма равна 27 см. Составляем уравнение:        х + 2х = 27

х = 9 (см) – одна сторона треугольника.

3.       (см) – вторая сторона треугольника.

Ответ: 9 см; 18 см.

№ 36.  Могут ли данные отрезки быть сторонами треугольника?

а)   5 см; 8 см; 7 см.                    в) 3 см; 6 см; 10 см.

б) 10 см; 4 см; 6 см.                   г) 6 см; 7 см; 7 см.

Решение:

Мы знаем, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Для решения задачи достаточно проверить это утверждение беря за третью сторону большую сторону треугольника.

а) 8 < 5 + 7           – могут (треугольник существует);

б) 10 = 6 + 4         – треугольник не существует;

в) 10 > 3 + 6         - треугольник не существует;

г) 7 < 6 + 7           - могут (треугольник существует).

Ответ: а) – да; б) – нет; в) – нет; г) – да.

№ 37.  Одна сторона треугольника 12 см, вторая 8 см. Какие значения может принимать третья сторона треугольника?

Решение:

Пусть третья сторона треугольника х см. Тогда х < 8 + 12, но 12 < 8 + х.

Получили 4 < х < 20.

Ответ: 4 < х < 20.

№ 38.  Десятилитровый бидон наполнен водой. Как с помощью семилитрового и трехлитрового пустых бидонов отмерить 5 литров воды.

Решение:

Решим задачу с помощь таблицы.

                                  10                                    7                                     3

                                  10                                    0                                     0

                                   1                                     6                                     3  

                                   1                                     7                                     2  

                                   8                                     0                                     2  

                                   8                                     2                                     0

                                   5                                     2                                     3

№ 39.        В 5 маленьких и 2 больших коробках 48 карандашей, а в 3 маленьких и  2 больших коробках – 36 карандашей. Сколько карандашей в маленьких коробках?

Решение:

1.      5 – 3 = 2 (кор) настолько в первом  случае больше маленьких коробок.

2.      48 – 36 = 12 (кар) – в двух маленьких коробках.

3.      12 : 2 = 6 кар.

Ответ: 6.

№ 40.   На одну чашу весов положили два кирпича, а на другую, чтобы уравновесить весы – полкирпича и гирю 3 кг. Сколько весит один кирпич.

Решение:

Пусть масса одного кирпича Х кг. На одной чашке весов находится 2 кирпича, т.е. 2х кг, а на другой гиря в 3 кг и полкирпича, т.е.  3 + 0,5х. Т.к. весы находятся в равновесии, то составляем уравнение:          2х = 3 + 0,5х

                                                         1,5 х = 3

                                                         х = 2 (кг)

Ответ: 2 кг.

№ 41.  Масса 10 слив равна массе 3 яблок и 1 груши. Масса 2 слив и 1 яблока такая же, как масса 1 груши. Сколько слив нужно взять, чтобы их масса равнялась массе 1 груши?

Решение:

По условию задачи можно записать следующее равенство?

10 сл = 1 гр + 3 яб                                            10 сл = 3 яб + 2 сл + 1 яб

1 гр = 2 сл + 1 яб.,                        т.е.                            8 сл = 4 яб      

                                                                                       1 яб = 2 сл

Значит 1 гр = 2 сл + 2 сл = 4 сл.

Ответ: 4.

№ 42.  Наташа, Оля, Тарас и Миша пришли на новогодний бал в маскарадных костюмах Лисички, Зайчика, Грибочка и Снежинки. В костюме Снежинки была одна из девочек, но не Оля. Тара не был ни в костюме Лисички, ни в костюме Зайчика. Миша тоже не был в костюме Лисички. В каких костюмах были Наташа, Оля, Тарас и Миша?

Решение:

Решим задачу с помощью таблицы.

	Костюмы
	Лисички	Зайчика	Грибочка	Снежинки
Наташа	нет	нет	нет	да
Оля	да	нет	нет	нет
Тарас	нет	нет	да	нет
Миша	нет	да	нет	нет

№ 43.  Антоненко, Третяк, Василюк и Грицюк живут в одном городе. Один из них тракторист, второй – портной, третий – шофер, четвертый – строитель. Однажды шофер пришел к своему другу строителю, чтобы посоветоваться, как строить гараж, но ему сказали, что строитель помогает Третяку ремонтировать ограду. Известно, что Василюк любит играть со строителем в шахматы, а Грицюк и строитель умеет управлять трактором, а Василюк с трактористом избраны членами родительского комитета школы, в которой учатся их дети. Определи профессию каждого, если Грицюк никогда не садился за руль автомобиля.

Решение:

	тракторист	портной	шофер	строитель
Антоненко	нет	нет	нет	да
Третяк	нет	да	нет	нет
Василюк	нет	нет	да	нет
Грицюк	да	нет	нет	нет

 

Умножение и деление.

 

№ 44.  Как с помощью чашечки весов и гирь 50 г и 200г взвесить трижды по 2 кг крупы, если всего крупы 9 кг?

Решение:

1.      С помощью чашечки весов развесить 9 кг по 4,5 кг (кг)

2.      С помощью чашечки весов развесить каждые 4,5 кг по 2,25 кг ()

3.      С помощью гирь 200г и 50г (250г) отвесить из каждых 2,25 кг по 250 г. Муки в каждой части останется по 2 кг.

1.      (кг).

2.       (кг).

3.      2,25 – 0,25 = 2 (кг).

№ 45.  Сто кур съедают за 100 дней 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 кур за 10 дней?

Решение:

1.      = 1 кг зерна в день съедают сто кур.

2.      = 10 г зерна в день съедает 1 курица.

3.      = 100 г в день съедает 10 кур.

4.      = 1000 г = 1 кг зерна съедают 10 кур за 10 дней.

Ответ: 1 кг.

№ 46. Сколькими нулями оканчивается произведение первых 15-ти натуральных чисел?

Решение:

Произведение оканчивается нулем или:

а) один из множителей оканчивается нулем;

б) есть множитель оканчивающийся на 5 и четный множитель.

В произведении первых 15 чисел такие ситуации встречаются 3 раза. Значит произведение оканчивается тремя нулями.

Ответ: три нуля.

№ 47.        Сколькими нулями заканчивается произведение натуральных чисел от 1 до25.

Решение:

Рассуждения аналогичные как в №277*.

Произведения заканчиваются 5 нулями.

Ответ: 5 нулей.

№ 48. Какие числа нужно написать вместо звездочек, чтобы получить правильный результат:

а)                  б)                     в)

          2*                          3*                              2*

        *40                     1* 08                         16 2*          

                                             

    * 2**                   1*5 **                         *1 00

Решение:

а)                  б)                      в)

         25                          34                              25

       640                      1708                          1620           

                                               

    3200                    14518                          7100

№ 49.  Двухзначное число оканчивается цифрой 3. Если это число прибавить к числу, записанному теми же цифрами, но в обратной порядке, то получим 55. Найди двухзначное число.

Решение:

Обозначим неизвестную цифру двухзначного числа через а. Тогда, следуя условию задачи, имеем,            а 3

                            ⁺3 а,                  отсюда,           а = 5 – 3 = 2

                              55

Значит двухзначное число 23.

Ответ: 23.

№ 50.  Начерти несколько прямоугольников с периметром 16 см. Сколько существует прямоугольников с таким периметром? Можно ли догадаться, какой из них имеет наибольшую площадь?

Решение:

Если считать, что длины сторон прямоугольника содержат целое количество сантиметров, то прямоугольников с периметром 16 см четыре. Это прямоугольник со сторонами 1 см и 7 см; 2 см и 6 см; 3 см и 5 см; 4 см и 4 см (квадрат). Наибольшее произведение этих чисел 16 (). Значит, наибольшую площадь имеет квадрат.

Ответ: 4 прямоугольника.

№ 51.  Начерти несколько разных прямоугольников с площадью 36 см². Сколько существует прямоугольников с такой площадью? Можно ли догадаться, у какого из них наименьший периметр?

Решение:

Площадь 36 см² имеют прямоугольники со сторонами: 2 см и 18 см; 1 см и 36 см; 3 см и 12 см; 4 см и 9 см; 6 см и 6 см (квадрат), т.к.

= 36                        = 36                              = 36

= 36                        = 36

Наименьший периметр имеет квадрат, т.к. 6 + 6 < 4 + 9 < 3 + 12 < 2 + 18 < 1 + 36 (полупериметры).

Ответ: 5 прямоугольников.

2. Дробные числа и действия над ними.

Обыкновенные дроби.

№ 52.  Пирог массой 600 г разрежь на куски так, чтобы можно было раздать его твоим друзьям поровну,  причем тебе заранее не известно, сколько их будет – трое или четверо.

Решение:

Т.к. пирог должен делится на троих или на четверых, то он должен делится на двенадцать. Значит, пирог нужно заранее разрезать на 12 кусков и если гостей будет трое, то каждый получит  по 4 куска, а если гостей будет четверо, то каждый получит  по 3 куска.

Ответ: 12 частей.

№ 53.  Два кирпича обычной форсы изготовлены из одного материала. Масса одного из них 5 кг. Какова масса второго кирпича, если все его размеры в 5 раз меньше.

Решение:

Т.к. кирпичи сделаны из одного материала, то нужно сравнить их объемы. Пусть размеры большого кирпича Х, У и Ζ, тогда размеры меньшего кирпича Х; У и Ζ. Найдем их объемы:

1.      V₁ = ХУΖ – объем первого кирпича;

2.      V₂ = Х _* У _* Ζ – объем второго кирпича;

3.      = ХУΖ  ХУΖ = 125 (раз) – первый кирпич тяжелее второго.

4.      = 0,04 (кг) – весит второй кирпич;  0,04 (кг) = 40г.

Ответ: 40г.

№ 54.  Какими числами можно заменить буквы а и в, чтобы образованное равенство было верным:

а)  = в +                                                            б)  = в +

Решение:

а)  = в +                                                            б)  = в +

а = 10 в + 3                                                                   а = 12 в + 7

Ответ:        а) а = 10в + 3;       

                    б) а = 12 в + 7.

№ 55.  Найди число, после деления которого на 12 в частном будет 7, а в остатке 6.

Решение:

Пусть искомое число Х, тогда Х 12 = 7 (ост. 6) и Х = 12 _*7 + 6;  Х = 90.

Ответ: 90.

№ 56.   Найди число, при делении которого на 17 в частном будет 12, а в остатке 7.

Решение:

1. Х  17 = 12 (ост 7)         Х = 1712 + 7                    Х = 211.

Ответ: 211.

№ 57.  Найди наименьшее число, при делении которого на 19 остаток будет 9.

Решение:

Т.к. мы ищем наименьшее число, то частное тоже наименьшее, т.е. 1.

Значит                  Х 19 = 1 (ост 9)

                             Х = 19 + 9

                             Х = 28

Ответ: 28.

№ 58.  Найди наибольшее двухзначное число, при делении которого на 11 остаток будет 3.

Решение:

Путь искомое число Х, тогда  = а + , где а – частное. Значит Х = 11а + 3, т.к. Х – двухзначное число, то а – однозначное. Рассмотрим частное как самое большое однозначное  число – 9, получим:  Х = 11 _* 9 + 3 + 102, на 102 – трехзначное число, значит, а  9. Рассмотрим частное  равное 8.  Х = 11 _* 8 + 3 = 91.    91 – двухзначное  число.

Ответ: 91.

№ 59.   На XXV летних Олимпийских играх в Барселоне спортсмены Украины завоевали 40 медалей. Серебряных медалей завоевали на 5 больше, чем бронзовых, а золотых на 3 больше, чем серебряных. Сколько золотых, серебряных и бронзовых медалей получили спортсмены Украины? Какую часть составляют золотые, серебряные и бронзовые медали от всех полученных?

Решение:

Пусть спортсмены Украины завоевали Х бронзовых медалей, тогда серебряных завоевали Х + 5 медалей, а золотых Х + 5 + 3 = Х + 8 медалей. По условию задачи всего завоевано 40 медалей. Составив уравнение:

Х + Х + 5 + 8 = 40

3Х + 13 = 40

3Х = 27

Х = 9 (м) – бронзовых.

2.        9 + 5 = 14 (м) – серебряных

3.        14 + 3 = 17 (м) – золотых.

4.        Т.к. всего завоевано 40 медалей, то одна медаль составляет часть. Значит, бронзовые медали составляют - , серебряные - , а золотые -  всех медалей.

Ответ: 17; 14; 9; , , .

№ 60.  Сколько раз:

а) объем, равный см³, содержится в объеме, равном 2 см³;

б) дм³ содержится в 1 дм³, в 3 дм³?

Решение:

а) 2   = 4 (р)

б) 1 = 5 (р)

    3   = 15 (р)

Ответ: 4; 5; 15.

№ 61.   Запиши дробь, которая больше 7/9, но меньше 8/9. Знаменатель дроби – однозначное число.

Решение:

Приведем данные дроби к знаменателю 18. Получим =  и  = .  Дробь  больше , т.е. , но меньше , т.е. .

 <  <

Сократим эту дробь.  = . Знаменатель дроби  однозначное число.

Ответ: .

№ 62.   В одном хозяйстве средняя урожайность озимой пшеницы на 10ц больше средней урожайности ржи. Найди урожайность озимой пшеницы и ржи, если с 7га собрали столько пшеницы, сколько ржи в 9га.

Решение:

Пусть урожайность ржи Х ц, тогда урожайность пшеницы Х + 10ц. Значит, с 7га  собрали (Х + 10) _* 7ц пшеницы. По условию задачи с 7 га собрали столько пшеницы, сколько ржи с 9 га. Составим уравнение:

                  (Х = 10) _* 7 = 9Х

                  7Х + 70 = 9Х

                  2Х =  70

                  Х = 35ц – урожайность ржи.

2.      35 + 10 = 45ц – урожайность пшеницы.

Ответ: 45; 35.

№ 63.  Что больше – четверть четверти 256 или половина 64?

Решение:

1.      2564 = 64 – четверть 256.

2.      644 = 16 -  четверть четверти 256.

3.      642 = 32 – половина 64.

4.      322 = 16 – половина половины 64.

5.      16 = 16.

Ответ: равны.

№ 64.        Как изменится значение дроби, если ее числитель увеличить на знаменатель.

Решение:

Пусть дана дробь , увеличим ее числитель на знаменатель. Получим =1+. Значит, данная дробь увеличится на 1.

Ответ: увеличится на 1.

№ 65.        Как изменится значение правильной дроби, если ее числитель и знаменатель увеличить на 1, на 2?

Решение:

Пусть дана дробь , где  а< в, т.к. дробь правильная. Прибавим к числителю и знаменателю дроби 1, получим . Найдем разность дробей

 -  = = , т.к. в > а, то >0, значит >.

Во втором случае рассуждения аналогичные.

Ответ: дробь увеличится.

№ 66.        Как разделить пять яблок между шестью учениками поровну так, чтобы каждое яблоко разрезать не больше, чем на три части?

Решение:

1.      56 =  яблока должен получить каждый ученик.

2.      + = .

Значит три яблока нужно разрезать на две части, а два яблока на три части и дать ученику  яблока и  яблока.

Ответ: два  яблока разрезать на 3 части, а три яблока на 2 части.

№ 67. Найди о полсотни половину, от четверти четверть, от трети треть.

Решение:

Полсотни это 50                          

Четверть – 25                             

Треть 33                                 

Ответ: 25; 6_,  11.

№ 68. Водитель автобуса включил радиоприемник и проехал половину этого пути, который он проехал без музыки. Какую часть всего пути  автобус ехал под музыку?

Решение:

 

АД = ДВ.

1.      ВС = АВ.,    тогда АД = ДВ = ВС ,     АС = 3 ВС.,    т.е. ВС =  АС.

Ответ: .

V. Десятичные дроби.

№ 69.        В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВД (отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны). Найди ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50м, а треугольника АВД – 40м.

Решение:

 

Пусть АВ = ВС = а (м), а АС = в (м)

Тогда 2 а + в = 50 и а + в +m = 40,

где ВД = m.

Или 2 а + в = 50, то а + в  = 25, значит

25 + m = 40 и m = 15.

Ответ: 15.

№ 70.        Из двух пунктов А и В  отправились в пункт М прямолинейными маршрутами два почтальона.  Расстояние АМ, которое прошел первый почтальон, равен 2,8 км, расстояние ВМ, которое прошел второй почтальон – 1,4 км. Каким может  быть расстояние АВ?

Решение:

1. 2,8 + 1,4 = 4,2 (км), значит АВ4,2.   АВ = 4,2, если пункты А, М и В лежат на одной прямой, во всех остальных случаях АВ < 4,2.

Ответ:  АВ4,2.  

№71.         На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка, сумма расстояний от которой до вершин треугольника наименьшая. Найди эту сумму, если АВ = 9 см, ВС=АС=7,5 см.

Решение:

Пусть на стороне АВ отметили точку Д. Т.к. Д лежит на стороне АВ, то сумма расстояний от точки Д до вершин треугольника зависит только от расстояния СД.

АД + ВД + СД = АВ + СД = 9 + СД.

Чтобы эта сумма была наименьшей, расстояние СД должно быть наименьшим. Следовательно, СД _┴ АВ. Тогда СД = 6 (см), а АД + ВД + СД = 9 + 6 = 15 (см).

Ответ: 15.

№72.         Найди на сторонах треугольника АВС такие точки M и N, чтобы расстояние между ними было наибольшим. АВ = 4,2 см; ВС = 5,2 см; АС = 4,8 см.

Решение:

Точки M и N лежат соответственно на

сторонах АВ и АС и точка М совпадает с В, а

точка N  совпадает с С.

Ответ: MN = 5,2 см.

№73.         Задумай любое число, умножь его на 2, к произведению прибавь  заданное число в = 16. Полученную сумму раздели на 2 и из частного вычти задуманное число. В результате  получишь 7,5. Составь формулу для вычисления результата.

Решение: при в = 16, результат 7,5 не получишь. Данный результат получится: при в = 15. Формула для вычисления выглядит так:

(2Х + 15)2 – Х = 7,5

№74.  Найди и сравни площади и периметры прямоугольников АВСД, если:

а) АВ = 1,2 м                              ВС = 1,8 м

б) АВ = 1,5 м                              ВС = 1,5 м

в) АВ = 1,3 м                              ВС = 1,7 м

г) АВ = 1,1 м                               ВС = 1,9 м

Решение:

а) P₁ = 2(1,2 + 1,8) = 6 (м)

    S₁ = 1,2 _* 1,8 = 2,16 (м²)

б) P₂ = (1,5 + 1,5) _* 2 = 6 (м)

    S₂ = 1,5 _* 1,5 = 2,25 (м²)

в) P₃ = 2 (1,3 + 1,7) = 6 (м)

    S₃ = 1,3 _* 1,7 = 2,21 (м²)

г) P₄ = 2 (1,1 + 1,9) = 6 (м)

    S₄ = 1,1 _* 1,9 = 2,09 (м²)

P₁ = P₂ = P₃ = P₄                          S₂ > S₃ > S₁ > S₄

Ответ: Р = 6 м; S₁ = 2,16 м²;   S₂ = 2,25 м²;   S₃ = 2,21 м²;   S₄ = 2,09 м².

 Комбинированные задачи и упражнения.

№ 75.        Какие числа удовлетворяют такие равенства:

а)   38, 4 _* х = 38,4 _* х                              г)  1,05 _* х =  1,05 _* х

б) 12,4 _* х = 12,4 _* х                               д)  х _* 0,5 = 0,6 _* х

в) 1,5 + х = 1,05 _* х

Решение:

а)   38, 4 _* х = 38,4 _* х                  х - любое

б) 12,4 _* х = 12,4 _* х                   х - любое

в) 1,5 + х = 1,05 _* х                   

      0,5 х = 1,5                              х = 3.

г)  1,05 _* х =  1,05 _* х                  х - любое

д)  х _* 0,5 = 0,6 _* х

      0,1 х = 0                                 х = 0.

№ 76.  В одном бидоне в 3,5 раза больше молока, чем во втором. Если из первого бидона перелить 10,5л молока во второй, то в обоих бидонах молока станет поровну. Сколько молока в каждом бидоне.

Решение:

Пусть во втором бидоне Х л молока, тогда в первом бидоне 3,5 Х л молока. Если из первого бидона перелить во второй 10,5 л, то в бидонах станет: (3,5 Х – 10,5) л – в первом и  (Х + 10,5) л – во втором. По условию задачи молока в бидонах стало поровну. Составим уравнение:           3,5 Х – 10,5 = Х + 10,5

                             2,5 Х = 21

Х = 8,4 (л)                  – во втором бидоне.

2.         8,4 _* 3,5 = 29,4 (л)     – в первом бидоне.

Ответ: 29,4; 8,4.

№ 77.  Полный бидон с молоком весит 35 кг, бидон, заполненный на половину, весит 17,75 кг. Какова масса бидона?

Решение:

Пусть пустой бидон весит в кг, а масса молока m кг, тогда

в + m = 35   и  m + в = 17,75.

Значит  m = 17,25

m = 34,5 (кг), следовательно в = 0,5 (кг).

Ответ: 0,5.

№ 78.  Найди наибольшее и наименьшее расстояние между двумя точками, принадлежащими сторонам  разностороннего треугольника АВС.

Решение:

Наибольшее расстояние – длина большей стороны, а наименьшее расстояние –это расстояние между точками приближенными к вершине, лежащей против меньшей стороны.

№ 79.  Как расположены города Тернополь, Хмельницкий и Винница, если протяженность воздушных линий Тернополь – Хмельницкий – 82,5 км, Тернополь- Винница – 157,5 км, Хмельницкий – Винница – 75 км?

Решение:

1.      82,5 + 75 = 157,5. Значит города расположены на одной прямой.

№80.  Расстояние между точками А и В равно 6. Найди на прямой АВ все такие точки, сумма расстояний от которых до точек А и В равна 8.

Решение:

 

АВ = 6 см            АС = 7 см                  АС + ВС = 8 см

ВС = 1 см            ВС = 1 см

АВ = 6 см            ВД = 7 см                  АД + ВД = 8 см

АД = 1 см            АД = 1 см

№ 81.  Точка К – середина отрезка АВ. Существуют ли на прямой АВ такие точки М, что МА + МВ = 2 МК? Сколько таких точек.

Решение:

 

                                                                                               М АВ

 

                                                                                   М  АВ

Пусть точка М принадлежит отрезку АВ (рис.1), т.е. находится между точками А и В, то АМ + МВ = АВ, но АВ = 2 АК.   Т.к. и М лежит между точками А и В, а точка К – середина отрезка АВ, то точка М  лежит между А и К или между К и В. Пусть точка М лежит  между А и К.  Значит, МК < АК, а т.к. АМ + МВ = 2 АК, то АМ + МВ2 МК. Значит точка М не может лежать между точками А и В.

Пусть точка М не лежит между А и В (рис. 2). Тогда МВ = 2 АК + МА. Прибавим к обеим частям этого  равенства МА. Получим МВ + МА = 2 МА + 2 АК, но МА + АК = МК. Следовательно, МВ + МН = 2 МК.

Т.е. для любой точки М не лежащей между А и В данное условие будет выполняться и таких точек бесконечное множество.

№ 82.  Расстояние между точками А и В 9 см. Найди на прямой АВ все такие точки М, для которых:

а)   МВ – МА = 2 см

б)  МВ + МА = 9 см

в) МВ + МА = 10 см

Решение:

М   АВ                                                                                     М є  АВ

 

Пусть отрезок  АМ равен Х см, тогда:

а) 9 + х – х ≠ 2 Таких точек нет	а) 9 - х – х = 2 2 х = 7 х = 3,5 Таких точек две, находятся на расстоянии 3,5 см либо от точки А, либо от точки В.
б) 9 + х + х ≠  9 Таких точек нет	9 - х + х =  9 9 = 9 х – любое М – любая точка отрезка АВ
в) 9 + х + х = 10     2х = 1     х = 0,5 Таких точек две. Они находятся на расстоянии 0,5 см либо от точки А, либо от точки В.	9 -  х + х ≠  10 Таких точек нет

      №83.  Длина одной стороны равнобедренного треугольника 4,6 см, а второй – 10 см. Определи третью сторону и периметр этого треугольника.

Решение:

Т.к. длина стороны треугольника меньше суммы двух других сторон, то третья сторона равна 10 см.

Р = 10 _* 2 + 4,6 = 24,6 (см).

Ответ: 10; 24,6.

№ 84.  Длина одной стороны равнобедренного треугольника 4,6 см, а второй – 9 см. Определи третью сторону и периметр треугольника.

Решение:

Рассуждая аналогично предыдущей задачи, делаем вывод, что задача имеет два решения. Т.е. третья сторона может быть и 4,6 см и 9 см, т.к.

4,6 < 4,6 + 9                                9 <  4,6 + 4,6

Р₁ = 22,6                                      Р₂ = 18,2

Ответ:     1) 4,6; 18,2.

                  2) 9;  22,6.

№ 85. В землю забиты три колышка А, В и С. Расстояние от А до В и С соответственно равны 4,8 см и ?.2 см. Хватит ли проволоки длиной 1,6 см, чтобы натянуть ее между колышками В и С?

Решение:

7,2 > 4,8 + 1,6, значит, треугольника АВС не существует (со сторонами 4,8 см; 7,2 см; 1,6 см) и эти точки не лежат на одной прямой. Значит, проволоки не хватит

Ответ: нет.

№86.   Начерти три прямые так, чтобы они разделили плоскость на:

а) семь областей;

б) шесть областей.

Решение:

№ 87.  Какая площадь больше: прямоугольника со сторонами 5 см и 4 см, квадрата со стороной 4,5 см или равностороннего треугольника, основание и высота которого соответственно равны 6 см и 5,2 см? Сравни периметры этих фигур?

Решение:

1.      5 _* 4 = 2- (см²)                       – площадь прямоугольника;

2.      4,5 _* 4,5 = 20,25 (см²)           – площадь квадрата;

3.      6 _* 5,2 _* 0,5 = 15,6 (см²)        – площадь треугольника;

4.      (4 + 5) _* 2 = 18 (см)              – периметр прямоугольника;

5.      4,5 _* 4 = 18 (см)                     – периметр квадрата;

6.      6 _* 3 = 18 (см)                       – периметр треугольника.

Ответ: больше площадь квадрата, периметры фигур  равны.

Краткое описание документа:

В средней школе математику изучают с 1-го по 11-ый класс. Уроков за это время проводится много. Разумеется, каждый ученик должен хорошо усваивать всё то, что излагает учитель, тщательно выполнять все задания. Но на практике не всё так гладко. Для успешного изучения математики необходимы ещё и самостоятельная творческая работа, и сознательное отношение к изучению этого трудного предмета.

Самое интересное в математике – это, пожалуй, задачи. Вместе с тем, это и самое трудное. Не случайно решению задач в школе отводится не менее 2/3 учебного времени. Однако не всегда это время используется достаточно эффективно, особенно в 5^х – 6^х классах, где закладываются основы математического мышления. Упражнения, решаемые учениками, зачастую ограниченны одной темой, направлены на отработку одного правила, и в итоге многие ученики плохо справляются даже с несложными задачами, требующими знания нескольких тем. Ограниченность круга задач, их “однотемность” не способствуют воспитанию интереса к математике, что в свою очередь отрицательно влияет на изучение математики в старших классах. Расширить круг решаемых упражнений можно в первую очередь за счёт нестандартных задач, задач повышенной трудности, имеющихся в учебнике. Их следует предлагать не только “избранному” кругу школьников, но и всем учащимся 5^х – 6^х классов, привлекая их к осмысленному творческому труду.