Общие подходы к решению экономической задачи ЕГЭ профильного уровня по математике.

Общие подходы к решению экономической задачи ЕГЭ профильного уровня по математике.

Кадырова Фарида Задитовна, старший преподаватель Приволжского межрегионального центра повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования КФУ, ведущий эксперт республиканской предметной комиссии  по математике, к.п.н

"Ум заключается не только в знании,

но и в умении прилагать знания на деле."

Аристотель

             Важнейшую роль в  развитии личности и общества  в целом играет образование и именно образование является одним из основных средств утверждения более глубокой и гармоничной формы развития человечества. Одним из важнейших  задач  современной школы является не только формирование и развитие у ученика предметных универсальных учебных действий, а воспитание  социально адаптированного делового человека, компетентного в сфере социально-трудовой деятельности, а также в бытовой сфере. Сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.

            В настоящее время потребительские кредиты, кредитные карты, автокредиты, ипотека, вклады, банковские карты и другие финансовые услуги очень распространены и играет важную роль в экономике страны и каждой семьи. Практически каждая семья сталкивается оформлением  кредита для каких либо нужд, будь это покупка товара, улучшение жилищных условий, поездка на отдых, оплата обучения и.т.д.

            С 2015 года в структуре КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня появилась задача 17-экономического содержания. Предлагаемый материал демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства; ориентирует учащихся на обучение по естественно - научному и социально- экономическому профилю.

            Результаты показывают, что выпускникам  не легко даются задания такого плана, при выполнении которых необходимо разобраться в виде платежа, составить необходимую модель для решения и произвести безошибочные вычисления. Задание 17 в основную волну ЕГЭ (профильный уровень) 2017 года представляло задачу на кредиты. На максимальное количество баллов решили данную задачу чуть больше 17% приступивших к выполнению задачи. Основные ошибки, допущенные участниками экзамена:  неверное составление модели;  вычислительные (арифметические) ошибки;  прекращение решения на промежуточном шаге, то есть без доведения ответа до числового значения;  решение методом перебора без обоснования единственности;  использование в решении без вывода формул для задач о кредитовании, отсутствующих в учебниках (решение имеет вид «формула – ответ»), что можно трактовать как отсутствие построения модели задачи. Приведем критерии оценки 17 задания.

Содержание критерия
Обоснованно по­лу­чен пра­виль­ный ответ.	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: — неверный ответ из-за вычислительной ошибки; — верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено	1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.	0
Максимальный балл	3

Термин «задача с экономическим содержанием» предполагает присутствие в формулировке экономических терминов, а ее решение требует составления математической модели экономического процесса. Учащиеся  должны верно определит тип задачи и составить модель для решения. Ниже рассмотрим задачи  аннуитетного платежа (аннуитетный платеж это  вариант ежемесячного платежа по кредиту, когда размер ежемесячного платежа остается постоянным на всем периоде кредитования) Существуют различные способы решения задач такого типа. Для начала запишем необходимые данные для решения.

Задание 17. Задание повышенного уровня сложности на использование приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задача связанная с банковскими кредитами, оптимизацией производства или затрат на него. При  решении задачи важны умения анализировать реальные числовые данные, осуществлять практические расчеты по формулам, использовать оценки и прикидки при проведении расчетов.

Пусть размер кредита  S.

Процент банка равен а%, а ежегодная выплата по кредиту равна Х.

Тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы X размер долга равен:

S( 1+0,01а ) - X.

Обозначим    р= 1+ 0,01а.

Тогда через два года размер долга составит: (Sр – X)р-X

Через три года: ((Sр – X)р-X)р – X.

Через четыре года (((Sр – X)р-X))р – X)р – X.

...через  n   лет   Sр^п- X(р^п-1+….р³+р²+р+1).

При составлении математической модели для решения задачи  необходимо все данные расписывать.

 Далее рассмотрим решение задач данного типа в общем виде. Суть метода состоит в том, что путем преобразований буквенного выражения математическая модель упрощается, что позволяет сократить время на вычисления.

Задача 1.  Рассмотрим задачу , экономического содержания, которая представлена авторами составителями контрольных измерительных материалов.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

 Задача решается в общем виде, но когда начинаются вычисления, очень сложно представить сколько времени на все эти действия может потратить выпускник и при этом не допустить вычислительную ошибку.  На экзамене каждая минута дорога, если учителя будут придерживаться данному решению и будут учить выпускников выполнять такие вычисления, то вряд ли выпускник успеет решить последующие задания. Здесь выпускнику необходимо применить регулятивные универсальные учебные действия ,  оценить все возможные подходы к решению задачи и выбрать самый оптимальный способ решения. 

После составления модели задачи понятно, что требуются большие вычислительные раскладки, поэтому р=1,125 лучше записать в виде дроби, как , тем самым  получим выражение

После выполнения сокращения дроби приходим к ответу 2296350.

Ответ: 2296350.

Рассмотрим следующий пример.

Задача 2. Саша и Паша положили по 100 тыс. руб. в банк под 10% годовых сроком на три года. При этом Паша через год снял n тыс. руб. (n – целое число), а еще через год снова доложил n тыс. руб. на свой счет. При каком наименьшем значении n через три года разность между суммами на счету Саши и Паши окажется не менее 3 тыс. руб. (источник: https://reshimvse.com/zadacha.php?id=12898)

Решим данную задачу в общем виде:

S -  сумма вклада, , n -   сумма денег, которую Саша снял через год, а потом  еще через год доложил.

За три года у Саши будет следующая сумма -  Sp³, а у Паши ((Sp-n)p+n)p = Sp³-np²+np. По условию задачи составим неравенство: Sp³ - ( Sp³-np²+np)≥ 3 ,  np²-np ≥ 3 ,

 np(p-1)≥3, подставив значение р, получим 0,11n ≥ 3 ,   . Следовательно, Ответ: 28 тыс.рублей.

Задача 3. В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Источник:  http://mathexam.ru

Приведем решение данной задачи в общем виде.

Пусть X (рублей) - сумма ежегодного платежа, когда кредит будет погашен 4 равными платежами и  Y (рублей) - размер ежегодного платежа. когда кредит был погашен 2 равными платежами. Следовательно, мы должны ответить на вопрос: Чему равен 4Х-2Y. Так как , а , то

В полученную модель задачи подставим значения и вычислим (как правило, числа в числителе и в знаменателе дроби сокращаются, поэтому по возможности упрощаем данное выражение, потом только вычисляем)

Ответ: 950 400.

Задача 4.  В январе 2018 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;

− с июля по декабрь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Решение: Пусть сумма кредита S ежегодные выплаты x₁ и х₂,

 По условию задачи составим систему уравнений в общем виде:

 

Перепишем систему равнений в следующем виде

Разделим почленно одно уравнение на другое, получим: . Отсюда: ,   подставим вместо x₁ и х₂ значения: ,  

Решая данное уравнение получим    , т.к  , то

К сожалению во время проверки были работы, которые были решены только до этого момента, по критериям такая работа  оценивается только в один балл, так как считается, что решение до конца не доведено. Чтобы получить максимальные три балла необходимо найти r.

 Следовательно,   

Ответ: 10.

Задача 5. Коля и Саша положили на депозит одинаковые суммы под 12% годовых. Через год сразу после начисления процентов Коля снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Саша, наоборот, через год доложил на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов снял со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?

Ответ :1344

Решение: Так как сумма депозита, процентная ставка и сумма денег, котораа была положена или снята обоими людьми одинакова, то составим следующую модель, для этой задачи.

У Саши сумма денег через три года: ((Sр +X)р - X)р = Sp³+Xp²-Xp

У Коли сумма денег через три года: ((Sр -X)р +X)р = Sp³-Xp²+Xp, так как необходимо найти разность во вкладах из первого выражения вычтем второе , получим:

2Xp²-2Xp=2Xp(p-1),  подставим значения в полученную модель

Ответ: 1344

            С каждым годом в КИМ ЕГЭ количество заданий, для решения которых необходимо анализировать текст и находить рациональный способ решения (задачи с "ловушками") становится все больше. Чего касается и 17 задания, вряд ли на экзамене будет задание на прямое применение изученных формул. Чтобы решить задачу, выпускнику необходимо понять суть задачи, что требуется найти и с помощью каких формул можно составить модель для ее решения.  В данной работе были рассмотрены лишь несколько примеров, очевидно, подходы к их решению значительно  упрощают весь процесс выполнения такой работы (решения экономических задач , аннуитентный платеж).