ОГЭ, математика. Промежуточное тестирование

Задание 21(ответы)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
(2; −5).	(-∞; -0,75] ∪ [3; +∞).	−1; −2; 3.	2,4.		(2; -5).		(-6;-5)

1. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний 

Решение.

Выразим  из пер­во­го урав­не­ния и под­ста­вим во второе, пред­ва­ри­тель­но умно­жив обе его части на 15:

Ответ: (2; −5).

2. Решите не­ра­вен­ство  

Решение.

Перенесём две части не­ра­вен­ства в одну часть и из­ба­вим­ся от знаменателя: при­рав­ня­ем левую часть к нулю и найдём корни. От­сю­да  и  Рас­ста­вив корни на ко­ор­ди­нат­ной прямой, опре­де­лим знаки неравенства, получаем:  и 

Ответ: (-∞; -0,75] ∪ [3; +∞).

3. Решите уравнение 

Решение.

Преобразуем уравнение:

откуда x = −1, x = −2 или x = 3.

Ответ: −1; −2; 3.

4. Упростите выражение:   .

Решение.

Имеем:

Ответ: 2,4.

5. Решите си­сте­му неравенств 

Решение.

Решим пер­вое неравенство системы:

Выражение  все­гда больше нуля по­это­му данное не­ра­вен­ство эквивалентно не­ра­вен­ству 

Решим вто­рое неравенство:

Пересекая ре­ше­ния обоих неравенств, получим, что ре­ше­ние системы от­ре­зок 

Ответ: 

Примечание.

Можно сразу заметить, что в знаменателе первого выражения стоит квадрат числа плюс положительное число, значит, знаменатель всегда больше нуля.

6. Решите си­сте­му урав­не­ний  

Решение.

Подставим  во вто­рое урав­не­ние системы, по­лу­чим урав­не­ние от­но­си­тель­но . От­сю­да . Под­ста­вим  в урав­не­ние , получим: 

Ответ: (2; -5).

7. Какое из чисел больше:  или  ?

Решение.

Найдем квад­ра­ты чисел:

;

.

Так как , то .
Учитывая, что  и  — положительные числа, получаем, что

.

Ответ: .

8. Решите си­сте­му неравенств  

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: (-6;-5)

9. Решите уравнение:   

Решение.

Перенесем все члены урав­не­ния в левую часть и вы­не­сем    за скобки:

  или  

Решая квад­рат­ное уравнение, находим:    или  

Ответ:  

10. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Решение.

Раскроем скоб­ки и решим неравенство:

Произведение двух со­мно­жи­те­лей будет боль­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют оди­на­ко­вый знак (см. рисунок). Таким образом, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ: 

Задание 21

1.       Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний 

2.       Решите не­ра­вен­ство  

3.       Решите уравнение

 

4.       Упростите выражение:

  .

5.       Решите си­сте­му неравенств

 

6.       Решите си­сте­му урав­не­ний

  

7.       Какое из чисел больше:

  или  ?

8. Решите си­сте­му неравенств

  

9. Решите уравнение:

  

10. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

 

Задание 21

1.       Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний 

2.       Решите не­ра­вен­ство  

3.       Решите уравнение

 

4.       Упростите выражение:

  .

5.       Решите си­сте­му неравенств

 

6.       Решите си­сте­му урав­не­ний

  

7.       Какое из чисел больше:

  или  ?

8. Решите си­сте­му неравенств

  

9. Решите уравнение:

  

10. Ре­ши­те не­ра­вен­ство

 

Задание 22(ответы)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
6,3	288		10	34	90	70	86	12	7

1. Ры­бо­лов про­плыл на лодке от при­ста­ни не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем бро­сил якорь, 2 часа ловил рыбу и вер­нул­ся об­рат­но через 5 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от при­ста­ни он от­плыл, если ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 5 км/ч?

Решение.

Пусть S км — расстояние, на ко­то­рое от при­ста­ни от­плы­л рыболов. Зная, что ско­рость те­че­ния реки — 2 км/ч, а ско­рость лодки — 5 км/ч, найдём, что время, за ко­то­рое он про­плы­л туда и об­рат­но, со­став­ля­ет  Учитывая, что он был на сто­ян­ке 2 часа и вер­ну­лся через 5 часов после от­плы­тия можно со­ста­вить уравнение:

Отсюда S = 6,3 км.

Ответ: 6,3 км.

2. Свежие фрук­ты со­дер­жат 80% воды, а вы­су­шен­ные — 28%. Сколь­ко тре­бу­ет­ся све­жих фрук­тов для при­го­тов­ле­ния 80 кг вы­су­шен­ных фруктов?

Решение.

Заметим, что сухая часть све­жих фрук­тов со­став­ля­ет 20%, а вы­су­шен­ных — 72%. Значит, для при­го­тов­ле­ния 80 кг вы­су­шен­ных фрук­тов тре­бу­ет­ся  кг свежих.

Ответ: 288 кг.

3. При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 30%, и вто­ро­го рас­тво­ра этой же кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 50%, по­лу­чи­ли рас­твор, со­дер­жа­щий 45% кис­ло­ты. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

Решение.

Пусть пер­вый рас­твор взят в ко­ли­че­стве x грамм, тогда он со­дер­жит 0,3x грамм чи­стой кислоты, а вто­рой рас­твор взят в ко­ли­че­стве y грамм, тогда он со­дер­жит 0,5y грамм чи­стой кислоты. При сме­ши­ва­нии двух этих рас­тво­ров по­лу­чит­ся рас­твор мас­сой x + y грамм, по усло­вию задачи, он со­дер­жит 0,45(x + y) чи­стой кислоты. Следовательно, можно со­ста­вить уравнение:

Выразим x через y:

Следовательно, отношение, в ко­то­ром были взяты растворы:

Ответ: 

4. Первая труба про­пус­ка­ет на 2 литра воды в ми­ну­ту меньше, чем вторая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объёмом 130 лит­ров она за­пол­ня­ет на 4 ми­ну­ты быстрее, чем пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объёмом 136 литров?

Решение.

Пусть вто­рая труба про­пус­ка­ет  лит­ров воды в минуту, тогда пер­вая труба про­пус­ка­ет литра в минуту. Вто­рая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объёмом 130 лит­ров за  минут. По­сколь­ку пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объёмом 136 лит­ров за  минут, что по усло­вию за­да­чи на 4 ми­ну­ты больше, чем  по­лу­ча­ем уравнение:

Решим уравнение:

 или 

Отбрасывая по­сто­рон­нее ре­ше­ние −6,5, получаем, что вто­рая труба про­пус­ка­ет 10 лит­ров в минуту.

Ответ: 10 лит­ров в минуту.

5. Найдите целое число, если из двух сле­ду­ю­щих утверждений верно толь­ко одно: 1) ; 2) .

Решение.

Если верно пер­вое утверждение, то верно и второе. Это про­ти­во­ре­чит тому, что верно толь­ко одно из двух дан­ных утверждений. Следовательно, верно вто­рое утверждение, а пер­вое неверно. Получаем, что . Этому не­ра­вен­ству удовлетворяет един­ствен­ное целое число: .

Ответ: 34.

6. На пост гу­бер­на­то­ра об­ла­сти пре­тен­до­ва­ло три кан­ди­да­та: Гав­ри­лов, Дмит­ри­ев, Его­ров. Во время вы­бо­ров за Дмит­ри­е­ва было от­да­но в 3 раза мень­ше го­ло­сов, чем за Гав­ри­ло­ва, а за Его­ро­ва — в 9 раз боль­ше, чем за Гав­ри­ло­ва и Дмит­ри­е­ва вме­сте. Сколь­ко про­цен­тов го­ло­сов было от­да­но за по­бе­ди­те­ля?

Решение.

Заметим, что по­бе­ди­те­лем на вы­бо­рах ока­жет­ся Егоров. Пусть ко­ли­че­ство голосов, от­дан­ных за Его­ро­ва равно . Тогда за Гав­ри­ло­ва и Дмит­ри­е­ва вме­сте от­да­ли . Про­цент голосов, от­дан­ных за Его­ро­ва 

Ответ: 90%.

7. Пер­вые 425 км ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 85 км/ч, сле­ду­ю­щие 325 км — со ско­ро­стью 65 км/ч, а по­след­ние 300 км — со ско­ро­стью 60 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути.

Решение.

Средняя ско­рость — это расстояние, разделённое на время движения. Пер­вый от­ре­зок пути ав­то­мо­биль про­ехал за 425/85 = 5 часов, вто­рой — за 325/65 = 5 часов, тре­тий — за 300/60 = 5 часов. Сред­няя ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути со­ста­ви­ла 

Ответ: 70.

8. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 248 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 4 раза боль­ше, чем пер­вая и на 5 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

Решение.

Пусть  — число деталей, из­го­тов­лен­ных вто­рой бригадой, тогда пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла деталей, а тре­тья —  деталей. Вме­сте три бри­гад из­го­то­ви­ли 248 деталей, со­ста­вим уравнение:

Вторая бри­га­да из­го­то­ви­ла 108 деталей, следовательно, пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла деталей, а тре­тья — 113 деталь. Таким образом, тре­тья бри­га­да из­го­то­ви­ла на 113 − 27 = 86 де­та­лей больше.

Ответ: 86.

9. Ту­ри­сты про­плы­ли на лодке от ла­ге­ря не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем при­ча­ли­ли к бе­ре­гу и, по­гу­ляв 3 часа, вер­ну­лись об­рат­но через 6 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от ла­ге­ря они от­плы­ли, если ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 9 км/ч?

Решение.

Пусть S км — расстояние, на ко­то­рое от ла­ге­ря от­плы­ли туристы. Зная, что ско­рость те­че­ния реки — 3 км/ч, а ско­рость лодки — 9 км/ч, найдём, что время, за ко­то­рое они про­плы­ли туда и об­рат­но, со­став­ля­ет  Учитывая, что они были на сто­ян­ке 3 часа и вер­ну­лись через 6 часов после от­плы­тия можно со­ста­вить уравнение:

Отсюда S = 12 км.

Ответ: 12 км.

10. Кролик утверждает, что вчера Винни-Пух съел не менее 9 ба­но­чек мёда, Пя­та­чок — что не менее 8 баночек, ослик Иа — что не менее 7. Сколь­ко баночек мёда съел вчера Винни-Пух, если из трех этих утвер­жде­ний истинно толь­ко одно?

Решение.

Если прав Кролик, то правы и Пятачок, и Иа, а этого не может быть, т.к. ис­тин­но только одно утверждение. Аналогично: если прав Пятачок, то Иа тоже прав, по­лу­чи­ли два ис­тин­ных утверждения, а долж­но быть толь­ко одно. Значит, во-первых, Пя­та­чок неправ, и Пух съел менее 8 баночек. Во-вторых, прав может быть толь­ко Иа, по­то­му что один из них дол­жен быть прав. Следовательно, Пух съел не менее 7 баночек. Един­ствен­ное целое число, ко­то­рое не мень­ше 7, но мень­ше 8 — это число 7.

Ответ: 7.

Задание 22

1. Ры­бо­лов про­плыл на лодке от при­ста­ни не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем бро­сил якорь, 2 часа ловил рыбу и вер­нул­ся об­рат­но через 5 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от при­ста­ни он от­плыл, если ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 5 км/ч?

2. Свежие фрук­ты со­дер­жат 80% воды, а вы­су­шен­ные — 28%. Сколь­ко тре­бу­ет­ся све­жих фрук­тов для при­го­тов­ле­ния 80 кг вы­су­шен­ных фруктов?

3. При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 30%, и вто­ро­го рас­тво­ра этой же кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 50%, по­лу­чи­ли рас­твор, со­дер­жа­щий 45% кис­ло­ты. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

4. Первая труба про­пус­ка­ет на 2 литра воды в ми­ну­ту меньше, чем вторая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объёмом 130 лит­ров она за­пол­ня­ет на 4 ми­ну­ты быстрее, чем пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объёмом 136 литров?

5. Найдите целое число, если из двух сле­ду­ю­щих утверждений верно толь­ко одно: 1) ; 2) .

6. На пост гу­бер­на­то­ра об­ла­сти пре­тен­до­ва­ло три кан­ди­да­та: Гав­ри­лов, Дмит­ри­ев, Его­ров. Во время вы­бо­ров за Дмит­ри­е­ва было от­да­но в 3 раза мень­ше го­ло­сов, чем за Гав­ри­ло­ва, а за Его­ро­ва — в 9 раз боль­ше, чем за Гав­ри­ло­ва и Дмит­ри­е­ва вме­сте. Сколь­ко про­цен­тов го­ло­сов было от­да­но за по­бе­ди­те­ля?

7. Пер­вые 425 км ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 85 км/ч, сле­ду­ю­щие 325 км — со ско­ро­стью 65 км/ч, а по­след­ние 300 км — со ско­ро­стью 60 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути.

8. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 248 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 4 раза боль­ше, чем пер­вая и на 5 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

9. Ту­ри­сты про­плы­ли на лодке от ла­ге­ря не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем при­ча­ли­ли к бе­ре­гу и, по­гу­ляв 3 часа, вер­ну­лись об­рат­но через 6 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от ла­ге­ря они от­плы­ли, если ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 9 км/ч?

10. Кролик утверждает, что вчера Винни-Пух съел не менее 9 ба­но­чек мёда, Пя­та­чок — что не менее 8 баночек, ослик Иа — что не менее 7. Сколь­ко баночек мёда съел вчера Винни-Пух, если из трех этих утвер­жде­ний истинно толь­ко одно?

Задание 22

1. Ры­бо­лов про­плыл на лодке от при­ста­ни не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем бро­сил якорь, 2 часа ловил рыбу и вер­нул­ся об­рат­но через 5 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от при­ста­ни он от­плыл, если ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 5 км/ч?

2. Свежие фрук­ты со­дер­жат 80% воды, а вы­су­шен­ные — 28%. Сколь­ко тре­бу­ет­ся све­жих фрук­тов для при­го­тов­ле­ния 80 кг вы­су­шен­ных фруктов?

3. При сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 30%, и вто­ро­го рас­тво­ра этой же кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 50%, по­лу­чи­ли рас­твор, со­дер­жа­щий 45% кис­ло­ты. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый и вто­рой рас­тво­ры?

4. Первая труба про­пус­ка­ет на 2 литра воды в ми­ну­ту меньше, чем вторая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объёмом 130 лит­ров она за­пол­ня­ет на 4 ми­ну­ты быстрее, чем пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объёмом 136 литров?

5. Найдите целое число, если из двух сле­ду­ю­щих утверждений верно толь­ко одно: 1) ; 2) .

6. На пост гу­бер­на­то­ра об­ла­сти пре­тен­до­ва­ло три кан­ди­да­та: Гав­ри­лов, Дмит­ри­ев, Его­ров. Во время вы­бо­ров за Дмит­ри­е­ва было от­да­но в 3 раза мень­ше го­ло­сов, чем за Гав­ри­ло­ва, а за Его­ро­ва — в 9 раз боль­ше, чем за Гав­ри­ло­ва и Дмит­ри­е­ва вме­сте. Сколь­ко про­цен­тов го­ло­сов было от­да­но за по­бе­ди­те­ля?

7. Пер­вые 425 км ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 85 км/ч, сле­ду­ю­щие 325 км — со ско­ро­стью 65 км/ч, а по­след­ние 300 км — со ско­ро­стью 60 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути.

8. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 248 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 4 раза боль­ше, чем пер­вая и на 5 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

9. Ту­ри­сты про­плы­ли на лодке от ла­ге­ря не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем при­ча­ли­ли к бе­ре­гу и, по­гу­ляв 3 часа, вер­ну­лись об­рат­но через 6 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от ла­ге­ря они от­плы­ли, если ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 9 км/ч?

10. Кролик утверждает, что вчера Винни-Пух съел не менее 9 ба­но­чек мёда, Пя­та­чок — что не менее 8 баночек, ослик Иа — что не менее 7. Сколь­ко баночек мёда съел вчера Винни-Пух, если из трех этих утвер­жде­ний истинно толь­ко одно?

Задание 23(ответы)

1. Постройте гра­фик функ­ции  и определите, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Решение.

Преобразуем выражение:

 при условии, что 

Построим график:

Прямая  имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку при  и при 

Ответ: −4; −3.

2. Постройте гра­фик функ­ции  и определите, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет c гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Решение.

Упростим выражение:

График ис­ход­ной функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции  с вы­ко­ло­той точ­кой 

Этот гра­фик изображён на рисунке:

Пря­мая  будет иметь с гра­фи­ком одну общую точку, если пройдёт через вы­ко­ло­тую точку. Тогда  и урав­не­ние пря­мой при­мет вид: 

Ответ: 

3. Постройте гра­фик функции

и определите, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

Решение.

Построим гра­фик функ­ции y = x − 3 при x < 4 и гра­фик функ­ции y = x² − 10x + 25 при x ≥ 4.

Прямая y = m имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки при m = 0 и m = 1.

Ответ: 0; 1.

4. При каких зна­че­ни­ях  вер­ши­ны па­ра­бол  и  рас­по­ло­же­ны по одну сто­ро­ну от оси ?

Решение.

Координата  вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние параболы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по одну сто­ро­ну от оси , если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин од­но­вре­мен­но боль­ше или мень­ше нуля. Таким образом, за­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию со­во­куп­но­сти двух си­стем неравенств:

 или 

Решим первую систему:

Второе урав­не­ние дан­ной си­сте­мы не имеет решений, левая часть мень­ше нуля при любых зна­че­ни­ях  Сле­до­ва­тель­но и вся си­сте­ма не имеет решений.

Решим вто­рую систему, пре­об­ра­зо­ва­ния в ней ана­ло­гич­ны первой, по­это­му можем сразу записать:

В этой си­сте­ме вто­рое неравенство, напротив, верно при любых . Таким образом, за­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию неравенства:

Произведение мень­ше нуля в том случае, когда со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. рисунок). Таким образом, ре­ше­ние вто­рой си­сте­мы неравенств:

Ответ: 

Примечание.

Координату  па­ра­бо­лы можно найти по фор­му­ле 

5. Постройте гра­фик функ­ции

и определите, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

Решение.

По­стро­им гра­фик функ­ции y = 2,5x − 3,5 при x < 2, гра­фик функ­ции y = −3x + 7,5 при 2 ≤ x ≤ 3 и гра­фик функ­ции y = x − 4,5 при x > 3.

Пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки при m = −1,5 и m = 1,5.

Ответ: −1,5; 1,5.

6. Постройте график функции  Определите, при каких значениях kпрямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Преобразуем выражение:  при условии, что 

Построим график:

Прямая y = kx имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку, если она про­хо­дит через точку (−1; −3,25) или если урав­не­ние  имеет один корень. Дис­кри­ми­нант урав­не­ния  равен , и он дол­жен быть равен нулю. Получаем, что k = 3,25, k = −3 и k= 3.

Ответ: 3,25; −3; 3.

7. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки A(0; 4), B(1; 11), C(–5; –1). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

Решение.

Одна из воз­мож­ных форм за­пи­си урав­не­ния па­ра­бо­лы в общем виде вы­гля­дит так:  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­ту  вер­ши­ны па­ра­бо­лы найдётся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние параболы. Таким образом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ко­эф­фи­ци­ен­тов  и  Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты точек, через ко­то­рые про­хо­дит парабола, в урав­не­ние па­ра­бо­лы и по­лу­чим си­сте­му из трёх уравнений:

Найдём ко­ор­ди­на­ты вершины:

Ответ: (−3; −5).

8. Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

Решение.

Преобразуем выражение:

при условии, что  и 

Построим график:

Прямая y = kx не имеет с графиком ни одной общей точки, если она совпадает с осью Ox или если она проходит через точку  или через точку  Получаем, что k = −6,25, k = 0 и k = 6,25.

Ответ: −6,25; 0; 6,25.

9. При каких зна­че­ни­ях  вер­ши­ны па­ра­бол  и  рас­по­ло­же­ны по одну сто­ро­ну от оси ?

Решение.

Координата  вер­ши­ны па­ра­бо­лы опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле  Ко­ор­ди­на­та  вер­ши­ны на­хо­дит­ся под­ста­нов­кой  в урав­не­ние параболы. Вер­ши­ны па­ра­бол будут на­хо­дит­ся по одну сто­ро­ну от оси , если ко­ор­ди­на­ты их вер­шин имеют оди­на­ко­вые знаки. Вспомнив, что два со­мно­жи­те­ля имеют оди­на­ко­вый знак тогда и толь­ко тогда, когда их про­из­ве­де­ние положительно, со­ста­вим и решим неравенство:

Заметим, что вто­рой мно­жи­тель все­гда боль­ше нуля, по­это­му на него можно разделить.

Произведение двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак (см. рисунок). Таким образом, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ: 

Примечание.

Координату  па­ра­бо­лы также можно найти по фор­му­ле 

10. Постройте график функции  Определите, при каких значениях kпрямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Преобразуем выражение:  при условии, что 

Построим график:

Прямая y = kx имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку, если она про­хо­дит через точку (−1; −5) или если урав­не­ние  имеет один корень. Дис­кри­ми­нант урав­не­ния равен , и он дол­жен быть равен нулю. Получаем, что k = 5, k = −4 и k = 4.

Ответ: 5; −4; 4.

Задание 23

1. Постройте гра­фик функ­ции  и определите, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

2. Постройте гра­фик функ­ции  и определите, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет c гра­фи­ком ровно одну общую точку.

3. Постройте гра­фик функции

и определите, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

4. При каких зна­че­ни­ях  вер­ши­ны па­ра­бол  и  рас­по­ло­же­ны по одну сто­ро­ну от оси ?

5. Постройте гра­фик функ­ции

и определите, при каких зна­че­ни­ях m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

6. Постройте график функции  Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

7. Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки A(0; 4), B(1; 11), C(–5; –1). Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.

8. Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

9. При каких зна­че­ни­ях  вер­ши­ны па­ра­бол  и  рас­по­ло­же­ны по одну сто­ро­ну от оси ?

10. Постройте график функции  Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Задание 24(ответы)

1. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 15, а AB = 4.

Решение.

Пусть О — центр окружности. Ра­ди­ус окружности, проведённый в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен касательной. По­это­му тре­уголь­ник OBA — прямоугольный. Найдём OA по тео­ре­ме Пифагора:

Следовательно, длина сто­ро­ны  равна 

Ответ: 16.

2. Найдите пло­щадь вы­пук­ло­го четырёхугольника с диа­го­на­ля­ми 3 и 4, если отрезки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ны его про­ти­во­по­лож­ных сторон, равны.

Решение.

Пусть  — дан­ный четырёхугольник,  — се­ре­ди­на сто­ро­ны  — се­ре­ди­на сто­ро­ны  — се­ре­ди­на сто­ро­ны  — се­ре­ди­на сто­ро­ны . Проведём диа­го­на­ли  и  и от­рез­ки  и , по­сле­до­ва­тель­но со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ны сто­рон четырёхугольника. Тогда, по свой­ству сред­ней линии треугольника, от­рез­ки  и  па­рал­лель­ны диа­го­на­ли  и равны её половине, а от­рез­ки  и  па­рал­лель­ны диа­го­на­ли  и равны её половине. По­это­му  параллелограмм. А так как, по усло­вию задачи, его диа­го­на­ли  и  равны, то  — прямоугольник, и угол  — прямой. От­сю­да следует, что и угол между диа­го­на­ля­ми  и  тоже прямой, и, следовательно, пло­щадь четырёхугольника  будет равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диагоналей, то есть .

Ответ: 6.

3.

Найдите ве­ли­чи­ну угла  , если   — бис­сек­три­са угла  ,   — бис­сек­три­са угла  .

Решение.

Имеем:   = 2 · 25° = 50°;   = 180° − 50° = 130°;   = 130° : 2 = 65°.

Ответ: 65°.

4. В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 56°, угол  равен 64°, . Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка окружности.

Решение.

Угол  тре­уголь­ни­ка  равен  = 180° −  −  = 60°. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен .

Ответ: 3.

5. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.

Решение.

Проведём ра­ди­ус  Пусть R — длина ра­ди­у­са окружности. Заметим, что  По­сколь­ку OB — радиус, проведённый в точку ка­са­ния  Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник по тео­рем Пифагора:

Таким образом, диа­метр окруж­но­сти равен 16.

Ответ: 16.

6.

В тре­уголь­ни­ке АВС углы А и С равны 30° и 50° со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол между вы­со­той ВН и бис­сек­три­сой BD.

Решение.

Из тре­уголь­ни­ка  най­дем 

 — биссектриса, следовательно, 

Треугольник  — прямоугольный, сле­до­ва­тель­но:

Найдём угол 

Ответ: 10°.

7. Найдите бо­ко­вую сто­ро­ну AB тра­пе­ции ABCD, если углы ABC и BCD равны со­от­вет­ствен­но 30° и 120°, а CD = 25.

Решение.

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Проведём вы­со­ты  и  В трапеции сумма смеж­ных углов при бо­ко­вой сто­ро­не равна 180°, по­это­му  Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  найдём сто­ро­ну 

Углы  и  равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Высоты  и  равны. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  найдём 

Ответ: 

8. В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 72°, угол  равен 63°, . Най­ди­те радиус опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка окружности.

Решение.

Угол  тре­уголь­ни­ка  равен  = 180° −  −  = 45°.

Радиус опи­сан­ной окружности равен .

Ответ: 2.

9. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8,4, а AB = 4.

Решение.

Пусть О — центр окружности. Ра­ди­ус окружности, проведённый в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен касательной. По­это­му тре­уголь­ник OBA — прямоугольный. Найдём OA по тео­ре­ме Пифагора:

Следовательно, длина сто­ро­ны  равна 

Ответ: 10.

10. Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны  ,  и 1 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC, причём от­ре­зок KC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если ∠KAC>90° .

Решение.

Рассмотрим по­доб­ные тре­уголь­ни­ки  и  и уста­но­вим со­от­вет­ствие между их углами. Про­тив боль­шей сто­ро­ны все­гда лежит боль­ший угол, в тре­уголь­ни­ке  это угол  в тре­уголь­ни­ке , в свою очередь, есть тупой угол  и он яв­ля­ет­ся наибольшим, зна­чит  Угол  за­ве­до­мо не может быть равен углу  так как он со­став­ля­ет толь­ко его часть. Сле­до­ва­тель­но угол  равен углу 

Найдём ко­си­нус угла  ис­поль­зуя тео­ре­му косинусов:

Ответ: 

Задание 24

1. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 15, а AB = 4.

2. Найдите пло­щадь вы­пук­ло­го четырёхугольника с диа­го­на­ля­ми 3 и 4, если отрезки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ны его про­ти­во­по­лож­ных сторон, равны.

3.

Найдите ве­ли­чи­ну угла  , если   — бис­сек­три­са угла  ,   — бис­сек­три­са угла  .

4. В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 56°, угол  равен 64°, . Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка окружности.

5. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.

6.

В тре­уголь­ни­ке АВС углы А и С равны 30° и 50° со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол между вы­со­той ВН и бис­сек­три­сой BD.

7. Найдите бо­ко­вую сто­ро­ну AB тра­пе­ции ABCD, если углы ABC и BCD равны со­от­вет­ствен­но 30° и 120°, а CD = 25.

8. В тре­уголь­ни­ке  угол  равен 72°, угол  равен 63°, . Най­ди­те радиус опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка окружности.

9. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8,4, а AB = 4.

10. Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны  ,  и 1 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC, причём от­ре­зок KC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если ∠KAC>90° .

Задания 1-5 (ответы)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
20	-1	4	1	2	1	4	1	10	2

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

Ответ: 20

2. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния  

Ответ: -1

3. Площадь тер­ри­то­рии России со­став­ля­ет 1,7 · 10⁷ км², а Германии — 3,6⋅10⁵ км². Во сколь­ко раз пло­щадь территории Рос­сии больше пло­ща­ди территории Германии?

1) примерно в 2,1 раза

2) примерно в 470 раз

3) примерно в 4,7 раза

4) примерно в 47 раз

Ответ: 4

4. Ку­ри­ные яйца в за­ви­си­мо­сти от их массы под­раз­де­ля­ют на пять ка­те­го­рий: выс­шая, от­бор­ная, пер­вая, вто­рая и тре­тья. Ис­поль­зуя дан­ные, пред­став­лен­ные в таб­ли­це, опре­де­ли­те, к какой ка­те­го­рии от­но­сит­ся яйцо, мас­сой 82,2 г.

Категория	Масса од­но­го яйца, не менее, г
Высшая	75,0
Отборная	65,0
Первая	55,0
Вторая	45,0
Третья	35,0

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) Выс­шая

2) От­бор­ная

3) Вто­рая

4) Тре­тья

Ответ: 1

5. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа  и :

Какое из сле­ду­ю­щих чисел наибольшее?

1) 

2) 

3) 

4) 

Ответ: 2

6. На координатной прямой точками отмечены числа 

Какому числу соответствует точка D?

1)

2)

3)

4)

Ответ: 1

7. Какое из сле­ду­ю­щих чисел яв­ля­ет­ся наи­боль­шим?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 1,8·10⁻³

2) 4,7·10⁻⁴

3) 2,9·10⁻⁵

4) 9,5·10 ⁻³

Ответ: 4

8. Какое из данных ниже чисел является значением выражения ?

1)

2)

3)

4) 38

Ответ: 1

9. На графике показано изменение температуры в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов Цельсия нагреется двигатель со 2-й по 3-ю минуту с момента запуска.

Ответ: 10

10. На ри­сун­ке изображен гра­фик полета тела, бро­шен­но­го под углом к горизонту. По вер­ти­каль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся расстояние от земли (в м), по го­ри­зон­таль­ной оси — прой­ден­ный путь (в м). По ри­сун­ку определите, на какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся тело в мо­мент времени, когда оно про­ле­тит 60 метров.

Ответ: 2

Задания 1-5

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

2. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния  

3. Площадь тер­ри­то­рии России со­став­ля­ет 1,7 · 10⁷ км², а Германии — 3,6⋅10⁵ км². Во сколь­ко раз пло­щадь территории Рос­сии больше пло­ща­ди территории Германии?

            1) примерно в 2,1 раза            2) примерно в 470 раз

3) примерно в 4,7 раза            4) примерно в 47 раз

4. Ку­ри­ные яйца в за­ви­си­мо­сти от их массы под­раз­де­ля­ют на пять ка­те­го­рий: выс­шая, от­бор­ная, пер­вая, вто­рая и тре­тья. Ис­поль­зуя дан­ные, пред­став­лен­ные в таб­ли­це, опре­де­ли­те, к какой ка­те­го­рии от­но­сит­ся яйцо, мас­сой 82,2 г. 

Категория	Масса од­но­го яйца, не менее, г
Высшая	75,0
Отборная	65,0
Первая	55,0
Вторая	45,0
Третья	35,0

 В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 1) Выс­шая   2) От­бор­ная    3) Вто­рая      4) Тре­тья

5. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа  и :

 

Какое из сле­ду­ю­щих чисел наибольшее? 

1)        2)        3)          4) 

6. На координатной прямой точками отмечены числа 

Какому числу соответствует точка D?

1)         2)                  3) 4)

7. Какое из сле­ду­ю­щих чисел яв­ля­ет­ся наи­боль­шим?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 1,8·10⁻³                         2) 4,7·10⁻⁴              3) 2,9·10⁻⁵                                      4) 9,5·10 ⁻³

8. Какое из данных ниже чисел является значением выражения ? 

1)

2)

3)

4) 38

9. На графике показано изменение температуры в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов Цельсия нагреется двигатель со 2-й по 3-ю минуту с момента запуска.

10.  На ри­сун­ке изображен гра­фик полета тела, бро­шен­но­го под углом к горизонту. По вер­ти­каль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся расстояние от земли (в м), по го­ри­зон­таль­ной оси — прой­ден­ный путь (в м). По ри­сун­ку определите, на какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся тело в мо­мент времени, когда оно про­ле­тит 60 метров.

 

Задания 11-15(ответы)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
31	521	-10	6	550	1,28	4	4	2,2	4

1. Какое наи­боль­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, можно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была мень­ше 528?

Ответ: 31

2. Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской прогрессии: 1; −5; 25; … Най­ди­те сумму пер­вых 5 её членов.

Ответ: 521

3. Представьте в виде дроби вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  . В ответ за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

Ответ: -10

4. Упростите вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  . В от­ве­те запишите най­ден­ное значение.

Ответ: 6

5. Закон Менделеева-Клапейрона можно за­пи­сать в виде PV = νRT, где P — дав­ле­ние (в паскалях), V — объём (в м³), ν — ко­ли­че­ство вещества (в молях), T — тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах Кельвина), а R — уни­вер­саль­ная газовая постоянная, рав­ная 8,31 Дж/(К⋅моль). Поль­зу­ясь этой формулой, най­ди­те температуру T (в градусах Кельвина), если P = 77698,5 Па, ν = 28,9 моль, V = 1,7 м³.

Ответ: 550

6. Зная длину сво­е­го шага, че­ло­век может приближённо под­счи­тать прой­ден­ное им рас­сто­я­ние s по фор­му­ле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое рас­сто­я­ние прошёл человек, если l = 80 см, n =1600 ? Ответ вы­ра­зи­те в километрах.

Ответ: 1,28

7. Укажите решение системы неравенств 

Ответ: 4

8. На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?

Ответ: 4

9. Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,85 м, а её вы­со­та в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 1,48 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние (в метрах) между ос­но­ва­ни­я­ми стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

Ответ: 2,22

10. Картинка имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 27 см и 43 см. Её на­кле­и­ли на белую бу­ма­гу так, что во­круг кар­тин­ки по­лу­чи­лась белая окан­тов­ка оди­на­ко­вой ширины. Площадь, ко­то­рую за­ни­ма­ет кар­тин­ка с окантовкой, равна 1785 см². Ка­ко­ва ши­ри­на окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ: 4

Задания 11-15

1. Какое наи­боль­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, можно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была мень­ше 528?

2. Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов гео­мет­ри­че­ской прогрессии: 1; −5; 25; … Най­ди­те сумму пер­вых 5 её членов.

3. Представьте в виде дроби вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  . В ответ за­пи­ши­те по­лу­чен­ное число.

4. Упростите вы­ра­же­ние    и най­ди­те его зна­че­ние при  . В от­ве­те запишите най­ден­ное значение.

5. Закон Менделеева-Клапейрона можно за­пи­сать в виде PV = νRT, где P — дав­ле­ние (в паскалях), V — объём (в м³), ν — ко­ли­че­ство вещества (в молях), T — тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах Кельвина), а R — уни­вер­саль­ная газовая постоянная, рав­ная 8,31 Дж/(К⋅моль). Поль­зу­ясь этой формулой, най­ди­те температуру T (в градусах Кельвина), если P = 77698,5 Па, ν = 28,9 моль, V = 1,7 м³.

6. Зная длину сво­е­го шага, че­ло­век может приближённо под­счи­тать прой­ден­ное им рас­сто­я­ние s по фор­му­ле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое рас­сто­я­ние прошёл человек, если l = 80 см, n =1600 ? Ответ вы­ра­зи­те в километрах.

7. Укажите решение системы неравенств 

8. На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?

9.  Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,85 м, а её вы­со­та в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 1,48 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние (в метрах) между ос­но­ва­ни­я­ми стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

  

10.  Картинка имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 27 см и 43 см. Её на­кле­и­ли на белую бу­ма­гу так, что во­круг кар­тин­ки по­лу­чи­лась белая окан­тов­ка оди­на­ко­вой ширины. Площадь, ко­то­рую за­ни­ма­ет кар­тин­ка с окантовкой, равна 1785 см². Ка­ко­ва ши­ри­на окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

Задания 16-20(ответы)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0,8	79	24	161	6	50	0,6	0,8	4	26500

1.

В тре­уголь­ни­ке ABC AB = BC, а вы­со­та AH делит сто­ро­ну BC на от­рез­ки BH = 64 и CH = 16. Най­ди­те cosB.

Ответ: 0,8

2.

Пря­мые m и n параллельны. Най­ди­те ∠3, если ∠1= 19°, ∠2 = 82°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 79

3. Най­ди­те длину хорды окруж­но­сти ра­ди­у­сом 13 см, если рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды равно 5 см. Ответ дайте в см.

Ответ: 24

4. В угол C ве­ли­чи­ной 19° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B, точка O - центр окружности. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 161

5.

В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ния AD и BC равны 6 и 1 соответственно, а её пло­щадь равна 42. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Ответ: 6

6. В пря­мо­уголь­ном треугольнике один из ка­те­тов равен 10, ост­рый угол, при­ле­жа­щий к нему, равен 60°, а ги­по­те­ну­за равна 20. Най­ди­те площадь треугольника, делённую на .

Ответ: 50

7.

Найдите тан­генс угла AOB, изображённого на рисунке.

Ответ: 0,6

8.

На ри­сун­ке изображена тра­пе­ция  . Ис­поль­зуя рисунок, най­ди­те  .

Ответ: 0,8

9. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Каж­дая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка мень­ше раз­но­сти двух дру­гих сторон.

2) В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке име­ет­ся не более двух рав­ных углов.

3) Если сто­ро­на и угол од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­не и углу дру­го­го треугольника, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

4) В тре­уголь­ни­ке ABC, для ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, угол C наименьший.

Ответ: 4

10. В фирме «Родник» сто­и­мость (в рублях) ко­лод­ца из же­ле­зо­бе­тон­ных колец рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле  , где n — число колец, уста­нов­лен­ных при рытье колодца. Поль­зу­ясь этой формулой, рас­счи­тай­те сто­и­мость ко­лод­ца из 5 колец.

Ответ: 26500

Задания 16-20

1.В тре­уголь­ни­ке ABC AB = BC, а вы­со­та AH делит сто­ро­ну BC на от­рез­ки BH = 64 и CH = 16. Най­ди­те cosB.

 

2.Пря­мые m и n параллельны. Най­ди­те ∠3, если ∠1= 19°, ∠2 = 82°. Ответ дайте в градусах.

 

3.  Най­ди­те длину хорды окруж­но­сти ра­ди­у­сом 13 см, если рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды равно 5 см. Ответ дайте в см.

4.  В угол C ве­ли­чи­ной 19° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B, точка O - центр окружности. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

5.В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ния AD и BC равны 6 и 1 соответственно, а её пло­щадь равна 42. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

6. В пря­мо­уголь­ном треугольнике один из ка­те­тов равен 10, ост­рый угол, при­ле­жа­щий к нему, равен 60°, а ги­по­те­ну­за равна 20. Най­ди­те площадь треугольника, делённую на .

7.Найдите тан­генс угла AOB, изображённого на рисунке.

 

8.На ри­сун­ке изображена тра­пе­ция  . Ис­поль­зуя рисунок, най­ди­те  .

9. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

            1) Каж­дая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка мень­ше раз­но­сти двух дру­гих сторон.

2) В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке име­ет­ся не более двух рав­ных углов.

3) Если сто­ро­на и угол од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­не и углу дру­го­го треугольника, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

4) В тре­уголь­ни­ке ABC, для ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, угол C наименьший.

10. В фирме «Родник» сто­и­мость (в рублях) ко­лод­ца из же­ле­зо­бе­тон­ных колец рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле  , где n — число колец, уста­нов­лен­ных при рытье колодца. Поль­зу­ясь этой формулой, рас­счи­тай­те сто­и­мость ко­лод­ца из 5 колец.

Задания 6-10(ответы)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
23	20	50	75	4	34	4	0,81	132	12

1. Най­ди­те корни урав­не­ния 

Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Ответ: 23

2. Решите урав­не­ние 

Ответ: 20

3. Альбом, ко­то­рый стоил 120 рублей, продаётся с 25%-ой скидкой. При по­куп­ке 5 таких аль­бо­мов по­ку­па­тель отдал кас­си­ру 500 рублей. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен получить?

Ответ: 50

4. На пост пред­се­да­те­ля школьного со­ве­та претендовали два кандидата. В го­ло­со­ва­нии приняли уча­стие 120 человек. Го­ло­са между кан­ди­да­та­ми распределились в от­но­ше­нии 3:5. Сколь­ко голосов по­лу­чил победитель?

Ответ: 75

5. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в какао, мо­лоч­ном шоколаде, фа­со­ли и сушёных белых грибах. Опре­де­ли­те по диаграмме, в каком про­дук­те со­дер­жа­ние бел­ков пре­вы­ша­ет 30%.

*К про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные вещества.

1) какао 2) шо­ко­лад 3) фа­соль 4) грибы

Ответ: 4

6. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира.

Пользуясь диаграммой, укажите, какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны.

1) Алжир вхо­дит в семёрку круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии стран мира.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Бра­зи­лии со­став­ля­ет 8,7 млн км².

3) Пло­щадь Ка­на­ды боль­ше пло­ща­ди Австралии.

4) Пло­щадь Ав­стра­лии боль­ше пло­ща­ди Индии на 4,4 млн км².

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без пробелов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных символов.

Ответ: 34

7. В таб­ли­це пред­став­ле­ны ре­зуль­та­ты четырёх стрел­ков, по­ка­зан­ные ими на тре­ни­ров­ке.

Номер стрелка	Число выстрелов	Число попаданий
1	42	28
2	70	20
3	54	45
4	46	42

Тре­нер решил по­слать на со­рев­но­ва­ния того стрел­ка, у ко­то­ро­го от­но­си­тель­ная ча­сто­та по­па­да­ний выше. Кого из стрел­ков вы­бе­рет тре­нер? Ука­жи­те в от­ве­те его номер.

Ответ: 4

8. Ве­ро­ят­ность того, что новая ша­ри­ко­вая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет одну такую ручку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что эта ручка пишет хо­ро­шо.

Ответ: 0,81

9. Установите со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и формулами, ко­то­рые их задают.

Формулы

1)

2)

3)

Графики

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

А	Б	В

Ответ: 132

10.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y = f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.­

1) f(x) < 0 при x < 1

2) Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 3

3) f(0) > f(4)

Если от­ве­тов не­сколь­ко, за­пи­ши­те их в по­ряд­ке воз­рас­та­ния

Ответ: 12

Задания 6-10

1. Най­ди­те корни урав­не­ния 

Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

2. Решите урав­не­ние 

3. Альбом, ко­то­рый стоил 120 рублей, продаётся с 25%-ой скидкой. При по­куп­ке 5 таких аль­бо­мов по­ку­па­тель отдал кас­си­ру 500 рублей. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен получить?

4. На пост пред­се­да­те­ля школьного со­ве­та претендовали два кандидата. В го­ло­со­ва­нии приняли уча­стие 120 человек. Го­ло­са между кан­ди­да­та­ми распределились в от­но­ше­нии 3:5. Сколь­ко голосов по­лу­чил победитель?

5. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в какао, мо­лоч­ном шоколаде, фа­со­ли и сушёных белых грибах. Опре­де­ли­те по диаграмме, в каком про­дук­те со­дер­жа­ние бел­ков пре­вы­ша­ет 30%.

*К про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные вещества.

 1) какао 2) шо­ко­лад 3) фа­соль 4) грибы

8. Ве­ро­ят­ность того, что новая ша­ри­ко­вая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет одну такую ручку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что эта ручка пишет хо­ро­шо.

6. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны семь круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии (в млн км²) стран мира.

Пользуясь диаграммой, укажите, какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны.

1) Алжир вхо­дит в семёрку круп­ней­ших по пло­ща­ди тер­ри­то­рии стран мира.

2) Пло­щадь тер­ри­то­рии Бра­зи­лии со­став­ля­ет 8,7 млн км².

3) Пло­щадь Ка­на­ды боль­ше пло­ща­ди Австралии.

4) Пло­щадь Ав­стра­лии боль­ше пло­ща­ди Индии на 4,4 млн км².

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без пробелов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных символов.

7. В таб­ли­це пред­став­ле­ны ре­зуль­та­ты четырёх стрел­ков, по­ка­зан­ные ими на тре­ни­ров­ке.

Номер стрелка	Число выстрелов	Число попаданий
1	42	28
2	70	20
3	54	45
4	46	42

 Тре­нер решил по­слать на со­рев­но­ва­ния того стрел­ка, у ко­то­ро­го от­но­си­тель­ная ча­сто­та по­па­да­ний выше. Кого из стрел­ков вы­бе­рет тре­нер? Ука­жи­те в от­ве­те его номер.

9. Установите со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и формулами, ко­то­рые их задают.

Формулы

1)

2)

3)

Графики

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

А	Б	В

10.На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции y = f(x).

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний о дан­ной функ­ции не­вер­ны? За­пи­ши­те их но­ме­ра.­

            1) f(x) < 0 при x < 1

2) Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно 3                3) f(0) > f(4)

Если от­ве­тов не­сколь­ко, за­пи­ши­те их в по­ряд­ке воз­рас­та­ния

Задания рассчитаны на проверку знаний учащихся при подготовке к ОГЭ по математике. Распечатываются на одном листе, с обратной стороны печатаются бланки ответов (дан фрагмент). Заполняется учащимися в соответствии с требованиями.