Олимпиадные задачи 5 класс

Олимпиадные задания по математике для 5 и 6 класса

Задача 1 :
На книжной полке можно разместить либо 25 одинаковых толстых книг, либо 45 тонких книг.
Можно ли разместить на этой полке 20 толстых книг и 9 тонких книг?

Решение :
1 шаг. Заметим, что и 25 и 45 делятся на 5
25 : 5 = 5(к) толстых
45 : 5 = 9 (к) тонких
2 шаг обратить внимание на то, что 5 толстых книг занимает столько же места сколько 9 тонких
3 шаг вывод на 20 толстых книг и 9 тонких - места хватит.

Задача 2 :

Имеются двое песочных часов: на 3 минуты и на 7 минут.
Яйцо варится 11 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

Решение :

Перевернуть обои часы. Когда пройдёт 3 минуты в семиминутных часах останется 4 минуты.
Поставьте яйца в это время вариться.
Когда 4 минуты закончатся, перевернуть семиминутные часы обратно 4 + 7 + 11 мин.

Задача 3 :

В ящике лежат шары: 5 красных, 7 синих и 1 зелёный.
Сколько шаров надо вынуть, чтобы достать два шара одного цвета?

Решение :

подумайте сколько всего шаров различных цветов можно достать не повторяясь
Ответ: надо вынуть 4 шара.

Задача 4 :

Известно, что P - 2 = Q + 2 = X - 3 = Y + 4 = Z - 5.
Найти самое маленькое из них.

Решение :

В каждом случае Р уменьшили на 2, чтобы сравнять с остальными числами и т.д. В ходе дальнейших рассуждений видим, что Y увеличили на 4, т.е. оно было самым маленьким.

Задача 5 :

Двум парам молодоженов нужно переправиться на другой берег.
Для этого имеется двуместная лодка, но сложность состоит в том, что молодые жены отказались оставаться в обществе незнакомого мужчины без своего мужа.
Как осуществить переправу всех четверых, соблюдая это условие?

Решение :

М1 М2
М1
Ж1 Ж2
Ж1
М1 Ж1
От

Задача

У филателиста Васи большое количество марок.
Однажды он решил разместить их в большом альбоме, состоящем из 1000 страниц, так, чтобы на всех заполненных страницах марок было поровну (какие-то страницы в конце альбома могут остаться пустыми).
Но когда Боря попробовал раскладывать по 7 марок на странице, то у него 5 марок осталось (но не все страницы были заполнены).
Тогда он стал раскладывать сначала по 11 марок на странице, затем – по 13 марок на странице.
Но снова у него оба раза осталось 5 марок.
Наконец, когда Боря решил разложить по 23 марки на странице, то на этот раз у него осталось 6 марок.
Сколько марок в коллекции у Васи?

---

Решение задачи

Пусть у Васи х марок.
Согласно условию х – 5 делится на 7, на 11 и на 13.
Следовательно, поскольку 7,11 и 13 – простые числа,
то х – 5 делится на их произведение, т. е. на 7 • 11 • 13 = 1001.
Поэтому х – 5 = 1001k для некоторого натурального k, откуда х = 1001k +5 .
Далее, согласно условию х – 6 делится на 23.
Поэтому х – 6 = 23m для некоторого натурального m.
В результате, получим 1001k – 1 =23m.
Остается только найти натуральные k и m, удовлетворяющие этому равенству.
При этом, поскольку согласно условию
х/7<1000 и, значит, х<7000,
то достаточно рассмотреть k = 1,2,..., 6.
Нетрудно убедиться, что только при k = 2
из уравнения получится натуральное значение m = 87.
Поэтому находим единственное значение х = 1001•2 + 5 = 2007.

ответ: за 5 переездов.

Задания для школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике 2009г.

5 класс (90 минут)

1 . Расставьте   скобки, чтобы получилось верное равенство:

35-15*104-1428:14=5

2 . Решите ребус

А

+   ББ

+     А

--------

ССС

3. Как разрезать блинчик тремя прямыми линиями на 4;5;6;7 частей.

4.  У пятерых крестьян –  Ивана, Петра, Якова, Михея и Гаврилы было 10 овец. Не могли они найти пастуха и решили пасти по очереди: по столько дней, по сколько овец у каждого. Известно, что у Ивана овец было вдвое меньше, чем у Петра, у Якова в два раза меньше, чем у Ивана, Михей имеет овец вдвое больше, чем  Яков, а Гаврила –  вчетверо меньше, чем Пётр. Смекни-ка, по сколько дней следует пасти овец каждый

Задания для школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике 2009г.

6 класс (90 минут)

 1. Восстановить недостающие цифры:

*1*

X

3*2

---------

*3*

3*2*

*2*5

---------------

1*8*30

2. Саша заметил, что когда он ехал в школу на автобусе, а возвращался на троллейбусе, то на весь путь было затрачено 35 минут. Когда же он туда и обратно ехал на автобусе, затратил – 40 минут. Сколько времени потратит Саша на путь в школу и обратно, если будет ехать на троллейбусе?

3. Разрежьте изображённую фигуру на 2 одинаковые части.

4.   На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, ромб, круг и квадрат. Цвета этих фигур – зелёный, жёлтый, синий, красный. В каком порядке лежат фигуры и каков цвет каждой из них, если фигура красного цвета лежит между зелёной и синей (они её соседи), справа от жёлтой фигуры лежит ромб, круг лежит правее  треугольника и ромба, причём треугольник лежит не с краю, и, наконец, фигура синего цвета не лежит рядом с фигурой жёлтого цвета?

Олимпиадные задания для 5 класса  олимпиада

Задача 1

Инженер ежедневно приезжал на станцию в одно и то же время, и в то же время за ним подъезжала машина, на которой он ехал на завод.
Однажды инженер приехал на станцию на 55 мин раньше обычного.
Сразу пошел навстречу машине и приехал на завод на 10 мин раньше, чем обычно.
Во сколько раз скорость инженера меньше скорости машины?

Решение задачи 1

За 10 мин машина проходит путь, равный двойному расстоянию от станции до места встречи инженера с машиной.
Значит, путь от станции до места встречи машина проходит за 5 мин.
На месте встречи машина была за 5 мин до времени обычного приезда инженера на станцию, значит, путь от станции до места встречи инженер шел 55 мин - 5 мин = 50 мин.
Следовательно, скорость инженера в 50 : 5 = 10 раз меньше скорости машины.

Задача 2

В тридесятом  царстве живут драконы.
У каждого дракона одна, две или три головы,
а) Может ли у 40 % драконов быть 60 % голов?
б) Может ли у 40 % драконов быть 70 % голо

Решение задачи 2

а) Покажем, что у 40% драконов может быть 60% голов.
Пусть в этом царстве живет 100 драконов: 40 драконов с одной головой, 20 – с двумя головами и 40 – с тремя.
Тогда число голов у всех драконов равно
40 • 1 + 20 • 2 + 40 • 3 = 200.
При этом все 40 трехглавых драконов, что составляет 40% от общего числа драконов, имеют 40 • 3 = 120 голов, что составляет
120/200 • 100% = 60% от общего числа голов.
б) Пусть число драконов равно х, а общее число голов у них равно у.
Предположим, что какие-то 40% драконов имеют 70% голов.
Тогда, поскольку каждый из этих драконов имеет не более трех голов, то 0,7у £ 3 • 0,4х.
С другой стороны, поскольку остальные 60% драконов имеют 30% голов и у каждого из них не менее одной головы, то 0,6х £ 0,3y.
Но эти неравенства не могут выполняться одновременно, так как они равносильны соответственно 7у £ 12х и 12x £ 6у.
Поэтому у 40% драконов не может быть 70% голов.

Олимпиадные задания с решением. 5 класс.

Задача 1:
В пещере старый пират разложил свои сокровища в 3 цветных сундука, стоящих вдоль стены:
в один - драгоценные камни, а в другой - золотые монеты, а в третий - оружие. Он помнит, что :
- красный сундук правее, чем драгоценные камни
- оружие правее, чем красный сундук.
В сундуке какого цвета лежит оружие, если зелёный сундук стоит левее, чем синий?

Решение :

ДК - зелёный
ЗC - красный
О – синий

Задача 2 :
Девять осликов за 3 дня съедают 27 мешков корма.
Сколько корма надо пяти осликам на 5 дней?

Решение :

1 шаг 9 осликов в 1 день - 27 : 3= 9м.
2 шаг 1 ослик в 1 день - 9 : 9 = 1 м.
3 шаг 5 осликов в 1 день - 5 • 1 = 5 м.
4 шаг 5 осликов за 5 дней - 5 • 5 = 25 м.

Задача 3 :

Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1 метр за 0,5 секунды.
Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой.
Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до дерева 240 метров

Решение :

1 шаг 240 : 3 = 80 (с) скакала мама Кенгуру
2 шаг сын за 0,5 с - 1 м, за 1 с - 2 м
3 шаг 80 • 2 = 160 (м) проскачет кенгурёнок за 80 с
4 шаг 240 - 160 = 80 (м) осталось проскакать кенгурёнку когда
мама уже под эвкалиптом
5 шаг 80 : 2 = 40 (с)
Ответ: 40 секунд.

Задача 4 :

На скотном дворе гуляли гуси и поросята.
Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30,
а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84.
Сколько гусей и сколько поросят было на школьном дворе?

Решение :

1 шаг Представьте, что все поросята подняли по две ноги вверх
2 шаг на земле осталось стоять 30 • 2 = 60 ног
3 шаг подняли вверх 84 - 60 = 24 ноги
4 шаг подняли 24 : 2 = 12 поросят
5 шаг 30 - 12 = 18 гусей
Ответ: 12 поросят и 18 гусей.

Задания для школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике 2009г.

7 класс (135 минут)

1.     (7б.)Восстановите числа в примере:

* 1 * *

х

1 * *

---------

* 1 * *

* * * 1 *

* * * 1

-------------

8 * * 4 * *

2.     (7б.)Антон, листая роман, заметил, что позавчера он прочитал на 8 страниц больше, чем  вчера, а вчера на 45 страниц меньше, чем сегодня и позавчера вместе. Сколько страниц романа Антон прочитал сегодня?

3.     (7б.)Если от задуманного трехзначного числа отнять число 7, то оно разделится на 7. Если от него отнять 8, то оно разделится на 8, а если отнять от него 9, то оно разделится на 9. Какое число задумано?

4.     (7б.)Прямоугольник с периметром 50 см разбит на 5 прямоугольников, один из которых закрашен. Найти сумму периметров остальных (не закрашенных) прямоугольников.

5.     (7б.)Шахматный кружок посещают несколько учащихся 7-х классов. При встрече каждый мальчик из кружка пожал руку каждому мальчику  из кружка, а каждая девочка из кружка улыбнулась каждой из девочке из кружка. Сколько учащихся 7-х классов занимаются шахматами, если было 15 рукопожатий и 6 улыбок?