Олимпиадные задачи по математике. 10 класс

Олимпиадные задачи по математике.

10 класс

1. Во время распродажи Пётр купил брюки с 45 %-ной скидкой и рубашку с 15 %-ной скидкой. На следующий день Иван купил такие же брюкии рубашку без скидок. Мог ли Иван заплатить в полтора раза больше, чем Пётр?

Ответ обоснуйте.

Ответ. Мог.

Решение. Пусть брюки без скидки стоят х рублей, а рубашка без скидки стоит у рублей. Тогда Пётр заплатил 0,55х + 0,85у рублей, а Иван х + у рублей. Получаем уравнение 1,5·(0,55х + 0,85у) = х + у, следовательно, 0,825х + 1,275у = х + у,откуда 0,175х = 0,275у, то есть 7х = 11у. Таким образом,если брюки стоят в 11/7раз больше рубашки, то Иван заплатил в полтора раза больше Петра.

Полным решением является также предъявление конкретной цены брюк ирубашки (например, 11000 руб. и 7000 руб.) с обоснованием того, что при такой цене условие задачи выполнено (в данном случае Пётр заплатил 12000 руб., а Иван— 18000 руб.). Критерии проверки.

Приведён только ответ — 0 баллов.

Верно составлено уравнение, но дальнейших продвижений нет (или они ошибочны) — 2 балла.

Приведён верный пример возможной цены брюк и рубашки, но обоснование отсутствует — 4 балла. Любое полное верное решение — 7 баллов.

2.     Докажите, что 8ⁿ⁺² +9²ⁿ⁺¹делится на 73 при любом натуральном n. Решение.64×8ⁿ +9×81ⁿ=(73–9)×8ⁿ +9×81ⁿ=73×8ⁿ +9×(81ⁿ–8ⁿ)=

=73×8ⁿ +9×(81–8)(81^n-1 +…+8^n-1) делится на 73, так как каждое слагаемое делится на 73.

Замечание. Можно решать с помощью сравнений или методом математической индукции. Критерии.

Рассмотрены только частные случаи – 0 баллов. Верное решение – 7 баллов.

3.     К двум окружностям, пересекающимся в точках K и M, проведена общая касательная. Докажите, что если A и B – точки касания, то AMB + AKB = 180⁰. 

Решение.Условие касания равносильно тому, что угол MAB между прямой AB и хордой AD равен половине градусной меры дуги AD , то есть вписанному углу AFD, опирающемуся на эту дугу. Но из параллельности прямых BC и AF следует, что AFD=DBC =CAD (последнее равенство вытекает из того, что вписанные углы DBC и CAD опираются на одну дугу CD), что и требовалось доказать. Критерии. Верное решение – 7 баллов.

4.     Маше Медведь подарил 9 кубиков разных цветов. Сколькими способами она может:

а) сделать две башенки из трех кубиков?

б) разложить кубики на две непустые кучки?

Ответ:а) 30240; б) 2⁸–1.

Решение.а)Первую башню можно собрать 9×8×7=504 способами. Вторую башню можно собрать 6×5×4=120 способами. Обе башни можно собрать 504×120=60480 способами. Так как башни неразличимы (какая –первая, а какая – вторая), то поделим на 2 и получим 30240 способов. 

б) Каждый кубик можно положить либо в первую, либо во вторую кучку. Получаем, что число способов – это 2⁹. Но кучки неразличимы, поэтому получаем 2⁸. Кроме того, надо вычесть один случай, когда все кубики в одной кучке. Получим 2⁸–1. Критерии.

Если дан только ответ без пояснений – 0 баллов.

Если при решении пункта а) или б) не поделили на 2 (не учтено, что кучки или башни неразличимы), то за этот пункт – 1 балл.

Если решен верно только один пункт а) или б) – 3 балла. Верное решение обоих пунктов – 7 баллов.

5. Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что для любых 8 маршрутов найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?

Ответ обосновать.

Ответ:Можно.

Решение.Рассмотрим, например, 10 прямых  плоскости, никакие  две из  которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Будем считать, что прямые – это автобусные маршруты, а их точки пересечения – остановки. При этом  с каждой остановки можно проехать на любую другую: если остановки лежат на одной прямой, то без пересадки, а если нет, то с одной пересадкой. Далее, если даже отбросить в этой схеме одну прямую, то всё ещё останется возможность проехать с каждой остановки на любую другую, сделав в пути не больше одной пересадки. Однако если отбросить две прямые, то одна остановка (точка пересечения этих прямых) уже вовсе не будет обслуживаться оставшимися маршрутами и с неё будет невозможно проехать на какую- либо другую.

Критерии.Только верный ответ – 0 баллов.

Верное решение с обоснованием – 7 баллов.