Опорные задачи, как фундамент для решения более сложных.

Опорные задачи, как фундамент для решения более сложных.

В исследованиях по теории и методике обучения математике (В.А. Далингер, О.Б. Епишева, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман и др.) показано, что задача – важнейшее средство формирования системы знаний у учащихся, развития их мышления, обучения их действиям по самостоятельному приобретению знаний

Для того чтобы математические понятия, теоремы, законы, правила стали бы предметом учебной деятельности школьников, необходимо представить их в виде задач, которые бы направляли и стимулировали активность учащихся. Умение решать задачи является надежным критерием осознанного и творческого овладения учащимися знаниями, умениями и навыками.

Анализ школьной практики показывает, что многие учащиеся имеют формальные знания по геометрии, испытывают значительные затруднения при решении задач, в частности, планиметрических. Среди причин низкого уровня сформированности у учащихся умения решать задачи вообще и планиметрические в частности В.А. Далингер отметил следующие:

- роль задач в учебном процессе понимается в узком смысле;

- количество решаемых учащимися задач наносит ущерб обучающему эффекту;

- усиленное внимание к оформлению решения, а не к процессу решения задачи;

- большинство задач, рассматриваемых на уроках, решаются по образцу;

- практически все рассматриваемые задачи даются учащимся в готовом виде, нет работы над составлением задач и их последующем решении;

- школьные курсы страдают однообразием типологии задач;

- практически нет задач, помогающих учащимся осознать способы решения (рефлексивные задачи);

- преобладание в учебниках единообразных форм предъявления задач;

- в учебниках недостает варьирования содержания задач, при сохранении метода их решения;

- имеет место большое число задач одной и той же структуры, в особенности на структуры малой сложности, что ведет к снижению интереса учащихся к решению задач и т.д.

В соответствии с положениями, сформулированными Д. Пойа, в решении задач выделяют следующие этапы: анализ условия и требований задачи, поиск плана решения, реализация намеченного плана и обоснование того, что полученный результат удовлетворяет требованиям задачи; анализ проведенного решения и полученного результата.

Психологическое обоснование этапов деятельности по решению задач, выполнение указанных элементарных шагов или умственных действий выполнено в психологических исследованиях Ж.Адамара, П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова, Р. Декарта, Б. Паскаля, Д. Пойа, С.Л. Рубинштейна, К.А. Славской, Л.М. Фридмана, П.А. Шеварева и др. Различные сочетания элементарных шагов образуют всю деятельность по решению конкретной задачи.

Умение решать задачи – это сложное составное умение, предполагающее от учащегося умение осуществлять деятельность на каждом этапе решения задачи. Методика обучения учащихся решению задач, в том числе и геометрических, должна заключаться в обучении учащихся действиям (умениям) на каждом этапе работы над задачей. Таким образом, общая методическая схема обучения учащихся решению математических задач состоит из этапов, определяющих последовательность действий учителя:

– изучение содержания задачи (выделить данные и искомые, сделать чертеж и т.п.);

– краткая запись (записать данные и искомые задачи);

– поиск решения задачи (установить есть ли похожие задачи с известным способом решения; провести общий анализ условия задачи и т.п.);

– план решения (составить план решения на основе анализа условия задачи или сформулировать известный план решения задач данного типа);

– решение (решить задачу по составленному плану);

– запись решения, используя приемы записи;

– проверка решения (проверить ход решения, проверить результат, решить задачу другим способом, использовать специальные приемы проверки решения задач данного типа);

– исследование задачи (если возможно, то рассмотреть другие возможные способы решения, выбрать из них наиболее рациональный);

– запись ответа (полного или краткого);

– обобщение способа решения задачи, другие замечания (выполнить анализ информации, полученной в процессе решения задачи, выделить главное, обобщить, включить в систему прежнего знания о приемах работы над задачей).

Процесс обучения учащихся решению геометрических задач постепенный, который реализуется из урока в урок в течение длительного периода времени.

Теоретическая часть школьного курса геометрии содержит, в основном такие теоремы, которые направлены на развитие теории. Но геометрия, которая преподается в школе, это не только аксиомы и теоремы. Задача может служить не только целью, но средством обучения. Учиться решать задачи по геометрии с помощью опорных, или, как их еще называют, ключевых или базисных, - идея не новая. В древности обучение решению задач по стереометрии было именно таким. А оно основывается не только на добротной теоретической базе, знании формул, необходимых для вычислений, но и на владении арсеналом фактов, приемов и методов. Поэтому полезно выделять какое-то количество, так называемых, опорных задач, которые фиксируют факт, достаточно часто встречающийся при решении задач по геометрии, или же иллюстрируют метод решения задач по геометрии. К опорным задачам относятся также задачи, результатом решения которых является формула, не входящая в теоретический курс, но применяемая при решении задач по геометрии определенного типа.

Опорные задачи в математике и, в частности, в геометрии можно условно разделить на два типа: задача-факт и задача-метод. В качестве примера задачи-факта можно привести задачу следующего содержания. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, исходящими из той же вершины. Задачу, в результате решения которой можно получить формулу нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, зная его стороны, тоже можно отнести к опорным задачам.

Задача-метод иллюстрирует часто встречающийся метод решения задач в математике. Примером такой опорной задачи может быть решение задачи методом дополнительного построения. Удачное построение дополнительных элементов, которое упростит решение задачи, можно назвать «гроссмейстерским ходом». Такой способ решения задачи – показатель высокой математической культуры. Задача нахождения медианы треугольника по его сторонам – классический пример решения задач на построение. К тому же,- это задача, результатом которой есть формула; ею можно пользоваться, не проделывая в каждом, конкретном случае все действия и процедуры, которые были выполнены в общем виде. Решение опорных задач, особенно задач-методов, развивает логическое мышление, творческую направленность учеников, а самое главное, интуитивное понимание направления движения мысли. Интуиция вырастает из тандема правильно подобранных учителем задач, знания учеником теоретического материала и, естественно, любви к математике.

Приведем примеры ключевых (опорных) задач и задач, которые можно решить используя опорные задачи.

Опорная задача 1:

Докажите, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

Доказательство

Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE , и заметим, что 

Поскольку отрезок BD является медианой, то  , что и требовалось доказать

Пример использования опорной задачи:

Задача 1.1. Найти площадь параллелограмма АВСD,  если площадь треугольника   ВСМ равна 5,  точка М - середина  СD.

Решение

Проведем в параллелограмме диагональ BD

ВМ- медиана треугольника BCD

S_ΔBCM = S_ΔBDM (1опорная задача), S_ΔBCD =10, значит S_ABCD =20

Ответ: 20 см²

Опорная задача 2:

Докажите, что если О – точка пересечения медиан треугольника АВС, то треугольники АОВ, ВОС, АОС – равновелики.

Доказательство

1.     Пусть АА₁ и ВВ₁ – медианы треугольника  ∆АВС.

2.     Рассмотрим треугольники ∆АОВ и ∆ВОС.

3.     S_∆AOB=S_∆AB1B – S_∆AB1O

4.     S_∆BOC = S_∆AB1C – S_∆OB1C

5.     Треугольники ∆АВВ₁ и ∆СВВ₁ равновелики (по ключевой задаче №1), тогда получаем, что S_∆AB1B = S_∆BB1C, S_∆AB1O = S_OB1C, откуда получаем, что S_∆AOB = S_∆BOC .

6.     Аналогично доказывается равенство S_∆AOB = S_∆AOC

Пример использования опорной задачи:

Задача 1.2. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см,  разбит на три отрезками, соединяющими точку пересечения медиан М с вершинами треугольника Найдите площадь треугольника ВМС.

Дано: ,  - медианы, см, см, см

Найти:

Решение.

S_∆AMB = S_∆BMC = S_∆AMC  ( по опорной задаче №2) , тогда

 По формуле Герона

Ответ: см²