Опорный конспект по теме "Системы двух линейных уравнений с двумя переменными"

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

ах+ву+с=0 –линейное уравнение, графиком является прямая.

Пару   чисел (х;у), которая обращает равенство с переменными в верное числовое равенство, называют решением линейного уравнения.

Координаты любой точки прямой ах+ву+с=0 (все точки прямой, а их бесконечно много) являются решением заданного уравнения.      

ЕСЛИ

·         даны два линейных уравнения с двумя переменными х и у

 х+у+ =0 и   х+у +=0, 

и  поставлена задача

·          найти такие пары значений (х;у) , которые одновременно удовлетворяют и тому и другому уравнению.

 то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений.

Обозначение: Уравнения системы записывают друг под другом и объединяют специальным символом- фигурной скобкой:

 

·         Пару значений (х;у) , которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы уравнений.

Решить систему уравнений-это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Как провести проверку: является ли заданная пара чисел (х;у) решением системы уравнений?

   система уравнений с двумя переменными.

Являются ли пары чисел (1;-1) и (0;-2,5) решением данной системы уравнений  ?

Проверка (1;-1): подставляем в каждое уравнение системы значения х и у

3×1-2×(-1) -5=0 – верное числовое равенство

7×1 +6×(-1) -1=0  - верное числовое

Вывод: пара чисел (1;-1) одновременно является решением и первого и второго уравнений системы, значит пара чисел (1;-1) является решением системы уравнений.

Проверка (0;-2,5): подставляем в каждое уравнение системы значения х и у.

3×0 -2×(-2,5) -5=0   - верное числовое равенство

7×0-6×(-2,5) -1=0  -  неверное числовое равенство

Вывод: пара чисел (0;-2,5) не является одновременно решением  и первого и второго уравнений, значит пара чисел (0; -2,5)  не является решением системы уравнений.

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

ах+ву+с=0 –линейное уравнение, графиком является прямая.

Пару   чисел (х;у), которая обращает равенство с переменными в верное числовое равенство, называют решением линейного уравнения.

Координаты любой точки прямой ах+ву+с=0 (все точки прямой, а их бесконечно много) являются решением заданного уравнения.      

ЕСЛИ

·         даны два линейных уравнения с двумя переменными х и у

 х+у+ =0 и   х+у +=0, 

и  поставлена задача

·          найти такие пары значений (х;у) , которые одновременно удовлетворяют и тому и другому уравнению.

 то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений.

Обозначение: Уравнения системы записывают друг под другом и объединяют специальным символом- фигурной скобкой:

 

·         Пару значений (х;у) , которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы уравнений.

Решить систему уравнений-это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Как провести проверку: является ли заданная пара чисел (х;у) решением системы уравнений?

   система уравнений с двумя переменными.

Являются ли пары чисел (1;-1) и (0;-2,5) решением данной системы уравнений  ?

Проверка (1;-1): подставляем в каждое уравнение системы значения х и у

3×1-2×(-1) -5=0 – верное числовое равенство

7×1 +6×(-1) -1=0  - верное числовое

Вывод: пара чисел (1;-1) одновременно является решением и первого и второго уравнений системы, значит пара чисел (1;-1) является решением системы уравнений.

Проверка (0;-2,5): подставляем в каждое уравнение системы значения х и у.

3×0 -2×(-2,5) -5=0   - верное числовое равенство

7×0-6×(-2,5) -1=0  -  неверное числовое равенство

Вывод: пара чисел (0;-2,5) не является одновременно решением  и первого и второго уравнений, значит пара чисел (0; -2,5)  не является решением системы уравнений.

Графический метод решения системы двух линейных уравнений  с двумя переменными.

 

Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая, поэтому суть графического метода заключается в построении графиков каждого из уравнений.

Алгоритм графического метода:

1. Построить график уравнения

2. Построить график уравнения

3. Координаты точки пересечения прямых (х; у)- решение системы уравнений;

·         если ¹, ¹, то прямые пересекаются –то система имеет одно решение;

·         если прямые параллельны т.е. =, =, а ¹ , то система уравнений решений не имеет- несовместная система.

·         если прямые совпадают   т.е.  =, =, а =, то система уравнений имеет множество решений- неопределённая система.

Проверим решение системы уравнений из предыдущего конспекта

Пара чисел (1;-1)- согласно проверке, является решением  данной системы уравнений.

Проверим решение графически. Коэффициенты ¹, ¹ значит прямые пересекаются.

1. Построим график первого уравнения системы . Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек:

выберем х=0, подставим х=0 в уравнение и найдём значение у.

3×0 – 2у -5=0

-2у=5

У=5: (-2)

У=-2,5   координаты первой точки прямой (0;-2,5)

Выберем х=1, подставим х=1 в это же уравнение  и найдём значение у

3×1-2у-5=0

3-2у-5=0

-2у=5-3

-2у=2

У=2 : (-2)

У=-1    координаты второй точки прямой (1;-1)

Отмечаем обе точки в системе координат и проводим прямую  

2. Построим график второго уравнения системы

Выберем х=-2,  подставим х=-2 в уравнение и найдём значение у:

7×(-2)+ 6у-1=0

-14+6у=1

6у=1+14

6у=15

У=15:6

У=2,5 координаты первой точки прямой (-2;2,5)

Выберем х=1, подставим в это же уравнение и найдём значение у

7×1+6у-1=0

7+6у-1=0

6у=-7+1

6у=-6

У=-6:6

У=-1   координаты второй точки прямой (1;-1)

Отмечаем обе точки в системе координат и проводим прямую

    3. находим координаты точки пересечения прямых.

(если всё построили в соответствии, то точка пересечения прямых имеет координаты (1;-1))

 Графический метод решения систем уравнений является наглядным и красивым, но не самым точным и не всегда практичным (к сожалению, не всегда можно точно определить координаты точки пересечения)

Задание по конспекту

В учебнике стр. 76-79 ответить на вопросы стр.79

Выполнить по задачнику- 13.10а, 13.11а, 13.12 а,г