Открыты урок на тему "Логарифмы"

                                                                                                                       Потому-то, словно пена,
                                                                                                                       Опадают наши рифмы.
                                                                                                                       И величие степенно
                                                                                                                       Отступает в логарифмы.
                                                                                                                       Б.Слуцкий

Тема урока.                         Логарифм

Цели урока.

Образовательные:

·       ввести понятие и определение логарифма числа;

·       ввести основное логарифмическое тождество;

·       выработать умение находить логарифмы чисел, упрощать и вычислять выражения, используя основное логарифмическое тождество;

·       ввести свойства логарифма, научить применят свойства для вычисления и преобразования выражений.

Развивающие:

·       развить познавательный интерес к теме через прикладную направленность и мотивацию;

·       применить новые знания, умения и навыки на практике;

·       сформировать навыки взаимоконтроля и самоконтроля;

·       выявить метапредметные связи.

Воспитательные:

·       воспитать трудолюбие, ответственность, стремление к получению новых знаний;

·       воспитать интерес к предмету

Тип урока. Изучение новой темы

Форма проведения урока. Лекция (2ч)

Оборудование.

o   Компьютер, проектор, экран

o   Видеоматериалы

o   Презентации

o   Раздаточный материал

Ход урока.

І.  Организационный момент

Приветствие. Сообщение о статусе урока.

ІІ. Актуализация знаний учащихся

1.     Провести тест по теме «Показательные уравнения» (Приложение 1)

2.     Осуществить взаимопроверку

3.     Выявить проблему: как решить уравнение

4.     Обсуждение проблемы. Вывод: уравнение  имеет единственный корень. Как он выглядит? В каком виде его записать?

5.     Поставить цели:

1)    познакомиться с новой записью числа х – корня уравнения

2)    ввести новое обозначение. Дать определение

3)    выяснить какими свойствами обладает это число.

4)    научиться применять новые знания на практике

ІІІ.Изучение нового материала

1.     Для изучения нового материала необходимо повторить, что такое степень, ее основание, показатель. Повторить основные свойства степени (Презентация)

2.     Запишите тему урока: Логарифмы.

3.     Понятие логарифма (Видеоматериалы. Фрагмент 1) (учащиеся просматривают и слушают материал)

Закрепить на примерах: (запись на доске и в тетрадях)

                                                     

                                                    

                                                

                                                        

4.     Определение логарифма (видеоматериалы. Фрагмент 2)

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.(запись в тетрадях)

5.     Примеры (видеоматериалы. Фрагмент 3)

Привести свои примеры (записать в тетрадь)

6.     Примеры (продолжение) (Видеоматериалы. Фрагмент 4)

0     (записать на доске и в тетрадях в отдельный столбик)

7.     Десятичные и натуральные логарифмы (Видеоматериалы. Фрагмент 5) (просмотр)

8.     Переход от логарифмического равенства к показательному (Видеоматериалы. Фрагмент 6)

Записать схему (на доске и в тетрадях). Привести свои примеры (записать)

9.     Основное логарифмическое тождество (Видеоматериалы. Фрагмент 7)

(записать на доске и в тетрадях в столбик со свойствами)

10. Примеры использования основного логарифмического тождества (Видеоматериалы. Фрагмент 8) (просмотр)

ІV.Исторические факты

Просмотр презентации «Исторические факты»

V. Изучение нового материала (продолжение)

10. Ознакомить учащихся со свойствами логарифма (дописать на доске и в тетрадях в столбик со свойствами)

11. Привести примеры использования свойств (запись на доске и в тетрадях)

Придумать свои примеры. Обменяться с соседом, решить

VІ. Релаксация

Просмотр презентации «Интересные факты» (Приложение 3)

VІІ.Закрепление изученного материала

1.     Задание 1. Вычислите логарифмы (Презентация «Закрепление». Приложение 4)

2.     Задание 2. Примените основное логарифмическое тождество

3.     Задание 3. Примените свойства логарифмов

Самооценивание. (сообщить результаты учителю)

VІІІ.Итоги урока

1.     Презентация «Итоги урока»

2.     Оценивание (тест «Показательные уравнения», самооценка)

3.     Раздать справочники формул по теме (Приложение 5)

ІX.Задание на дом

Прочитать §§14, 15, 16 с.102-121. Рассмотреть все примеры. Ответить на вопросы (закончить лекцию)

1.     Как называется операция нахождения логарифма?

2.     Каким числом может быть логарифм?

3.     Все о логарифмической функции

4.     Выяснить, что такое потенцирование

5.     Дополнить список свойств логарифма

6.     Просмотреть имеющиеся интернет- ресурсы по теме «Логарифмы»

X.Рефлексия

В оценочном листе учащиеся отмечают значком:

! – не понял

? – есть вопросы

·  -  все понятно

Приложение 1

Проверочная работа по теме «Показательные уравнения»

Решите уравнение:

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

7.    

8.    

9.    

10.

Ответы:

1.     -2

2.      0

3.      

4.     -1 ; 4

5.      0

6.    

7.      1

8.    

9.    

10.  0

Приложение 2

Интересные факты

Природные формы и логарифмы

Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут во всех направлениях- взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали (особая форма кривой) или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины моллюсков, улиток, клювы попугаев, цветки в соцветии подсолнечника, а также рога таких млекопитающих, как архары (горный козел), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфгант Гетте считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития

Звезды и логарифмы

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины- звезды первой величины, второй, третьей и т.д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая по иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленных при основании 2,5.

Органы чувств и логарифмы

Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости звука служит «бел», но практически используется единица громкости. Равная его десятой доле - так называемые «децибелы». Последовательные степени громкости 1бел, 2 бела, 3 бела и т.д. составляют арифметическую прогрессию. Физические же величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др) составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины.

Неосознанно мы часто используем логарифмическое представление чисел в быту .Говоря «три с половиной миллиона». Или пользуясь сокращенной записью «3,5 млн», мы фактически пользуемся 3,5. И, как оказывается, наша неявная склонность к логарифмическому представлению чисел имеет глубокое физиологическое обоснование: дело в том, что различные органы чувств в нашем теле тоже пользуются логарифмическими шкалами. Впервые это заметил французский физик Пьер Бугер, обнаруживший в опытах с освещенными экранами, что глаз фиксирует относительное различие яркости поверхностей. А в виде четкого правила это открытие сформулировал немецкий физиолог Эрнст Вебер, изучивший мышечную и кожную чувствительность. Он установил, что мы воспринимаем не абсолютное, а относительное изменение силы раздражителя. Например, если в руке увас гирька весом в 10 г, то вы уверенно ощущаете добавку к ней еще такого же веса; но если вы держите вес в 10 кг. То добавление к нему 10- граммовой гирьки вы не ощутите. Позже это подтвердилось и для других органов чувств- зрения. Слуха, вкуса. Выяснилось, что наша чувствительность относительна, и разрешающая способность органов чувств обычно составляет несколько процентов.

Химия и логарифмы

Очень близка к шкале звездных величин и химическая шкала реакции среды, так называемая шкала кислотности. Всем, кто пользуется косметикой. Хорошо известен водородный показатель pH, определяемый соотношением pH=-lg[H+], где Н+- концентрация положительных водородных ионов в растворе. Далее при повышении кислотности значение pH уменьшается. Чем выше кислотность. Тем ниже значение индекса, только основанием логарифма служит не 2,5 (как у звездных величин), а 10.

Как известно, первыми химическими индикаторами были наши вкусовые рецепторы, которыми сегодня пользуются только повара, а раньше пользовались и химики. Поэтому не удивительно. Что в химии появилась логарифмическая шкала концентрации: сработал закон Вебера- Фехнера, которому подчиняются все наши чувства. В том числе и органы вкуса.

Психофизика и логарифмы

Ощущения. Воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молота о скользкую плиту в сто раз громче. Чем тихий шелест листьев. А яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабой звезды, едва видимой на ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений. Опыты показали, что организм как бы «логарифмирует» полученные им раздражения. В 1858году немецкий физик и психолог Густав Фехнер сформулировал: интенсивность воспринимаемого нами ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения. Этот закон (Вебера-Фехнера) называют основным психофизическим законом. Нередко его формулируют так: «При изменении силы раздражителя в геометрической прогрессии, интенсивность ощущения меняется в арифметической прогрессии»

Логарифм в быту

Я уже отмечала, что в быту мы тоже нередко используем шкалу логарифмов.

Примеры можно приводить долго. Так, богатых людей мы делим на миллионеров и миллиардеров. Города делим по населению на миллионные и стотысячные. Покупая продукты в магазине, стараемся экономить рубли, а задумываясь о покупке нового холодильника или телевизора. Обращаем внимание лишь на сотни рублей. Как и в случае физиологических шкал, в бытовых эмоциональных вопросах мы воспринимаем не абсолютное, а относительное различие. При этом оно становится для нас заметным и значимым, когда превышает несколько процентов от измеряемой величины. Похоже. Что чувствительность нашего «измерителя эмоций» близка к чувствительности глаза. Уха и прочих физиологических рецепторов.

Литература и логарифмы

Многообразные применения показательной, логарифмической (ли как еще ее называют экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Эльмера Брилла. Он написал «Оду экспоненте».

В своем стихотворении «Физики и лирики» поэт Борис Слуцкий написал те строки, которые вынесены в эпиграф к уроку

Потому-то, словно пена,

Опадают наши рифмы.

И величие степенно

Отступает в логарифмы

Приложение 3

1.     Вычислите:

Log ₂ 16;            log ₂ 64;               log ₂ 2;

Log ₂ 1 ;             log ₂ (1/2);           log ₂ (1/8);

Log ₃ 27;            log ₃ 81;               log ₃ 3;

Log ₃ 1;              log ₃ (1/9);           log ₃ (1/3);

Log_1/2 1/32;        log_1/2 4;                log_0,5 0,125;

Log_0/5 (1/2);       log_0,5 1;                log_1/2 2.

Сравните ответы:

4                          6                         1

0                          -1                       -3

3                          4                         1

0                          -2                       -1

5                          -2                        3

1                          0                        -1

2.     Вычислите:

3 ^log ₃ ¹⁸;         3 ^5log ₃ ²;           

5 ^log ₅ ¹⁶;         0,3 ^2log _0,3 ⁶;

10 ^log ₁₀ ²;        (1/4) ^log_(1/4) ⁶;

8 ^log ₂ ⁵;           9 ^log ₃ ¹².

Сравните ответы:

18                  32

16                  36

2                      6

125                144

3.     Вычислите:

Log ₁₀ 5 + log ₁₀ 2;

Log ₁₂ 2 + log ₁₂ 72;

Log ₂ 15 – log ₂ (15/16);

Log_1/3 54 – log_1/3 2;

Log ₅ 75 – log ₅ 3;

Log ₈ (1/16) – log ₈ 32;

Log ₈ 12 – log ₈ 15 + log ₈ 20;

Log ₉ 15 + log ₉ 18 – log ₉ 10.

Сравните ответы:

1

2

4

-3

2

-3

4/3

3/2