Квадратные
уравнения. Дискриминант. Решение, примеры.
Виды
квадратных уравнений
Что такое квадратное
уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение ключевым
словом является "квадратное". Оно означает, что в уравнении обязательно
должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а
могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный
член). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.
Говоря математическим
языком, квадратное уравнение - это уравнение вида:
Здесь a, b и с
– какие-то числа. b и c – совсем любые, а а – любое, кроме нуля.
Например:
Здесь а
=1; b = 3; c = -4
Или:
Здесь а
=2; b = -0,5; c = 2,2
Или:
Здесь а =-3; b
= 6; c = -18
Ну, вы поняли…
В этих квадратных
уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с
коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный
член с.
Такие квадратные
уравнения называются полными.
А если b = 0,
что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени. От умножения
на ноль такое случается.) Получается, например:
5х2-25
= 0,
Или:
х2+4
= 0
И так далее. Если же c
= 0, получим уравнение без свободного члена:
2х2-6х=0,
Или:
-х2+4х=0
И т.п. А если уж оба
коэффицента, b и c равны нулю, то всё ещё проще:
2х2=0,
Или:
-0,3х2=0
Такие уравнения, где
чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что
вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех
уравнениях.
Кстати, почему а
не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а нолик.) У нас
исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается
уже совсем иначе...
Вот и все главные
виды квадратных уравнений. Полные и неполные.
Решение
квадратных уравнений.
Решение
полных квадратных уравнений.
Квадратные уравнения
решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо
заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:
Если уравнение вам
дано уже в таком виде - первый этап делать не нужно.) Главное - правильно
определить все коэффициенты, а, b и c.
Формула для
нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:
Выражение под знаком
корня называется дискриминант. Но о нём - ниже. Как видим, для
нахождения икса, мы используем только a, b и с. Т.е. коэффициенты
из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с
в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например,
в уравнении:
а =1; b
= 3; c = -4. Вот и записываем:
Пример практически
решён:
Это ответ.
Всё очень просто. И
что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…
Самые
распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с.
Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой
отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная
запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так
и делайте!
Предположим, надо вот
такой примерчик решить:
Здесь a = -6; b =
-5; c = -1
Допустим, вы знаете,
что ответы у вас редко с первого раза получаются.
Ну и не ленитесь.
Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко
сократится. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:
Это кажется
невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется.
Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я
вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать.
Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические
приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится
запросто и без ошибок!
Но, частенько,
квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:
Или так:
Узнали?) Да! Это неполные
квадратные уравнения.
Решение
неполных квадратных уравнений.
Их тоже можно решать
по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a,
b и с.
Сообразили? В первом
примере a = 1; b = -4; а c? Его вообще нет! Ну да,
правильно. В математике это означает, что c = 0! Вот и всё.
Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и
со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с, а b !
Но неполные
квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим
первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс
вынести за скобки! Давайте вынесем.
И что из этого? А то,
что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из
множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых
числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать: х1 = 0, х2
= 4.
Всё. Это и будут
корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное
уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще,
чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым -
абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х1 -
то, что меньше, а х2 - то, что больше.
Второе уравнение тоже
можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:
Остаётся корень
извлечь из 9, и всё. Получится:
Тоже два корня. х1
= -3, х2 = 3.
Так решаются
все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки,
либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам
придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае
выносить за скобки нечего…
Дискриминант.
Формула дискриминанта.
Волшебное слово дискриминант!
Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через
дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от
дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю
самую общую формулу для решения любых квадратных уравнений:
Выражение под знаком
корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D.
Формула дискриминанта:
D = b2
- 4ac
И чем же
примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл
дискриминанта? Ведь -b, или 2a в этой формуле специально
никак не называют... Буквы и буквы.
Дело вот в чём. При
решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.
1.
Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень.
Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в
принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных
решения.
2.
Дискриминант равен нулю. Тогда у вас получится одно решение. Так как
от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря,
это не один корень, а два одинаковых. Но, в упрощённом варианте, принято
говорить об одном решении.
3.
Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не
извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.
Честно говоря, при
простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и
требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё
само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении
более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта не
обойтись. Особенно - в уравнениях с параметрами. Такие уравнения - высший
пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)
Итак, как решать
квадратные уравнения через дискриминант вы вспомнили. Или научились,
что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с. Умеете внимательно
подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли,
что ключевое слово здесь – внимательно?
А теперь примите к
сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех
самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и
обидно…
Приём первый. Не ленитесь
перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это
означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:
Не бросайтесь писать
формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с.
Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом
свободный член. Вот так:
И опять не
бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его
легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо
умножить всё уравнение на -1. Получим:
А вот теперь можно
смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример.
Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.
Приём второй. Проверяйте
корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее
уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом
примере) коэффициент а = 1, проверить корни легко. Достаточно их перемножить.
Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не
2, а -2! Свободный член со своим знаком. Если не получилось –
значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.
Если получилось -
надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться
коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае
-1+2 = +1. А коэффициент b, который перед иксом, равен -1. Значит,
всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с
коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше
ошибок будет.
Приём третий. Если в
вашем уравнении есть дробные коэффициенты, - избавьтесь от дробей!
Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке "Как решать уравнения?
Тождественные преобразования". При работе с дробями
ошибки, почему-то так и лезут…
Кстати, я обещал злой
пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.
Чтобы не путаться в
минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:
Вот и всё! Решать –
одно удовольствие!
Итак, подытожим тему.
Практические
советы:
1. Перед решением
приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно.
2. Если перед иксом в
квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего
уравнения на -1.
3. Если коэффициенты
дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий
множитель.
4. Если икс в
квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко
проверить по теореме Виета. Делайте это!
Теперь можно и
порешать.)
Решить уравнения:
8х2
- 6x + 1 = 0
х2
+ 3x + 8 = 0
х2
- 4x + 4 = 0
(х+1)2
+ x + 1 = (x+1)(x+2)
Ответы (в
беспорядке):
х1= 0
х2= 5
х1,2=
2
х1= 2
х2= -0,5
х - любое
число
х1= -3
х2= 3
решений нет
х1= 0,25
х2= 0,5
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.