План урока"Синус,косинус,тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике"

Урок математики в 8 классе по теме: «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника»

Учитель математики  Чиндарева Наталия Николаевна

Цели урока:

Образовательные:

Закрепить понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; формулу тангенса угла как отношения синуса к косинусу этого угла и основное тригонометрическое тождество.

Развивающие:

развивать способности к самостоятельному планированию и организации работы; навыки коррекции собственной деятельности через применение информационных технологий; умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания.

Воспитательные:

воспитывать познавательный интерес к математике, информационную культуру и культуру общения, самостоятельность, способность к коллективной работе.

Оборудование: презентация по теме (Приложение1), цветной мел, раздаточный справочный материал, лист с задачами из открытого Банка заданий ФИПИ.

Тип урока:  урок обобщения и систематизации знаний

Методы: проблемно-поисковый, индуктивный, метод групповой работы,  самостоятельной работы.

Ход урока:

 I. Организационный момент:

Здравствуйте, ребята. Я очень рада видеть вас, меня зовут Наталия Николаевна, сегодня я буду вести у вас урок геометрии. По мнению итальянского физика, механика, астронома, философа и математика Галилео Галилея: «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать» (Слайд1)

Актуализация знаний

Один мудрец сказал: «Высшее проявление духа – разум, высшее проявление разума – геометрия. Клетка геометрии – это треугольник, он так же неисчерпаем, как и Вселенная» (Слайд2)

Сегодня мы продолжим с вами беседу о прямоугольном треугольнике.

II. Повторение ранее изученного: Для проверки основных знаний по прямоугольному треугольнику проведём математический диктант.

Математический диктант: (Слайды 3- 8)

1.Закончи предложение: «Треугольник, у которого один угол прямой

   называется…»

   А) остроугольный;   Б) равнобедренный;   В) равносторонний;   Г) прямоугольный

2. Отметь прямоугольный треугольник:

                      

   А)                 Б)             В)                      Г)

3. Как называются стороны в прямоугольном треугольнике?

      А) боковые стороны

      Б) основания

      В) катеты и гипотенуза

      Г) параллельные стороны

4. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30°, чему равен другой острый угол?

   А)  90°;    Б)  60°;   В)  30°;    С)  180° .

5.  Выберите формулу площади прямоугольного треугольника:

    А) S =   a·b;   Б) S =    a·h;    B) S =    a·b·sin α; Г) S =√p(p-a)(p-b)(p-c)

6. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30°, равен 15см. Чему равна гипотенуза?

     А) 15см;      Б)  7,5см;      В)  20см;     Г)  30см

Ответы:  (Слайд 9)

1	2	3	4	5	6
Г	Б	В	Б	А	Г

(Слайд10)

 Оценка «5» - все верные ответы.
Оценка «4» - 5 верных ответов.
Оценка «3» - 4 верных ответа.                                                                                                            «Надо ещё повторить» - менее 4 верных  ответов.

 III. Повторение по теме: «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника»  Откройте тетради и запишите число и тему урока.

Цель нашего урока: (Слайд 11) повторить определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, основное тригонометрическое тождество, решать задачи из открытого банка заданий ФИПИ. Задача каждого провести небольшие исследования, выполнять определенные задания. Давайте делиться своими идеями, которые придут вам в голову, и не бойтесь ошибиться, ведь недаром народная мудрость гласит «не ошибается тот, кто ничего не делает».

Наверное, многие из вас задавались вопросом: Почему в геометрии особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику, хотя не часто встречаются предметы подобной формы? (Слайд12)

Ответ на этот вопрос очень прост: Как в химии изучают вначале элементы, а затем – их соединения, в биологии – одноклеточные, а потом – многоклеточные организмы, так и в геометрии сначала изучают точки, отрезки и треугольники, из которых состоят другие геометрические фигуры. Прямоугольный треугольник играет особую роль, т.к. любой многоугольник можно разбить на треугольники, в свою очередь, любой треугольник можно разбить одной из его высот на два прямоугольных треугольника, элементы которых связаны более простой зависимостью.

Повторение изученных компетенций и способов действий:

1. Понятия катетов, прилежащих и противолежащих к углу. (Слайд 13) 

2. Понятия синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника, их обозначения. (Слайды 14-17) 

3. Основного тригонометрического равенства

Пусть АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным . 

    В

    С                                А

АВ – гипотенуза

ВС - катет

АС - катет

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется  отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется  отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны;  зная две стороны, находить острые углы. (Слайд 18) 

a = c sin α              a = b tg α

b = c cos α             b = a ctg α  (Слайд 19) 

Основное тригонометрическое тождество. (Слайд 20) 

sin²A + cos²A = 1                      

Используя формулы синуса и косинуса получаем

sin²A + cos²A =

по теореме Пифагора BC² + AC² = AB², отсюда следует  sin²A + cos²A = 1

Применяя основное тригонометрическое тождество и формулы синуса, косинуса и тангенса можно вычислить значения  синуса, косинуса и тангенса для углов 30⁰, 45⁰, 60⁰. (Слайд 21) 

На доске:

Ребята, кажется очень много формул, но этого не нужно страшиться, ведь зная определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вы всегда сможете вывести все остальные формулы.

Дело в том, что я не раз наблюдала, как учащиеся с трудом вспоминают данные определения. Они прекрасно помнят, что катет относится к гипотенузе, а вот какой из них — забывают и путают. Цена ошибки, как вы знаете на экзамене – это потерянный балл. 

IV. Решение задач (устно): 1) (Слайд 25) 

Дан прямоугольный треугольник с прямым углом А, найдите синусы, косинусы, тангенсы углов В и С, если известно, что его катеты равны 3 и 4.

Все ли данные у нас есть для решения задачи?

То есть неизвестна гипотенуза, как нам ее найти?

2) Найдите тангенс угла А треугольника ABC, изображённого на рисунке.	4) На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
3) Найдите тангенс угла АОВ, изображённого на рисунке.	5) Два ост­рых угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 4:5. Най­ди­те боль­ший ост­рый угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Таким образом, мы с вами приоткрыли дверь нового для вас раздела математики - тригонометрии - науки, изучающей связи между сторонами и углами в треугольнике. Истоки тригонометрии уходят в далекую древность, когда у людей возникла потребность следить за небесными светилами и по этим наблюдениям вести календарь, рассчитывали сроки сева, время разлива рек; ориентировались в пути по звездам.

V.Физминутка (Слайды 22-24) 

VI. Решение задач:  

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=4, sinA=0,8. Найдите AB.

2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=2, cosB=0,4. Найдите AB.

3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, tg A=0,75. Найдите AB.

 

4. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 36, а сторона AB равна 45. Найдите cos B.

5. Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.

Разминка. Какое из следующих утверждений верно?

1) Тангенс любого острого угла меньше единицы.

2) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

4) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

5) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

6) Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180° .

Задачи повышенной трудности:

Найдите тангенс угла AOB.

                       

VII.  Задания на дом:

1) Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

2) Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 6. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

3) В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=10, tg A=0,1. Найдите BC.

        

4) В треугольнике ABC известно, что AB=BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH=64 и CH=16. Найдите cos B.

5) Сторона ромба равна 30, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

6) Найдите тангенс угла AOB.

                                 

Решение прикладной задачи:

1.Найти высоту дерева, если расстояние от наблюдателя до ствола дерева равно 9 м, а угол, под которым он видит макушку дерева, равен 30^0. (Слайд 26) 

VIII. Рефлексия: (Слайд 30) 

Сегодня на уроке

Я узнал …

Я научился …

Мне понравилось …

Я затруднялся …

Моё настроение …

Информационные материалы.

1. Пифагор. Занимательная математика. Халамайзер А.Я. Москва
2. Живая математика. Перельман Я. И. Москва «Наука»   1978 г.
3. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия, 8 CD-ROM, 2002 г.
4. Электронные ресурсы сайта «Сеть творческих учителей»
5. Электронные ресурсы сайта «Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»
6. Учебно-методическое пособие. Взаимосвязь теории с практикой в процессе изучения математики. Возняк Г.М., Маланюк М.П.  Киев. «Радянська школа»