Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Зачеты.

В помощь учителю математики. 10 класс.

     Математике как учебному предмету присущи некоторые особенности, отличающие ее в общей системе школьных дисциплин. К этим особенностям относятся абстрактность математических понятий, сложность логических рассуждений, многообразие приемов и методов решения задач, широкая опора на ранее изученный материал. Специфика математики как учебного предмета определяет необходимость серьезной работы по формированию математических знаний и умений. Важным компонентом этой работы является контроль знаний и умений учащихся. Своевременно установленная обратная связь «ученик - учитель» позволяет внести необходимые коррективы в учебный процесс и организовать работу по устранению обнаруженных пробелов.

     Наряду с традиционными формами контроля (контрольные и самостоятельные работы)  удобно проводить контроль с помощью гибкой системы заданий, включающих элементы тестирования, так же данная система позволяет провести индивидуальную работу с каждым учеником 10 – 11класса и адресно, при необходимости, помочь решить те или иные затруднения в изученном материале. Такая система заданий позволяет при небольшой затрате времени проверять усвоение значительного по объему учебного материала.

     Удобно проводить в старших классах контроль знаний с помощью зачетов. Это позволяет проверить и теоретические знания учащихся, и практические навыки решения задач по данной теме, а так же подготовить ученика к зачетной системе, которую используют в ВУЗах. Это является немаловажным, так как многим ребятам сложно перестроиться с требований, которые предъявляют  в школе, к требованиям, которые им предъявляют в ВУЗах.

     Индивидуальные задания, используемые во второй части зачета, позволяют увидеть подготовку непосредственно каждого ученика. А первая часть зачета –теоретическая, проводится в виде беседы, что способствует лучшему контакту учителя и ученика.  Ребята после зачета имеют возможность пересдать одну из тем, чтобы повысить свою оценку. С психологической  точки зрения  это тоже является положительной стороной, т.к. в этом случае ученик работает над собой и  своими знаниями, стараясь улучшить свои результаты. Конечно подготовка и проведение зачета требует больших затрат времени, но по своему опыту могу сказать, что ребята после зачета быстрее и лучше решают задачи и контрольную работу по данной теме пишут с более высокими результатами.

      Зачеты, состоящие из  разных уровней (устного и письменного), позволяют  учителю в осуществлении дифференциации обучения учащихся.

     Приведу некоторые темы алгебры и начала анализа, при изучении которых я использую зачетную систему: показательная функция (10 класс), показательные уравнения и неравенства (10 класс), определение логарифма, логарифмические уравнения и неравенства (10 класс), тригонометрия (10 класс), производная (11 класс), применение производной (11 класс), первообразная и интегралы, нахождение площадей криволинейных трапеций (11 класс) и др.

     Надеюсь, что учителям-математикам, особенно  работающим в старших классах, пригодится мое предложение по контролю качества знаний учащихся и их дальнейшей подготовке к контрольной работе.

     ПРОВЕДЕНИЕ: зачет проводится в виде небольшого экзамена. Состоит из двух частей, что позволяет проверить как практические навыки ученика, так и его теоретические знания.

Первая часть зачета проводится в виде индивидуальной беседы с учеником. Устно он отвечает на вопросы по теории.

Вторая часть зачета – практическое задание. Каждый ученик получает индивидуальное задание, причем выбирает он его сам,  т.к. задания  выполнены в виде билетов.

     Примечание: задачи подобраны таким образом (от простого к более сложному заданию), что ученик любого уровня подготовки может сделать несколько задач. Все задания индивидуальны, а значит исключается возможность списывания.

Основная цель зачета: дифференциация обучения учащихся, способность усвоения учащимися основных математических понятий, самостоятельное повторение изученного материала, проверка способности применять теоретические знания на практике, закрепление навыков решений, индивидуальный контроль качества знаний учащихся, подготовка к контрольной работе.

Приведу некоторые примеры тем и вариантов практических заданий.

10 КЛАСС.

Зачет по  алгебре.

10 КЛАСС.

Зачет №1. .

ТЕМА: Показательная функция.

Цель зачета: подготовить учащихся к контрольной работе. Повторить и проверить теоретические знания учащихся по данной теме, проверить практические знания учащихся, навыки решения показательных уравнений и неравенств, построение графиков показательных функций, применение свойств показательной функции, повторение ранее изученного материала по другим темам алгебры и начала анализа, развитие индивидуальных качеств каждого ученика, развитие памяти и самоконтроля ученика.

     Основные вопросы для устного зачета по алгебре.

1.      основные свойства степени.

2.      свойства показательной функции.

3.      график показательной функции.

4.      теорема, с помощью которой решаются показательные уравнения.

5.      От чего зависит знак неравенства показательного неравенства?

Практическая часть зачета (индивидуальные задания).

№1.

1. Решить показательное уравнение:

а)  4^x-1 = 1                  б)   2^x = 8 ^-2/3                 в) 4·3 ^x-1 + 3^x+1 = 117

2. Решить показательное неравенство:

а)  (2/3)^x > 9/4                           б)  5 ^x+1 +5^x+5^x-1≥ 31

3.Построить график показательной функции: y = 2^x

№2

1. Решить показательное уравнение:

а)   0,3 ^3x-2 = 1           б)  27 ^1-x = 1/81                  в) 5 ^x+1 +5^x+5^x-1=31

2. Решить показательное неравенство:

а)    3 ^x/2  > 9                                   б)  3 ^{x +2} + 3^{x - 1} <28

3.Построить график показательной функции: y = (1/2)^x

№3

1. Решить показательное уравнение:

а)   2^2x=2 ^4√3                          б) 3 ^{x +1} = 7 ^{x + 1}   в) 3 ^x  - (1/3) ^{x – 1}  = 24

2. Решить показательное неравенство:

а)    (1/2)^x   >  2 ;       б)     8 ^2x+1> 0,125                                          

3.Упростить выражение: a ^5/6 b^{7/ 12} a- ¾ b^{- 2/3} 

№4

1. Решить показательное уравнение:

а)   27 ^3x-2 = 1/3        б)    2 ^x  = 6 ^x                 в)  3 ^2x-1 + 3 ^2x = 117

2. Решить показательное неравенство:

а)    3 ^x > 9                    б)   2 ^{x -1} + 2 ^{x +3}  > 17  

  3.Построить график показательной функции: y = 3 ^x

Зачет №2:

Тема: Логарифмы. Логарифмическая функция.

Цель зачета: подготовить учащихся к контрольной работе. Проверить  и повторить теоретические знания учащихся по данной теме, проверить практические знания учащихся, навыки решения логарифмических уравнений и неравенств, построение графиков логарифмических функций, применение свойств логарифмов умение находить обратную функцию к данной функции. Проверить знания строгих математических  определений и понятий. Развитие памяти и ответственности. Учить аргументировано и точно излагать свое мнение,   

Основные вопросы для устного зачета.

1.      основное логарифмическое тождество.

2.      свойства логарифмов.

3.      десятичный логарифм.

4.      натуральный логарифм.

5.      формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

6.      логарифмическая функция, ее свойства и график.

7.      правила нахождения обратной функции.

8.      определение логарифма.

 Практическая часть.

№1.

1. Вычислить:

а) log₁₀ 5 + log₁₀ 2;   б) log ₂₁₆ 27 + log₃₆16 + log₆ 3;

  в)  (log₆ 2+log₆ 3+2 ^log₂ ⁴ ) ^{l og}₅ ⁷ .

2. Построить график логарифмической функции:  у = log ₅ x

3.Найти обратную функцию к заданной функции:

    а)  y = 2x – 1;               б)     y = 5 ^x+1;                     в) у = log ₂ x.

и построить график функции а).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№2.

1.вычислить:

а) log₁₂ 2 + log₁₂72;                        б) log_0,2125 : log₁₆64·log₃ 81;                                                                  в) (3log₇ 2-log₇ 24):( log₇ 3 + log₇9) .                                         

  2. Сравнить : log_0,2 3 и log_0,25

3.Найти обратную функцию к заданной функции: log_0,2 3 и log_0,25

    а)  y = 2 ^x ;               б) y = -2x + 1;                          в)   y = (2x - 1)/3

и построить график функции б).

№3.

1. вычислить:

а)  log_1/354 – log_1/32;                                             б) log_1/39·log ₂1/8 : 7  ^2log₄₉ ²   ;

 в)  (log_,224 - ½ log₂72) : (log₃18 – 1/3log₃72)

2. Построить график логарифмической функции:  у= log₂ x.

3.Найти обратную функцию к заданной функции:

    а)  y = 2 ^{x + 1} ;         б)   y = 3/x                    в)  y = 7 – 3x.

и построить график функции в).

№4

1. вычислить:

  а) log₂15 - log₂15/16 ;                        б) log_1/216 ·log₅1/25 : 9^log₃ ²;                                                                                                                                   в) (3lg 2 + lg 0,25):( lg14 -  lg7) .                                         

2. Построить график логарифмической функции:  у= log₃ x.

3.Найти обратную функцию к заданной функции:

    а)  y = ¼ ·x – 7 ;        б)    y = x³– 1;                в) y = 1/(x - 7)

и построить график функции а).

№5.

1.вычислить:

а) log₃16 + log₃ 3/2 ;     б) log₈12 -  log₈15+ log₈ 20; 

в) (log₆ 2+log₆ 3+2 ^log₂ ⁴ )^log₅ ⁷ .

2. Сравнить: log₂ 0,7 и log₂1,2;

3.Найти обратную функцию к заданной функции:

    а) у = log_x 3.                         б) y = 5 - ¼·x;   в)    y = 6 ^{3x - 7}  

и построить график функции б).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№6.

1. вычислить:

а)   log₅75 – log₅ 3;    б) log₉15 + log₉18 – log₉10; 

в) (log₂12 – log₂3+3 ^log₃ ⁸ )^{lg 5} .

2. Сравнить: log₅7 и log₅0,2;

3.Найти обратную функцию к заданной функции:

    а)  у = log₇ (x+1 );      б)  y = (x – 1) ³        в) y = (3x - 1)/2

и построить график функции в).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Зачет №3.

Тема: Тригонометрические уравнения и неравенства.

Цель: проверить знания некоторых тригонометрических формул, общее и частные решения уравнений cosx = a, sinx = a, tgx =  а, определения  arcos a , arcsin а, arctg a.

Проверить умения учащихся применять теоретические знания на практике. Подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе. Воспитание самостоятельности и ответственности, развитие индивидуальных качеств каждого ученика.  

Основные вопросы для устного зачета:

1.      основное тригонометрическое тождество, зависимость между cosα, sinα, tgα и сtgα.

2.      формулы сложения.

3.      формулы двойного угла.

4.      формулы приведения.

5.      5.формулы для угла (-α).

6.      сумма и разность косинусов, сумма и разность синусов.

7.      7.определения  arcos a , arcsin а, arctg a.

8.      общая формула нахождения корней уравнений cosx = a, sinx = a, tgx = а.

9.      частные случаи решения уравнений cosx = a, sinx = a.

10.  основные условия существования решений тригонометрических уравнений cosx = a, sinx = a, tgx = а.

Краткое описание документа:

Зачет, состоящий из двух частей, в старших классах позволяет подготовить учащихся к зачетной системе в ВУЗах и других учебных заведениях. Благодаря беседе ученик учится правильно говорить математические термины и формулы, сам аргументировано и ответственно ставит себе оценку за свои теоретические знания и видит пробелы в своих знаниях. Благодаря второй части ученик видит свое умение решать поставленные перед ним задачи.

Зачет позволяет учителю увидеть подготовку учащихся к контрольной работе, позволяет добиться от всех учеников знаний формул и правил.

Так как зачет проводится за несколько занятий до контрольной работы, у учителя и учеников есть возможность и время для более централизованного повторения изученного материала. У учителя есть возможность обратить внимание на общие ошибки, которые учащиеся допустили во второй части зачета.

** Для удобства и лучшего анализа подготовленности учащихся к проверке их знаний по пройденной теме я стараюсь подобрать такие задания ко второй части зачета, которые похожи на те которые будут в контрольной работе.