Построение многоуровневой системы задач

Построение многоуровневой системы задач: с параметром  (8 класс)

1	ФИО (полностью)	Силакова Галина Николаевна
2	Место работы	Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №72 Кировского района г.о. Самара
3	Должность	Учитель математики
4	Предмет	Математика
5	Класс	5-11

1.      Цель:  Обучение умению решать неравенства с параметрами различными способами.

7. Задачи:

- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, переформулировать условие, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, осознанное и произвольное построение речевого высказывания, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;

- развивающие: целеполагание, планировать свою деятельность в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, саморегуляция через решение задач, развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, интеллектуальные качества: способность к “видению” проблемы, оценочным действиям, самостоятельности, гибкости мышления.;

- воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.

Согласно требованиям в ГОС у учащихся требуется развитие навыков при решении задач. Данным требования полностью удовлетворяют задания с параметром.

В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами.

    Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

    Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

Задачи с параметрами являются непривычными, сложными для многих. Они представляют сложность в логическом, техническом и психологическом плане.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся.

Отметим, что задачи с параметрами (в частности уравнения и неравенства с параметрами) обладают большим потенциалом в развитии исследовательских умений таких, как умение наблюдать, анализировать, выдвигать и доказывать гипотезу, обобщать и др. Данные задачи играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры как у школьников, так и у студентов.

Проанализировав диссертационные исследования, учебные пособия и программы (посвященные задачам с параметрами), а также государственные образовательные стандарты отметим следующее:

1)      задачи с параметрами полностью отсутствуют в учебных программах основной средней школы.

2)      задачи с параметрами являются наиболее сложными в техническом плане (как с позиции школьников, так и с позиции учителей математики).

3)      овладение школьниками методами решения задачи с параметрами ведет к более глубокому пониманию всего школьного курса математики.

4)      благодаря своей высокой диагностической и прогностической ценности задачи с параметрами:

·                      развивают у учащихся логическое мышление;

·                      формируют математическую культуру учащихся;

·                      помогают учащимся в овладении техники исследования;

·                      позволяют учителю выявить нестандартность мышления учащегося;

·                      наталкивают учащихся проводить элементарные математические рассуждения;

·                      открывают перед учащимися значительное число эвристических приемов.

Задачи с параметрами позволяют сформировать ключевые компетенции, применимые как в учебной, так и в будущей профессиональной деятельности:

·                      использование приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни;

·                      проведение анализа ситуаций;

·                      планирование своей деятельности;

·                      осуществление самоконтроля;

·                      планирование и выбор более рационального решения;

·                      работа с учебной и научной литературой;

·                      систематизация знания по теме, решение и составление аналогичных задачи и др.

Целенаправленное использование задач с параметрами позволяет развивать и диагностировать развитие ряда предметных компетенций учащихся.

1.                   Выполнять вычисления и преобразования.

2.                   Решать уравнения и неравенства, в том числе:

·                      находить область допустимых значений;

·                      приводить дроби к общему знаменателю;

·                      приводить подобные слагаемые;

·                      производить проверку принадлежности корней уравнения области допустимых значений;

·                      применять метод группировки слагаемых;

·                      свободно владеть формулами сокращенного умножения и др.

1.                   Выполнять действия с функциями.

2.                   Выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

Строить и исследовать простейшие математические модели

Формируемые  УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:

№	Этапы решения задач	Формируемые УУД
1.	Анализ условия (введение буквенных обозначений)	-        целеполагание; -        выделение существенной информации; -        формулирование задачи и прогнозирование способов решения; -        абстрагирование; -        аналогия; -        классификация -        знакосимволические действия.
2.	Схематическая запись условия задачи в виде таблицы, схемы, графа с введенными буквенными обозначениями	-        планирование; -        систематизация; -        знакосимволические действия; -        моделирование.
3.	Составление модели (поиск аналога, привлечение из математики или физики известного закона)	-        создание способа решения задачи; -        корректировка условия; -        моделирование в графическом виде.
4.	Решение уравнения, системы и т.д. (поиск неизвестного)	-        анализ и выявление существенной информации; -        выведение следствий; -        построение цепи рассуждений; -        выдвижение и проверка гипотез; -        преобразование модели.
5.	Интерпретация модели (проверка и оценка решений, корней)	-        анализ; -        выведение следствий; -        конкретизация; -        знакосимволическое действие (интерпретация).
6.	Исследование (обобщение задачи или способа её решения для видоизмененных условий, другие подходы к решению)	-        анализ; -        синтез; -        поиск аналогов; -        построение цепи рассуждений; -        умение сжато передать содержание; -        умение применять схемы, символы, модели; -        создание способов решения проблем поискового, творческого характера.
7.	Рефлексия	-        смыслообразование; -        планирование; -        контроль; -        коррекция; -        оценка; -        волевая саморегуляция; -        готовность к саморазвитию, к самообразованию; -        умение самостоятельно определять цели своего обучения; -        ставить и формулировать для себя новые задачи; -        развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.

Линейные уравнения

Уравнения вида  

                                                 ах = в,                                                (1)

где а, в – принадлежат множеству действительных чисел, а  х – неизвестное, называется линейным уравнением относительно х.

Схема исследования линейного уравнения (1).

     1.Если а ≠  0, в – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = в/а.

2. Если  а=0, в=0,  то уравнение примет вид 0 ∙ х = 0,  решением уравнения будет множество всех действительных чисел.

     3. Если а=0, в ≠ 0, то уравнение 0 ∙ х = в не имеет решений .

          Замечание. Если линейное уравнение не представлено в виде (1), то сначала нужно привести его к виду  (1) и только после этого проводить исследование.

Линейные неравенства с параметром

              Неравенства

                                      ах > в,  ах <  в,   ах ≥  в,   ах ≤ в,

где а, в – выражения, зависящие от параметров, а  х – неизвестное, называются линейными неравенствами с параметрами.

              Решить неравенство с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество решений неравенства.

Схема решения неравенства  ах > в.

1. Если а > 0, то х > в/а.
2. Если а < 0, то х < ^В/а.
3. Если а = 0, то неравенство примет вид  0 ∙ х > в. При в ≥ 0 неравенство не имеет решений; при в < 0 решением неравенства будет множество всех чисел.

Системы линейных уравнений с параметром

Решением системы линейных уравнений называются координаты точек, принадлежащих графикам обеих функций.

Условия взаимного расположения прямых на плоскости,  когда система будет иметь одно решение, множество решений, не будет иметь решений.

a₁x+b₁ = с₁

a₂x+b₂ = с₂

1.   нет решений

2.  одно решение

3.    множество решений

	БЗ № 1	БЗ № 2	БЗ № 3                                                                      БЗ № 3
ЗЗ	Решить уравнение ах = 5. Решение.    Если а = 0, то уравнение не имеет решений.     Если а ≠ 0, то х =. Ответ. При а = 0 нет решений; при   а ≠ 0,  х =	1)   Решить неравенство  ах > 5. Решение. 1. Если а > 0, то х > . 2. Если а < 0, то х < . 3. Если а = 0, то неравенство примет вид  0 ∙ х > 5, т. к 5 ≥ 0 неравенство не имеет решений. Ответ: при а > 0, то х >, при а < 0,   то х <, при а = 0, то решений нет.    2)   Решить неравенство  ах > - 8.    Решение. 1.                     Если а > 0, то х > -8/а. 2.                     Если а < 0, то х < -8/а. 3.                     Если а = 0, то неравенство примет вид  0 ∙ х > в. Т.к. -8 < 0 решением неравенства будет множество всех чисел. Ответ: при а > 0, то х > -8/а, при а < 0,   то х < -8/а, при а = 0, то x – любое число.	При каких значениях параметра а система            2х-4у = 7,                 ах-8у = 14: а) имеет бесконечное множество решений; б) имеет единственное решение? Решение. 1 способ: Данная система уравнений является линейной, причем коэффициенты первого уравнения отличны от нуля. Воспользуемся данными блок-схемы. a)      Система имеет бесконечное множество решений, если:               б)    Система имеет единственное решение, если:                     уравнения поменяли местами, так как число а неопределенно. В нашем случае а = 0  являются решением в случае б), т.к. на нуль делить нельзя, лучше вторым считать то уравнение, в котором все коэффициенты определены и не равны нулю.       2   способ:  выразим из первого уравнения х, х=2у+3,5 и подставим во второе уравнение, получим (2а-8)у=14-3,5а, тогда а=4, 0у=0, система имеет бесконечное множество решений, а, у=, система имеет единственное решение. Ответ: а) если а = 4, то система имеет бесконечное множество решений; б) если а4, то решение единственно
МЗ	Для всех значений параметра а  решить уравнение     ( a- 4)×x = a + 2.  Р е ш е н и е. Уравнение уже записано в стандартном виде, поэтому исследуем его по общей схеме 1. а) если   a- 4 = 0, т.е. a = 2  или  a = - 2, то при  a = 2 уравнение имеет вид : 0×x = 4, которое не имеет решений,   при  а = -2 уравнение имеет вид: 0×x =0, где х-любое число. b) если    a- 4¹ 0, имеем  х = . О т в е т. Если  а = -2, то х-любое ; если  а = 2, то нет решений;             если  а ¹ -2, а ¹ 2, то   х = .	Решить неравенство а(3х-1)>3х – 2. Решение: а(3х-1)>3х – 2, значит 3х(а-1)> а-2. Рассмотрим три случая. 1.    а=1, решением 0 ∙ х > -1 является любое действительное число. 2.    а>1, 3х(а-1)> а-2, значит х > а-2/3 (а-1). 3.    а< 1, 3х(а-1)> а-2, значит х < а-2/3 (а-1). Ответ:  х > а-2/3 (а-1) при а>1; х < а-2/3 (а-1) при а< 1; х принадлежит множеству действительных чисел при а=1.	Графики функций у=(4-а)х+ а и у=ах+2 пересекаются в точке с абсциссой,равной-2. Найдите ординату точки пересечения.       Решение: Так как графики пересекаются в точке с абсциссой, равной-2, то х=-2 является Решением следующей системы: у=(4-а)х+ а, у=ах+2; тогда имеем: у=(4-а)(-2)+а, у=а(-2)+2; у=-8+3а, у=-2а+2; -8+3а=-2а+2; 5а=10; а=2. Найдем ординату у, подставив х и а в любое уравнение сис­темы: у=2 • (-2)+ 2, у = -2. Ответ: - 2.
НЗ	Найти все значения параметра а  при  каждом из которых  решение  уравнения  4х – 10а = 6 – 8ах  не больше  2. Р е ш е н и е. Приведем уравнение к стандартному виду:                     ( 4 + 8а )х = 6 + 10а. а) если    4 +8а =0, т.е. а = - 0,5, то уравнение имеет вид 0×х = 0,5 и оно не имеет решений. b)  если  4 + 48а ¹ 0, т. е. а ¹ - 0,5, то  х = . Условию задачи удовлетворяют только те значения а , при которых  х £ 2, следовательно, решаем неравенство:  £ 2, откуда получаем  ответ. О т в е т.  а Î( -µ ; - ) È [  -; + µ ).	Решить неравенство (1) По смыслу задачи Преобразования приводят к неравенству (1.1) или (1.2) III. Решать неравенство, опираясь на свойство дроби: “дробь положительна, если ее числитель - и знаменатель имеют одинаковые знаки”. Свойство разности: если разность положительна, то уменьшаемое больше, чем вычитаемое; если разность отрицательна, то уменьшаемое меньше вычитаемого. Равносильному (1) и сводящемуся к совокупности двух систем: (х+3) >0 или x+3<0 x>-3, x<0 Для выбора решения каждой из них сравним величины и –3 IV. Учащиеся обсуждают решение, уточняя трудные моменты. Учитель обращает внимание на правило записи ответа. Рассмотрим разность при m<0 и при m>2 при 0<m<2 при m=0. Следовательно, при m<0 и при m>2 при 0<х<2	1) Решите уравнение |х - 4| + |х + а\ = 0. Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательно, то можно перейти к системе: х-4 = 0, х + а = 0; х = 4, х = -а. Эта система имеет решение, если -а = 4; а = -4.  Ответ: если а = -4, то х = 4; если а ≠ -4, то решений нет. .

	БЗ № 4	БЗ № 5	БЗ № 6
ЗЗ	Решить уравнение ах2 =4 Решение: если а=0, то 0х2 =4, решения нет. Если а≠ 0, то х =± 2/	Для всех неотрицательных а, решить неравенство ах2 4 Решение: если а = 0. То 0х2 4, решения нет Если а 0. То х(;-2/)2/;  +	Найти область допустимых значений выражения Решение 1-рх -р х   х Ответ: х
НЗ	При каких значениях  уравнение  имеет единственное решение? Решение. Ошибочно считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Исходя из этого соображения, рассмотрим следующие случаи: а) . При этом уравнение принимает вид , откуда , т.е. решение единственно. б) ,тогда  – квадратное уравнение, дискриминант . Для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы , откуда . Ответ:  или .		Найти область допустимых значений данного уравнения = Решение: р хр  1-р Ответ: р
МЗ	При каких значениях  уравнение  имеет единственное решение? Решение. 1) При  исходное уравнение не имеет решения. 2) , тогда данное уравнение является квадратным и принимает вид . Искомые значения параметра – это корни дискриминанта, который обращается в нуль при . Ответ: .		Найти область допустимых значений = Решение: р Х2 +2х +р Д= 4- 4р 4- 4р    - 4р       р] 2)   р +2>0          р>-2  Ответ: ( -2 ;1]