Практическая работа по теме "Исследование функции при помощи производной"

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №10

Тема: Дифференциальное исчисление

Наименование работы: Исследование функции с помощью производной.

Цели выполнения работы:

• Исследовать правило применения производной к исследованию функций на промежутки монотонности и экстремумы
• Применить данное правило при исследовании конкретных функций
• Осознать себя в данной теме

Приобретаемые умения:

·         Дифференцировать функции

·      Использовать производную для изучения свойств функций: промежутки

      монотонности, экстремумы функции

·      Решать конкретные задачи по исследованию промежутков монотонности и

      экстремумов функций.

Развиваемые способности:

·         Исследовать формулы и правила дифференцирования

·        Исследовать правило применения производной к исследованию функции на

      промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции.

·         Проектировать данные знания и умения на исследование конкретной функции

·        Оценивать результаты применения данных правил к исследованию функций

·        Оценивать результаты своей деятельности в целом по исследованию свойств

      функций

·         Осознавать уровень усвоения данного процесса

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1.     Входной контроль: Исследование основных  понятий

1.1 ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИ ИХ ГРАФИКОВ

1. Найти область определения функции
2. Определить четность, нечетность функции
3. Определить периодичность функции
4. Найти промежутки монотонности функции
5. Найти экстремумы функции
6. Определить при необходимости дополнительные точки графика функции
7. Найти область значения функции
8. Построить график функции

            ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК ВОЗРАСТАНИЯ ФУНКЦИИ

Если производная функции положительна в каждой точке некоторого промежутка, то функция возрастает на данном промежутке

            ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ

Если производная функции отрицательна в каждой точке некоторого промежутка, то функция убывает на данном промежутке.

            ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА В ТОЧКЕ (ТОЧКА МАКСИМУМА И ТОЧКА МИНИМУМА)

Если функция непрерывна в некоторой точке и слева от неё производная функции имеет знак «+», а справа от неё производная имеет знак «-», то данная точка является точкой максимума функции на данном промежутке.

Если функция непрерывна в некоторой точке и слева от неё производная функции имеет знак «-», а справа от неё производная имеет знак «+», то данная точка является точкой минимума функции на данном промежутке.

2. Определить промежутки возрастания (убывания) точки минимума, максимума следующих функций:

            2.1.

т.к.  то функция убывает на всей оси ОДЗ.

            2.2.

                      

                            -критическая точка.

Функция возрастает на 

Функция убывает на

- точка максимума.

2.3.

                   

                     или

                       х = 0         х = 2  - критические точки

2.4.

Функция возрастает на

Функция убывает на

                                               

                           

- точка максимума                      - точка минимума

3. Выполнить задание с дальнейшей самопроверкой.

         3.1. Исследовать функцию на промежутки монотонности и точки экстремума.

Ответ: функция возрастает на

             функция убывает на 

              точка максимума

              точка минимума

            3.2. Определить промежутки убывания и точки максимума функции.

Ответ: функция убывает на

             точка максимума

            3.3. Определить промежутки возрастания и точки минимума функции.

Ответ: функция возрастает на

             точка минимума

4. Выходной контроль.

1. Вариант

1. Исследовать функцию на промежутки монотонности и экстремумы функции:

2. определить промежутки возрастания функции и точку минимума:

            2. Вариант

1. Исследовать функцию на промежутки монотонности и экстремумы функции:

2. Определить промежутки убывания и точку максимума:

            3 Вариант

1. Исследовать функцию на промежутки монотонности и экстремумы функции:

2. Определить промежутки возрастания и точки минимума:

4 Вариант

1. Исследовать функцию на промежутки монотонности и экстремумы функции:

2. Определить промежутки убывания и точки максимума:

Оценка: «3» - задание 1

              «4 и 5» - задание 1,2

Домашнее задание: Исследовать функцию и построить график: .