ПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО МАТЕМАТИКЕ 1-5 ЛАСС

ПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО МАТЕМАТИКЕ 1-5 ЛАСС

Сложение чисел.

• a+b=c, где a и b–слагаемые, c–сумма.
• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Вычитание чисел.

• a-b=c, где a–уменьшаемое, b–вычитаемое, c-разность.
•  Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Умножение чисел.

• a·b=c, где a и b-сомножители, c-произведение.
• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Деление чисел.

• a:b=c, где a-делимое, b-делитель, c-частное.
•  Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное.
•  Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

 Законы сложения.

•  a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
•  (a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

 Таблица сложения.

•  1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
•  1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Законы умножения.

•  a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
•  (a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).
•  (a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
• (а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

 Таблица умножения.

2·1=2;         3·1=3;         4·1=4;       5·1=5;         6·1=6;       7·1=7;          8·1=8;         9·1=9.

2·2=4;         3·2=6;         4·2=8;       5·2=10;       6·2=12;      7·2=14;       8·2=16;       9·2=18.

2·3=6;         3·3=9;         4·3=12;      5·3=15;       6·3=18;      7·3=21;       8·3=24;      9·3=27.

2·4=8;         3·4=12;       4·4=16;      5·4=20;       6·4=24;      7·4=28;       8·4=32;      9·4=36.

2·5=10;       3·5=15;       4·5=20;      5·5=25;       6·5=30;      7·5=35;       8·5=40;      9·5=45.

2·6=12;       3·6=18;       4·6=24;      5·6=30;       6·6=36;      7·6=42;       8·6=48;      9·6=54.

2·7=14;       3·7=21;       4·7=28;      5·7=35;       6·7=42;      7·7=49;       8·7=56;      9·7=63.

2·8=16;       3·8=24;       4·8=32;      5·8=40;       6·8=48;      7·8=56;       8·8=64;      9·8=72.

2·9=18;       3·9=27;       4·9=36;      5·9=45;       6·9=54;      7·9=63;       8·9=72;      9·9=81.

2·10=20;     3·10=30;     4·10=40;     5·10=50;     6·10=60;    7·10=70;     8·10=80;    9·10=90.

 Делители и кратные.

•  Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка. (Числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24-делители числа 24, т. к. 24 делится на каждое из них без остатка) 1-делитель любого натурального числа. Наибольший делитель любого числа – само это число.
•  Кратным натурального числа b называют натуральное число, которое делится без остатка на b. (Числа 24, 48, 72,…-кратны числу 24, так как делятся на 24 без остатка). Наименьшее кратное любого числа — само это число.

 Признаки делимости натуральных чисел.

•  Числа, употребляемые при счете предметов (1, 2, 3, 4,…) называют натуральными числами. Множество натуральных чисел обозначают буквой N.
•  Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют четными цифрами. Числа, запись которых оканчивается четными цифрами, называют четными числами.
•  Цифры 1, 3, 5, 7, 9 называют нечетными цифрами. Числа, запись которых оканчивается нечетными цифрами, называются нечетными числами.
•  Признак делимости на число 2. Все натуральные числа, запись которых оканчивается четной цифрой, делятся на 2.
•  Признак делимости на число 5. Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, делятся на 5.
•  Признак делимости на число 10. Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0, делятся на 10.
•  Признак делимости на число 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.
•  Признак делимости на число 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.
•  Признак делимости на число 4. Если число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4, то и само данное число делится на 4.
• Признак делимости на число 11. Если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11, то и само число делится на 11.

 Простые и составные числа.

•  Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.
•  Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
•  Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.
• Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

НОД (Наибольший общий делитель).

•  Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.
•  Наибольший общий делитель данных чисел равен произведению общих простых множителей в разложениях этих чисел. Пример. НОД(24, 42)=2·3=6, т. к. 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, их общие простые множители 2 и 3.
•  Если натуральные числа имеют только один общий делитель-единицу, то эти числа называют взаимно простыми.

 НОК (Наименьшее общее кратное).

•  Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.
•  Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.
•  Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

 Обыкновенная дробь.

b-знаменатель дроби, показывает, на сколько равных частей разделили;

a-числитель дроби, показывает, сколько таких частей взяли. Дробная черта означает знак деления.

Иногда вместо горизонтальной дробной черты ставят наклонную, и обыкновенная дробь записывается так: a/b.

• У правильной дроби числитель меньше знаменателя.
• У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен знаменателю.

 Основное свойство дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

 Сокращение обыкновенной дроби.

Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Смешанное число.

•  Число, состоящее из целой части и дробной части, называется смешанным числом.
•  Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного числа, надо разделить числитель дроби на знаменатель, тогда неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток – числителем дробной части, а знаменатель останется тот же.
•  Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить целую часть смешанного числа на знаменатель, к полученному результату прибавить числитель дробной части и записать в числителе неправильной дроби, а знаменатель оставить тот же.

Координатный луч.

• Луч Ох с началом отсчета в точке О,  на котором указаны единичный отрезок и направление, называют координатным лучом.
• Число, соответствующее точке координатного луча, называется координатой этой точки. Например, А(3). Читают: точка А с координатой 3.

 Приведение обыкновенных дробей к наименьшему общему знаменателю.

•  Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.
•  Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

 Сравнение обыкновенных дробей.

•  Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.
•  Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.
•  Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.

 Действия над обыкновенными дробями.

Сложение  и  вычитание обыкновенных дробей.

•  Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
•  Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.
•  Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.
•  Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
•  При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.

 Умножение обыкновенных дробей.

•  Произведение двух обыкновенных дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей.
•  Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить тот же.
•  Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными числами.
•  При умножении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.
• Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

 Деление обыкновенных дробей.

•  Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.
•  При делении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.
•  Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это натуральное число, а числитель оставить тот же. ((2/7):5=2/(7·5)=2/35).
•  Чтобы найти число по его дроби, нужно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.