Презентация для подготовки к ОГЭ по математике "Задание 23. Окружность"

• 1 слайд

  Геометрия на ОГЭ.
  Задача № 23.
  «Окружность».
  Учитель: Бондарева В.В.
  Экономический лицей
  ФГБОУ ВО РЭУ им. Г. В. Плеханова
  

• 2 слайд

  1. Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 24, а расстояние от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.
  

• 3 слайд

  Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 24, а расстояние от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.
  А
  В
  С
  D
  О
  Н
  Т
  Дано: окр (О,r), АВ, СD- хорды, АВ=24,
  OHꓕСD, ОТꓕАВ, ОН=12, ОТ=16
  Найти: CD
  Решение.
  1) Рассмотрим треугольник АОВ- равнобедренный, так как ОА=ОВ=r, тогда высота ОТ является и медианой, т.е. АТ=ТВ=24:2=12.
  2)Треугольник АОТ- прямоугольный, по т.Пифагора
  АО=20=ОВ=r=ОС=ОD
  3) Аналогично, треугольник СОD-равнобедренный, СО=ОD, тогда ОH-высота,
  является и медианой, т.е. СН=НD.
  4) Рассмотрим треугольник прямоугольный СОН, по т.Пифагора найдем СН
  СН=16=НD
  5) Таким образом СD=16·2=32
  Ответ: СD=32
  

• 4 слайд

  2. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 73° и 77°.
  Найдите BC, если радиус окружности описанной около треугольника ABC,
  равен 9.
  

• 5 слайд

  Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 73° и 77°.
  Найдите BC, если радиус окружности описанной около треугольника ABC,
  равен 9.
  А
  С
  В
  О
  Дано: окр(О, R), R=9, угол В=
  угол С=
  Найти: ВС
  Решение.
  Зная, что сумма углов треугольника равна
  найдем градусную меру угла А
  2) По теореме синусов
  Ответ: ВС=4,5
  

• 6 слайд

  3. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через
  вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности,
  если AB = 15, AC = 25.
  

• 7 слайд

  Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через
  вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности,
  если AB = 15, AC = 25.
  Дано: окр (О,R), ОϵАС, Сϵ окр, Вϵ окр,
  АВ-касательная, АВ=15, АС=25
  Найти: d
  Решение.
  1) По свойству отрезков касательной и секущей
  А
  В
  С
  О
  М
  АМ=9
  2) СМ=АС-АМ=25-9=16=d
  Ответ: d=16
  

• 8 слайд

  4. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 2:3:7. Найдите радиус окружности,
  если меньшая из сторон равна 16.
  

• 9 слайд

  Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 2:3:7. Найдите радиус окружности,
  если меньшая из сторон равна 16.
  Дано: ∆ АВС, окр (О, R), А,В,С ϵ окр,
  
  А
  В
  С
  О
  АВ=16
  Найти: R
  Решение.
  Градусная мера окружности равна
  Тогда вычислим градусные меры дуг
  3) По теореме синусов
  2) Угол АСВ опирается на дугу АВ, вписанный, поэтому градусная мера угла АСВ=
  половине градусной меры дуги АВ=
  R=16
  Ответ: R=16
  

• 10 слайд

  5. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP
  равны 49°, 69° и 62°.
  

• 11 слайд

  Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP
  равны 49°, 69° и 62°.
  А
  В
  С
  M
  К
  P
  Дано: ∆ АВС, окр(О, r), М,K,P ϵ окр,
  
  Найти: углы ∆ АВС
  Решение
  Угол AMP — угол между касательной и хордой,
  следовательно, его величина равна половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой, то есть дуги MP. Угол MKP — вписанный, следовательно, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, то есть дуги MP.
  Тогда
  По свойству касательных AM = AP, BM = BK , CP = CK . Значит, треугольники
   AMP, BMK и CPK равнобедренные
  2) Аналогично,
  Ответ:
  

• 12 слайд

  6.Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если
  AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.
  

• 13 слайд

  Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P
  соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.
  В
  С
  А
  Р
  К
  Дано: окр(О, R), ∆ АВС, В,С ϵ окр,
  АВ ∩ окр=К, АС ∩ окр =Р, АК=18,
  АС ˃ ВС в 1,2 раза
  Найти: КР
  Решение.
  Рассмотрим четырехугольник ВСРК- вписанный в окружность,
  значит сумма противоположных углов равна 1800, т.е.
  2) Рассмотрим треугольники АВС и АРК: угол А – общий,
  Следовательно, эти треугольники подобны по двум углам.
  Запишем пропорциональность сторон
  Ответ: КР=15
  

• 14 слайд

  7.В треугольнике ABC угол B равен 72°, угол C равен 63°,
  Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
  ВС=2.
  

• 15 слайд

  В треугольнике ABC угол B равен 72°, угол C равен 63°,
  Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
  ВС=
  А
  В
  С
  72°
  63°
  Дано: ∆АВС,
  Найти: R
  Решение.
  Зная, что сумма углов треугольника равна 1800,
  найдем градусную меру угла А
  2) По теореме синусов:
  Ответ: R=2
  

• 16 слайд

  8.В треугольнике ABC угол C равен 90°, вписанной окружности равен 2.
  площадь треугольника ABC, если 12. АB=12
  

• 17 слайд

  В треугольнике ABC угол C равен 90°, вписанной окружности равен 2.
  площадь треугольника ABC, если 12. АB=12
  Дано: ∆АВС,
  окр(О,r), r=2, АВ=12
  Найти:
  Решение.
  1) По свойству отрезков касательных, проведенных
  из одной точки: МС=СК=r=2, а также АМ=АF,BF=BK
  А
  В
  С
  О
  М
  
  К
  F
  2)
  3)
  Ответ:
  

• 18 слайд

  9.Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH =14