Презентация к проекту "Пифагоровы триады и их свойства" к проекту, выставленному на защиту конкурса "Шаг в науку" МАН "Искатель" Республики Крым

• 1 слайд

  Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым
  Малая академия наук «Искатель»
   Конкурс « Шаг в науку»
  ПИФАГОРОВЫ ТРИАДЫ И ИХ СВОЙСТВА
  Научный руководитель:
  Глухов Виктор Владимирович
  МБОУ «Новопокровская школа»
  Работу выполнил:
  Джеббаров Ферат,
  обучающийся 8 класса
  МБОУ «Новопокровская школа»
  Красногвардейского района
  Симферополь 2016
  

• 2 слайд

  Проблема:
  нахождение целочисленных решение пифагорова уравнения (поиск пифагоровых триад) и изучение их свойств и способов практического применения
  
  Цели:
  - рассмотреть способы и формулы нахождения целочисленных решений для уравнения Пифагора ;
  -найти закономерности в образовании пифагоровых триад, изучить их свойства;
  -исследовать закономерности расположения рациональных пар, соответствующих пифагоровой триаде на единичной окружности;
  -найти возможность вычисления приближённых значений 𝟐 и 𝟑 геометрическим способом;
  - совершенствование навыков программирования.
  

• 3 слайд

  Классическая картинка из учебника истории, нас впервые знакомит с пифагоровыми тройками и их практическим применением для построения прямого угла древними землемерами Египта . Она заставляет задуматься , а много ли существует таких троек?
  Учителя школы утверждают, что в задачниках на свойство теоремы Пифагора применяются от силы десять – двадцать таких троек.
  А учителя истории рассказывают, что археологи доказали, что Пирамиды фараона Снофру (XXVI век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. 
  А ещё они утверждают, что древние математики задолго до Пифагора умели составлять эти тройки и использовать их в строительстве.
  
  

• 4 слайд

  В Интернете нам попалась картинка с большими числами пифагоровой триады да ещё и с информацией , что вычислили её более 4000 тысяч лет назад, и применяли эти тройки для астрономических измерений… границы нашего любопытства не было предела.
  Постепенно на кружке программирования мы познавали свойства пифагоровых троек и накапливали материал и вычисления для этого проекта.
  

• 5 слайд

  Простейшей программой с циклами было вычислено множество всех пифагоровых триад в порядке возрастания её большего члена m и не превышающего заданного числа.
  Оказалось, что для m = 5000, число пифагоровых троек равно 5681.
  Для m = 1000, число пифагоровых троек равно 881.
  
  Большое количество триад.
  Но таким способом древние математики не могли вычислять. Да и алгоритм вычислений не рациональный.
  
  

• 6 слайд

• 7 слайд

• 8 слайд

• 9 слайд

  «Дерево примитивных пифагоровых троек  » впервые открыто в 1934 году  шведским математиком Берггреном. В 1963 году установлено, что при умножении справа любой из трёх матриц
  
  на  вектор-столбец, компоненты которого составляют примитивную пифагорову тройку, результатом будет вектор-столбец, компоненты которого составляют другую примитивную пифагорову тройку.
  

• 10 слайд

  Мы исследовали это дерево и обнаружили такую же хаотичность, как и в предыдущем примере.
  

• 11 слайд

  Предыдущие исследования позволили нам найти логику построения пифагоровых триад .
  Написанная нами программа при постоянном числе b и растущем числе a позволила заметить нам чёткую закономерность убывания точки от угла близкого к 90 градусам к углу близкому к нулю с уменьшением шага убывания.
  Написанная программа позволила каждой триаде и соответствующей ей рациональной точке вычислять градусную меру угла поворота
  

• 12 слайд

  Вычисление градусной меры , соответствующей рациональной точке триады, позволило нам разработать методику вычисления приближённого значения иррационального числа 𝟐 . Это мы делаем двумя специализированными программами.
  

• 13 слайд

  Для нахождения приближённого значения 𝟑 в программе использовалось свойство, что больший катет прямоугольного треугольника с углом 60 градусов в 𝟑 раз больше меньшего катета.
  Очень интересно было наблюдать рост плотности точек при уменьшении угла.
  Через триаду
  (4069919635; 7049405748; 8139924277),
  соответствующую 60 градусам ,
  𝟑  1,7320749253566
  с точностью 2,4 *10-5.
  
  А через триаду
  (26308740415; 15189415032; 30378745057),
  соответствующую 30 градусам,
  𝟑  1,73204434532696 с точностью
  6,4 *10-6, на порядок выше,
  чем через угол 60 градусов.
  
  

• 14 слайд

  О не примитивных пифагоровых триадах.
  Для каждой не примитивной триады найдётся коэффициент k, чтобы триада могла быть представлена в виде (kx;ky;kz), , где (x;y;z) соответствующая основная, примитивная триада.
  Написанные нами программы вычисления угловых мер, показали , что при маленькой переналадке можно получать множество триад, в котором между каждыми двумя
  примитивными триадами на единичной окружности будет стоять не примитивная.
  Анализ результатов Приложения С к проекту даёт нам основание предполагать, что в астрономических наблюдениях древние шумеры использовали и не примитивные триады.
  

• 15 слайд

  Анализ результатов выполнения программ позволил нам найти два интересных свойства пифагоровых триад
  Первое свойство. При b = 1 и натуральном a > b множество триад (x;y;z) вычисляемых по формуле ( а2 - 1 ; 2а; а2 + 1 ), является решением системы двух диафантовых уравнений:
  𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒚 𝟐 =𝟐𝒙+𝟐𝒛
  Например, (24;10; 26 ) или (899; 60; 901)
  
  Второе свойство. При натуральном a и b таких что a – b = 1 множество триад (x;y;z) вычисляемых по формуле ( а + b ; 2аb; а2 + b2 ) и является решением системы двух диафантовых уравнений
  𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 =𝒚+𝒛
  Например: (17; 144; 145) или ( 55; 1512; 1513 ) .
  

• 16 слайд

  В заключение скажу, что все исследования пифагоровых триад мы проводили с помощью простейших программ на языке Pascal ABC Net.
  Это были первые наши шаги в программировании.
  Этот проект обозначил нам новые задачи, но для их решения нужно овладевать более совершенные языки. Сейчас перед нами стоит задача изучения языков Delphi или СИ++.
  Спасибо за внимание.