Презентация на тему «Производная и её применение»

• 1 слайд

  ГАОУ ВПО «Альметьевский государственный институт муниципальный службы»
  факультет СПО
  Производная и ее применения
  
  Автор : Хадеева З.М.
  
  Альметьевск 2014г.
  

• 2 слайд

  Преподавание математики не может стоять на должном уровне, а знания обучающихся не будут достаточно полными и прочными, если в работе преподавателя отсутствует система повторительно-обобщающих уроков. Правильно организованное заключительное повторение способствует объединению в целое материала, выделению общих идей, систематизирует знание учащихся путем раскрытия новых связей и углубления уже известного. При этом знания учащихся уточняются, становятся более прочными и осознанными, повышается их общая математическая культура.
  
  

• 3 слайд

  Определение. Производной функции y=f(x), заданной на некотором интервале (a;b), в точке х этого интервала, называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
  Производную функции f(x) обозначают f '(x) и говорят: «эф штрих от икс». Следовательно,
  Понятие производной
  

• 4 слайд

  Алгоритм нахождения производной (для функции y=f(x)).
  
  
  
  Зафиксировать значение х, найти f(x).
  Дать аргументу х приращение ∆х, перейти в новую точку х+∆х, найти f(x+∆x).
  Найти приращение функции: ∆у=f(x+∆x)–f(x).
  Составим отношения .
  Вычислить
  Этот предел и есть f '(x).
  
  

• 5 слайд

  Пример. Найти производную функции у=2х+3 в точке х=3
  

• 6 слайд

  Физический смысл производной
  
  Если при прямолинейном движении путь s, пройденной точкой, есть функция от времени t, т.е. s=f(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t)=f '(t), этот факт выражает механический смысл производной.
  
  

• 7 слайд

  пример
  Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до точки В этой прямой изменяется по закону (t – время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет равно 36 м/ ?
  Решение. Из механического смысла производной имеем скорость – это производная пути по времени. Скорость изменяется по закону . Так как ускорение – это производная скорости по времени, то ускорение изменяется по закону
  , с другой стороны ускорение равно 36 м/ . Решим уравнение , t=5 c.
  Ответ: через 5 секунд.
  
  

• 8 слайд

  Геометрический смысл производной
  
  Если в точке к графику функции y=f(x) проведена касательная, то число f '( ) есть тангенс угла альфа между этой касательной и положительным направлением оси ОХ, т.е. f '( )=tgα. Этот угол называю углом наклона касательной. Этот факт выражает геометрический смысл производной.
  
  

• 9 слайд

  Пример
  На рисунке изображен график функции y=f(x)
  и касательная к нему в точке с абсциссой .
  Найдите значение производной функции f(x)
  в точке .
  
  Рис.1
  

• 10 слайд

  Решение.
  Значение производной f(x) в точке есть значение тангенса угла, образованного касательной к графику функции с положительным направлением оси ОХ. Из треугольника АВС
  
  
  Ответ: 1,75.
  (рис.1).
  

• 11 слайд

  Уравнение касательной к графику функции
  Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке графика с абсциссой :
  . Если функция f(x) не имеет производной в точке , но непрерывна в этой точке, то у графика функции в этой точке либо вообще нет касательной, либо есть вертикальная касательная.
  
  

• 12 слайд

  
  
  1. Обозначить абсциссу точки касания .
  2.Вычислить f( ).
  3.Найти f '(x) и вычислить f '( ).
  4.Подставить найденные числа , f( ), f '( ) в общее уравнение касательной
  y = f( ) = f '( )(x – ).
  
  Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)
  

• 13 слайд

  Вычисление производных
  
  
  Формулами дифференцирования обычно называют формулы для нахождения производных конкретных функций.
  
  

• 14 слайд

  Формулы дифференцирования
  
  

• 15 слайд

  Формулы дифференцирования
  

• 16 слайд

  Правила дифференцирования
  
  Теорема 1.
  Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то и их сумма имеет производную в точке x, причем производная суммы равна сумме производных:
  
  

• 17 слайд

  Теорема 2
  Если функция y=f(x) имеет производную в точке х, то и функция y=kf(x) имеет производную в точке х, причем
  
  

• 18 слайд

  Теорема 3
  . Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то и их произведение имеет производную в точке x, причем
  
  

• 19 слайд

  Теорема 4
  Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x и в этой точке g(x) ≠0,
  то функция
  
  имеет производную в точке х, причем
  
  

• 20 слайд

  Теорема 5
  Если функция f имеет производную в точке
  а функция имеет производную в точке ,
  то сложная функция также имеет производную в точке , причем
  
  

• 21 слайд

  Примеры. Найти производные функций
  .
  
  
  1.
  
  2.
  
  3.
  
  
  
  
  
  4.
  
  
  
  
  
  
  
  5.
  Решения
  1.
  
  2.
  
  3.
  
  
  
  
  
  4.
  
  
  
  
  
  
  
  5.
  
  
  

• 22 слайд

  Применение производной при исследовании функции
  
  Пример 1.
  Функция y=f(x) определена на промежутке (-5;9). На рисунке 2 изображен график производной этой функции. Определите число касательных к графику функции y=f(x), которые наклонены под углом
  к положительному направлению оси абсцисс.
  Рис.2
  

• 23 слайд

  Решение.
  Рис.3
  Пусть α –угол касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке , и положительным направлением оси абсцисс, тогда .
  Так как , то для решения задачи достаточно определить количество точек пересечения графика функции и прямой у=1. Таких точек четыре.
  У=1
  

• 24 слайд

  Пример 2
  На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x) найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой у=1 или совпадает с ней.
  Решение. Так как касательная параллельна прямой у=1, то ее угловой коэффициент равен 0 и тогда производная равна 0. По графику (рис.2) определяем, что производная обращается в ноль при х=-4; х=-0,5; х=3; х=7.
  
  Рис.2
  

• 25 слайд

  Рис.4
  Ответ: -4; -0,5; 3; 7.
  

• 26 слайд

  Пример 3.
  На рисунке 5 изображен график функции y=f(x), определенной на промежутке . Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) положительна.
  Рис.5
  

• 27 слайд

  Решение.
  Производная функции положительна в тех целых точках, которые принадлежат какому-нибудь промежутку возрастания, за исключением точек, в которых производная равна нулю (в этих точках касательная к графику функции параллельна оси ОХ) или не существует. По рисунку 2 определяем абсциссы таких точек: -4; -3; 2; 3; 4. Таких точек пять.
  
  Рис.6
  

• 28 слайд

  Пример 4.
  На рисунке 5 изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
  Решение. Производная функции отрицательна в тех целых точках, которые принадлежат какому-нибудь промежутку убывания функции, за исключением точек, в которых производная равна нулю (в этих точках касательная к графику функции параллельна оси ОХ) или не существует. По рисунку определяем абсциссы таких точек: -1; 0; 6; 7; 8. Таких точек пять.
  
  Рис.5
  

• 29 слайд

  Рис.7
  Ответ:5
  

• 30 слайд

  Пример 5.
  На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите промежутки возрастания функции y=f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
  Решение. Промежуткам возрастания функции соответствуют промежутки, на которых производная данной функции положительна. По графику определяем, что наибольший из этих промежутков имеет длину 4.
  
  Рис.2
  

• 31 слайд

  Рис.8
  4
  

• 32 слайд

  Пример 6.
  На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите промежутки убывания функции y=f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
  Решение. Промежуткам убывания функции соответствуют промежутки, на которых производная данной функции отрицательна. По графику определяем, что наибольший из этих промежутков имеет длину 3,5.
  
  Рис.2
  

• 33 слайд

  Рис.9
  3,5
  

• 34 слайд

  Пример 7.
  На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите количество точек максимума функции y=f(x).
  Решение. Точек максимума здесь две, так как график производной 4 раза меняет знак на интервале (-5;9), из них два раза с плюса на минус. Это и есть точки максимума.
  
  Рис.2
  

• 35 слайд

  Рис.10
  

• 36 слайд

  Пример 8.
  На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите точки минимума функции y=f(x).
  Решение. На графике производной видно, что на интервале (-5;9)производная 4 раза меняет знак в точках х=-4; х=-0,5; х=3; х=7. Причем в точках х=-4; х=3 он меняется с минуса на плюс. Значит, эти точки являются точками минимума, так как в точках х=-4 и х=3 характер монотонности функции f(x) меняется с убывания на возрастание.
  
  Рис.2
  

• 37 слайд

  Рис.11
  -4
  3
  

• 38 слайд

  Пример 9.
  На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите количество точек экстремума функции y=f(x).
  Решение. На промежутке (-5;9) точек экстремума функции y=f(x) ровно четыре: -4; -0,5; 3; 7.
  
  Рис.2
  

• 39 слайд

  Рис.12
  -3
  -0,5
  3
  7
  

• 40 слайд

  Пример 10
  На рисунке 13 изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;4). Укажите абсциссы точек, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наименьший и наибольший угловой коэффициент.
  
  Рис.13
  

• 41 слайд

  Решение.
  Угловой коэффициент касательной . По графику определяем, что наименьшее значение функция достигает при . А наибольшее значение функция достигает при .
  
  Рис.14
  -2
  

• 42 слайд

  Пример 11.
  На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой у=-4х+3 или совпадает с ней.
  Касательная к графику функции y=f(x) в некоторой точке параллельна прямой у=-4х+3, если значение производной функции в этой точке равно угловому коэффициенту прямой, то есть . По графику (рис. 15) видно, что принимает значение -4 в одной точке.
  Рис.2
  

• 43 слайд

  у=-4
  Рис.15
  

• 44 слайд

  Пример 12.
  К графику функции y=f(x) проведена касательная в точке с абсциссой . На рисунке 16 изображен график производной этой функции. Определите градусную меру угла наклона касательной.
  
  Рис. 16
  Решение. Пусть
  – угол наклона данной касательной к оси абсцисс. Так как
  , то
  .
  
  
  Отсюда получаем
  .
  Ответ:
  .
  

• 45 слайд

  Пример 14.
  На изображен график функции y=f(x), определенной на промежутке (-5;9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-7.
  Решение. Так как касательные параллельны прямой у=-7, то они параллельны оси ОХ, следовательно, производные функции f(x) в точках касания должны ровняться нулю. Это стационарные точки. На рисунке все они являются точками экстремума (максимумами или минимумами). Их три.
  
  Рис.5
  

• 46 слайд

  Рис.17 Ответ: 3.
  
  

• 47 слайд

  Историческая справка
  В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.
  
  
  

• 48 слайд

  Русский термин «производная функции» впервые употребил В. Г. Болтянский,
  Что такое дифференцирование? В. И. Висковатов .
  В. Г. Болтянский,
  

• 49 слайд

  Общее понятие производной было сделано независимо друг от друга почти одновременно английским физиком и математиком И.Ньютоном  и немецким философом и математиком Г. Лейбницом.
  И.Ньютон
  Г. Лейбниц
  

• 50 слайд

  Конец XVI – середина XVII веков ознаменовались огромным интересом ученых к объяснению движения и нахождению законов, которым оно подчиняется. Как никогда остро встали вопросы об определении и вычислении скорости движения и его ускорения. Решение этих вопросов привело к установлению связи между задачей о вычислении скорости движения тела и задачей проведения касательной к кривой, описывающей зависимость пройденного расстояния от времени. английским физиком и математиком И.Ньютоном. немецким философом и математиком Г.Лейбницем.
  
  

• 51 слайд

  Спасибо за внимание!
  

• 52 слайд

  Рис.2
  
  

• 53 слайд

  Рис.1
  

• 54 слайд

  Рис.5