Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация на тему «Производная и её применение»

Презентация на тему «Производная и её применение»


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика
ГАОУ ВПО «Альметьевский государственный институт муниципальный службы» факуль...
Преподавание математики не может стоять на должном уровне, а знания обучающих...
Определение. Производной функции y=f(x), заданной на некотором интервале (a;b...
Алгоритм нахождения производной (для функции y=f(x)). Зафиксировать значение...
Пример. Найти производную функции у=2х+3 в точке х=3
Если при прямолинейном движении путь s, пройденной точкой, есть функция от вр...
пример Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до то...
Если в точке к графику функции y=f(x) проведена касательная, то число f '( )...
Пример На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точк...
Решение. Значение производной f(x) в точке есть значение тангенса угла, образ...
Уравнение касательной к графику функции Уравнение касательной к графику функц...
1. Обозначить абсциссу точки касания . 2.Вычислить f( ). 3.Найти f '(x) и вы...
Вычисление производных Формулами дифференцирования обычно называют формулы дл...
Формулы дифференцирования
Формулы дифференцирования
Правила дифференцирования Теорема 1. Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют произ...
Теорема 2 Если функция y=f(x) имеет производную в точке х, то и функция y=kf(...
Теорема 3 . Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то и их...
Теорема 4 Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x и в этой т...
Теорема 5 Если функция f имеет производную в точке а функция имеет производн...
Примеры. Найти производные функций . 1. 2. 3. 4. 5. Решения 1. 2. 3. 4. 5.
Применение производной при исследовании функции Пример 1. Функция y=f(x) опре...
Решение. Рис.3 Пусть α –угол касательной, проведенной к графику функции y=f(x...
Пример 2 На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x) найдите абс...
Рис.4 Ответ: -4; -0,5; 3; 7.
Пример 3. На рисунке 5 изображен график функции y=f(x), определенной на проме...
Решение. Производная функции положительна в тех целых точках, которые принадл...
Пример 4. На рисунке 5 изображен график функции y=f(x), определенной на интер...
Рис.7 Ответ:5
Пример 5. На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x), определен...
Рис.8 4
Пример 6. На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x), определен...
Рис.9 3,5
Пример 7. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенно...
Рис.10
Пример 8. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенно...
Рис.11 -4 3
Пример 9. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенно...
Рис.12 -3 -0,5 3 7
Пример 10 На рисунке 13 изображен график производной функции y=f(x), определе...
Решение. Угловой коэффициент касательной . По графику определяем, что наимень...
Пример 11. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенн...
у=-4 Рис.15
Пример 12. К графику функции y=f(x) проведена касательная в точке с абсциссой...
Пример 14. На изображен график функции y=f(x), определенной на промежутке (-5...
Рис.17 Ответ: 3.
Историческая справка В классическом дифференциальном исчислении производная ч...
Русский термин «производная функции» впервые употребил В. Г. Болтянский, Что...
Общее понятие производной было сделано независимо друг от друга почти одновре...
Конец XVI – середина XVII веков ознаменовались огромным интересом ученых к об...
Рис.2
Рис.1
Рис.5
1 из 54

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 ГАОУ ВПО «Альметьевский государственный институт муниципальный службы» факуль
Описание слайда:

ГАОУ ВПО «Альметьевский государственный институт муниципальный службы» факультет СПО Производная и ее применения Автор : Хадеева З.М. Альметьевск 2014г.

№ слайда 2 Преподавание математики не может стоять на должном уровне, а знания обучающих
Описание слайда:

Преподавание математики не может стоять на должном уровне, а знания обучающихся не будут достаточно полными и прочными, если в работе преподавателя отсутствует система повторительно-обобщающих уроков. Правильно организованное заключительное повторение способствует объединению в целое материала, выделению общих идей, систематизирует знание учащихся путем раскрытия новых связей и углубления уже известного. При этом знания учащихся уточняются, становятся более прочными и осознанными, повышается их общая математическая культура.

№ слайда 3 Определение. Производной функции y=f(x), заданной на некотором интервале (a;b
Описание слайда:

Определение. Производной функции y=f(x), заданной на некотором интервале (a;b), в точке х этого интервала, называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производную функции f(x) обозначают f '(x) и говорят: «эф штрих от икс». Следовательно,

№ слайда 4 Алгоритм нахождения производной (для функции y=f(x)). Зафиксировать значение
Описание слайда:

Алгоритм нахождения производной (для функции y=f(x)). Зафиксировать значение х, найти f(x). Дать аргументу х приращение ∆х, перейти в новую точку х+∆х, найти f(x+∆x). Найти приращение функции: ∆у=f(x+∆x)–f(x). Составим отношения . Вычислить Этот предел и есть f '(x).

№ слайда 5 Пример. Найти производную функции у=2х+3 в точке х=3
Описание слайда:

Пример. Найти производную функции у=2х+3 в точке х=3

№ слайда 6 Если при прямолинейном движении путь s, пройденной точкой, есть функция от вр
Описание слайда:

Если при прямолинейном движении путь s, пройденной точкой, есть функция от времени t, т.е. s=f(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t)=f '(t), этот факт выражает механический смысл производной.

№ слайда 7 пример Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до то
Описание слайда:

пример Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до точки В этой прямой изменяется по закону (t – время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет равно 36 м/ ? Решение. Из механического смысла производной имеем скорость – это производная пути по времени. Скорость изменяется по закону . Так как ускорение – это производная скорости по времени, то ускорение изменяется по закону , с другой стороны ускорение равно 36 м/ . Решим уравнение , t=5 c. Ответ: через 5 секунд.

№ слайда 8 Если в точке к графику функции y=f(x) проведена касательная, то число f '( )
Описание слайда:

Если в точке к графику функции y=f(x) проведена касательная, то число f '( ) есть тангенс угла альфа между этой касательной и положительным направлением оси ОХ, т.е. f '( )=tgα. Этот угол называю углом наклона касательной. Этот факт выражает геометрический смысл производной.

№ слайда 9 Пример На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точк
Описание слайда:

Пример На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке . Рис.1

№ слайда 10 Решение. Значение производной f(x) в точке есть значение тангенса угла, образ
Описание слайда:

Решение. Значение производной f(x) в точке есть значение тангенса угла, образованного касательной к графику функции с положительным направлением оси ОХ. Из треугольника АВС Ответ: 1,75. (рис.1).

№ слайда 11 Уравнение касательной к графику функции Уравнение касательной к графику функц
Описание слайда:

Уравнение касательной к графику функции Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке графика с абсциссой : . Если функция f(x) не имеет производной в точке , но непрерывна в этой точке, то у графика функции в этой точке либо вообще нет касательной, либо есть вертикальная касательная.

№ слайда 12 1. Обозначить абсциссу точки касания . 2.Вычислить f( ). 3.Найти f '(x) и вы
Описание слайда:

1. Обозначить абсциссу точки касания . 2.Вычислить f( ). 3.Найти f '(x) и вычислить f '( ). 4.Подставить найденные числа , f( ), f '( ) в общее уравнение касательной y = f( ) = f '( )(x – ). Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)

№ слайда 13 Вычисление производных Формулами дифференцирования обычно называют формулы дл
Описание слайда:

Вычисление производных Формулами дифференцирования обычно называют формулы для нахождения производных конкретных функций.

№ слайда 14 Формулы дифференцирования
Описание слайда:

Формулы дифференцирования

№ слайда 15 Формулы дифференцирования
Описание слайда:

Формулы дифференцирования

№ слайда 16 Правила дифференцирования Теорема 1. Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют произ
Описание слайда:

Правила дифференцирования Теорема 1. Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то и их сумма имеет производную в точке x, причем производная суммы равна сумме производных:

№ слайда 17 Теорема 2 Если функция y=f(x) имеет производную в точке х, то и функция y=kf(
Описание слайда:

Теорема 2 Если функция y=f(x) имеет производную в точке х, то и функция y=kf(x) имеет производную в точке х, причем

№ слайда 18 Теорема 3 . Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то и их
Описание слайда:

Теорема 3 . Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то и их произведение имеет производную в точке x, причем

№ слайда 19 Теорема 4 Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x и в этой т
Описание слайда:

Теорема 4 Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x и в этой точке g(x) ≠0, то функция имеет производную в точке х, причем

№ слайда 20 Теорема 5 Если функция f имеет производную в точке а функция имеет производн
Описание слайда:

Теорема 5 Если функция f имеет производную в точке а функция имеет производную в точке , то сложная функция также имеет производную в точке , причем

№ слайда 21 Примеры. Найти производные функций . 1. 2. 3. 4. 5. Решения 1. 2. 3. 4. 5.
Описание слайда:

Примеры. Найти производные функций . 1. 2. 3. 4. 5. Решения 1. 2. 3. 4. 5.

№ слайда 22 Применение производной при исследовании функции Пример 1. Функция y=f(x) опре
Описание слайда:

Применение производной при исследовании функции Пример 1. Функция y=f(x) определена на промежутке (-5;9). На рисунке 2 изображен график производной этой функции. Определите число касательных к графику функции y=f(x), которые наклонены под углом к положительному направлению оси абсцисс. Рис.2

№ слайда 23 Решение. Рис.3 Пусть α –угол касательной, проведенной к графику функции y=f(x
Описание слайда:

Решение. Рис.3 Пусть α –угол касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке , и положительным направлением оси абсцисс, тогда . Так как , то для решения задачи достаточно определить количество точек пересечения графика функции и прямой у=1. Таких точек четыре. У=1

№ слайда 24 Пример 2 На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x) найдите абс
Описание слайда:

Пример 2 На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x) найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой у=1 или совпадает с ней. Решение. Так как касательная параллельна прямой у=1, то ее угловой коэффициент равен 0 и тогда производная равна 0. По графику (рис.2) определяем, что производная обращается в ноль при х=-4; х=-0,5; х=3; х=7. Рис.2

№ слайда 25 Рис.4 Ответ: -4; -0,5; 3; 7.
Описание слайда:

Рис.4 Ответ: -4; -0,5; 3; 7.

№ слайда 26 Пример 3. На рисунке 5 изображен график функции y=f(x), определенной на проме
Описание слайда:

Пример 3. На рисунке 5 изображен график функции y=f(x), определенной на промежутке . Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) положительна. Рис.5

№ слайда 27 Решение. Производная функции положительна в тех целых точках, которые принадл
Описание слайда:

Решение. Производная функции положительна в тех целых точках, которые принадлежат какому-нибудь промежутку возрастания, за исключением точек, в которых производная равна нулю (в этих точках касательная к графику функции параллельна оси ОХ) или не существует. По рисунку 2 определяем абсциссы таких точек: -4; -3; 2; 3; 4. Таких точек пять. Рис.6

№ слайда 28 Пример 4. На рисунке 5 изображен график функции y=f(x), определенной на интер
Описание слайда:

Пример 4. На рисунке 5 изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Решение. Производная функции отрицательна в тех целых точках, которые принадлежат какому-нибудь промежутку убывания функции, за исключением точек, в которых производная равна нулю (в этих точках касательная к графику функции параллельна оси ОХ) или не существует. По рисунку определяем абсциссы таких точек: -1; 0; 6; 7; 8. Таких точек пять. Рис.5

№ слайда 29 Рис.7 Ответ:5
Описание слайда:

Рис.7 Ответ:5

№ слайда 30 Пример 5. На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x), определен
Описание слайда:

Пример 5. На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите промежутки возрастания функции y=f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежуткам возрастания функции соответствуют промежутки, на которых производная данной функции положительна. По графику определяем, что наибольший из этих промежутков имеет длину 4.

№ слайда 31 Рис.8 4
Описание слайда:

Рис.8 4

№ слайда 32 Пример 6. На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x), определен
Описание слайда:

Пример 6. На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите промежутки убывания функции y=f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежуткам убывания функции соответствуют промежутки, на которых производная данной функции отрицательна. По графику определяем, что наибольший из этих промежутков имеет длину 3,5. Рис.2

№ слайда 33 Рис.9 3,5
Описание слайда:

Рис.9 3,5

№ слайда 34 Пример 7. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенно
Описание слайда:

Пример 7. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите количество точек максимума функции y=f(x). Решение. Точек максимума здесь две, так как график производной 4 раза меняет знак на интервале (-5;9), из них два раза с плюса на минус. Это и есть точки максимума. Рис.2

№ слайда 35 Рис.10
Описание слайда:

Рис.10

№ слайда 36 Пример 8. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенно
Описание слайда:

Пример 8. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите точки минимума функции y=f(x). Решение. На графике производной видно, что на интервале (-5;9)производная 4 раза меняет знак в точках х=-4; х=-0,5; х=3; х=7. Причем в точках х=-4; х=3 он меняется с минуса на плюс. Значит, эти точки являются точками минимума, так как в точках х=-4 и х=3 характер монотонности функции f(x) меняется с убывания на возрастание. Рис.2

№ слайда 37 Рис.11 -4 3
Описание слайда:

Рис.11 -4 3

№ слайда 38 Пример 9. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенно
Описание слайда:

Пример 9. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите количество точек экстремума функции y=f(x). Решение. На промежутке (-5;9) точек экстремума функции y=f(x) ровно четыре: -4; -0,5; 3; 7. Рис.2

№ слайда 39 Рис.12 -3 -0,5 3 7
Описание слайда:

Рис.12 -3 -0,5 3 7

№ слайда 40 Пример 10 На рисунке 13 изображен график производной функции y=f(x), определе
Описание слайда:

Пример 10 На рисунке 13 изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;4). Укажите абсциссы точек, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наименьший и наибольший угловой коэффициент. Рис.13

№ слайда 41 Решение. Угловой коэффициент касательной . По графику определяем, что наимень
Описание слайда:

Решение. Угловой коэффициент касательной . По графику определяем, что наименьшее значение функция достигает при . А наибольшее значение функция достигает при . Рис.14 -2

№ слайда 42 Пример 11. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенн
Описание слайда:

Пример 11. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой у=-4х+3 или совпадает с ней. Касательная к графику функции y=f(x) в некоторой точке параллельна прямой у=-4х+3, если значение производной функции в этой точке равно угловому коэффициенту прямой, то есть . По графику (рис. 15) видно, что принимает значение -4 в одной точке. Рис.2

№ слайда 43 у=-4 Рис.15
Описание слайда:

у=-4 Рис.15

№ слайда 44 Пример 12. К графику функции y=f(x) проведена касательная в точке с абсциссой
Описание слайда:

Пример 12. К графику функции y=f(x) проведена касательная в точке с абсциссой . На рисунке 16 изображен график производной этой функции. Определите градусную меру угла наклона касательной. Рис. 16 Решение. Пусть – угол наклона данной касательной к оси абсцисс. Так как , то . Отсюда получаем . Ответ: .

№ слайда 45 Пример 14. На изображен график функции y=f(x), определенной на промежутке (-5
Описание слайда:

Пример 14. На изображен график функции y=f(x), определенной на промежутке (-5;9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-7. Решение. Так как касательные параллельны прямой у=-7, то они параллельны оси ОХ, следовательно, производные функции f(x) в точках касания должны ровняться нулю. Это стационарные точки. На рисунке все они являются точками экстремума (максимумами или минимумами). Их три. Рис.5

№ слайда 46 Рис.17 Ответ: 3.
Описание слайда:

Рис.17 Ответ: 3.

№ слайда 47 Историческая справка В классическом дифференциальном исчислении производная ч
Описание слайда:

Историческая справка В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

№ слайда 48 Русский термин «производная функции» впервые употребил В. Г. Болтянский, Что
Описание слайда:

Русский термин «производная функции» впервые употребил В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование? В. И. Висковатов . В. Г. Болтянский,

№ слайда 49 Общее понятие производной было сделано независимо друг от друга почти одновре
Описание слайда:

Общее понятие производной было сделано независимо друг от друга почти одновременно английским физиком и математиком И.Ньютоном  и немецким философом и математиком Г. Лейбницом. И.Ньютон Г. Лейбниц

№ слайда 50 Конец XVI – середина XVII веков ознаменовались огромным интересом ученых к об
Описание слайда:

Конец XVI – середина XVII веков ознаменовались огромным интересом ученых к объяснению движения и нахождению законов, которым оно подчиняется. Как никогда остро встали вопросы об определении и вычислении скорости движения и его ускорения. Решение этих вопросов привело к установлению связи между задачей о вычислении скорости движения тела и задачей проведения касательной к кривой, описывающей зависимость пройденного расстояния от времени. английским физиком и математиком И.Ньютоном. немецким философом и математиком Г.Лейбницем.

№ слайда 51
Описание слайда:

№ слайда 52 Рис.2
Описание слайда:

Рис.2

№ слайда 53 Рис.1
Описание слайда:

Рис.1

№ слайда 54 Рис.5
Описание слайда:

Рис.5


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 07.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров193
Номер материала ДВ-133217
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх