Презентация о математике по теме "Функции" (теоретические материалы).

• 1 слайд

  Функции.
   Теоретические материалы.
  
  Выполнила учитель математики
  МОУ лицей №86
  Карпунина Елена Владимировна
  
  
  Ярославль
  2008
  

• 2 слайд

  Определение числовой функции.
  
  Если даны числовое множество Х и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число y, то говорят, что задана функция y = f(x) с областью определения Х; пишут y = f(x), х ϵ Х.
  При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной.
  
  

• 3 слайд

  Область определения функции
  Для области определения функции y = f(x),
  х ϵ Х иногда удобно использовать обозначение D(f).
  Нельзя говорить о функции y = f(x) без указания ее области определения, которая или указывается явно, или подразумевается – в случае, если область определения функции y = f(x) совпадает с областью определения выражения f(x) (такую область определения иногда называют естественной).
  
  

• 4 слайд

  Область определения функции
  

• 5 слайд

  Область значений функции
  Множество всех значений функции y = f(x), х ϵ Х, называют областью значений функции и обозначают E(f).
  Если известен график функции, то область значений функции найти сравнительно нетрудно. Для этого достаточно спроецировать график на ось ординат. То числовое множество, геометрическая модель которого получится на оси ординат в результате указанного проецирования, и будет представлять собой E(f).
  

• 6 слайд

  Область значений функции
  

• 7 слайд

  Графиком функции называется множество всех таких точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
  
  

• 8 слайд

  Способы задания функции.
   Аналитический
  Графический
  Табличный
  Словесный
  
  В школьном курсе математики этих способов вполне достаточно.
  
  

• 9 слайд

  Свойства функций.
  
  

• 10 слайд

  Монотонность.
  Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве Х Є D(f), если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство
  f(х1) < f(х2).
  

• 11 слайд

  Монотонность.
  
  Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве Х Є D(f), если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(х1) > f(х2).
  

• 12 слайд

  Монотонность.
  На практике удобнее пользоваться следующими формулировками:
  функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
  функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
  
  

• 13 слайд

  Монотонность.
  Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.
  
  

• 14 слайд

  Ограниченность.
  Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х Є D(f), если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа (иными словами, если существует такое число m, что для любого значения х ϵ Х выполняется неравенство
  f(х) > m).
  
  

• 15 слайд

  Ограниченность.
  Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х D(f), если все значения функции на множестве Х меньше некоторого числа (иными словами, если существует такое число M, что для любого значения х ϵ Х выполняется неравенство
  f(х) < М).
  
  

• 16 слайд

  Ограниченность.
  Если множество Х не указано, то подразумевается, что речь идет об ограниченности функции сверху или снизу во всей области определения.
  Если функция ограничена и сверху, и снизу, то ее называют ограниченной.
  
  

• 17 слайд

  Ограниченность.
  Ограниченная функция
  Неограниченная функция
  

• 18 слайд

  Ограниченность.
  Ограниченность функции легко прочитывается по ее графику:
  если функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = m
  
  
  

• 19 слайд

  Ограниченность.
  если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = М
  
  

• 20 слайд

  Наибольшее и наименьшее значения.
  Число m называют наименьшим значением функции y = f(x) на множестве Х Є D(f), если:
  в Х существует такая точка х0, что f(х0) = m;
  для всех х из Х выполняется неравенство f(х) ≥ f(х0).
  
  

• 21 слайд

  Наибольшее и наименьшее значения.
  Число m называют наибольшим значением функции y = f(x) на множестве Х Є D(f), если:
  в Х существует такая точка х0, что f(х0) = М;
  для всех х из Х выполняется неравенство f(х) ≤ f(х0).
  
  

• 22 слайд

  Достаточно очевидны следующие полезные утверждения:
  
  Если у функции существует унаим., то она ограничена снизу.
  Если у функции существует унаиб., то она ограничена сверху.
  Если функция не ограничена снизу, то унаим. не существует.
  Если функция не ограничена сверху, то унаиб. не существует.
  
  
  

• 23 слайд

  Выпуклость функции.
  Функция выпукла вниз на промежутке Х, если соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из Х) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
  
  

• 24 слайд

  Выпуклость функции.
  Функция выпукла вверх на промежутке Х, если соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из Х) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.
  
  

• 25 слайд

  Четность и нечетность.
  Функцию y = f(x), х ϵ Х, называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-х) = f(х).
  Функцию y = f(x), х ϵ Х, называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-х) = -f(х).
  Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.
   
  
  

• 26 слайд

  Четность и нечетность.
  Если функция y = f(x) – четная или нечетная, то ее область определения D(f) – симметричное множество. Если же D(f) – несимметричное множество, то функция y = f(x) не является ни четной, ни нечетной, т.е. функцией общего вида.
  Числовое множество Х называют симметричным множеством, если вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х. Например, (-2;2); [-120;120].
  
  

• 27 слайд

  Четность и нечетность.
  Геометрический смысл свойства четности и свойства нечетности функции:
  График четной функции симметричен относительно оси у.
  
  

• 28 слайд

  Четность и нечетность.
  График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
  

• 29 слайд

  Непрерывность функции.
  Еще одно свойство – непрерывность функции на промежутке Х – означает, что график функции на промежутке Х – сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.