Презентация по алгебре и начала анализа "Производная" (10 класс)

• 1 слайд

  Производная
  

• 2 слайд

  Содержание
  Понятие производной.
  Алгоритм нахождения производной.
  Примеры.
  Таблица производных.
  Физический смысл производной.
  Правила нахождения производных.
  Непрерывность функции.
  Геометрический смысл производной.
  

• 3 слайд

  Понятие производной
  Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
  f ′(x) = lim
  ∆f
  ∆x
  ∆x→0
  Нахождение производной называют дифференцированием
  

• 4 слайд

  Понятие производной
  f ′(x) = lim
  ∆f
  ∆x
  ∆x→0
  х0
  х0+ ∆х
  f(x0)
  f(x0 + ∆х)
  ∆х
  х
  у
  0
  ∆f
  у = f(x)
  

• 5 слайд

  Зафиксировать значение х0, найти f(x0).
  Дать аргументу х0 приращение ∆х, перейти в новую точку х0 + ∆х, найти f(x0 + ∆х).
  Найти приращение функции: ∆f = f(x0 + ∆х) – f(x0).
  Составить отношение .
  Вычислить lim .
  Этот предел и есть f ′(x0).
  Алгоритм нахождения производной
  ∆f
  ∆х
  ∆f
  ∆х
  ∆x→0
  

• 6 слайд

  Примеры
  1. Найти производную функции y = kx + b в точке хo
  

• 7 слайд

  Примеры
  2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке хo
  

• 8 слайд

  Примеры
  3. Найти производную функции y = x2 в точке хo
  

• 9 слайд

  Примеры
  4. Найти производную функции y = √x в точке хo
  

• 10 слайд

  Примеры
  4. Найти производную функции y = √x в точке хo
  

• 11 слайд

  Примеры
  5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo
  

• 12 слайд

  Примеры
  5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo
  

• 13 слайд

  Таблица производных
  

• 14 слайд

  Физический ( механический ) смысл производной
  Если при прямолинейном движении путь s, пройденный точкой, есть функция от времени t, т.е. s = s(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s′(t).
  Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t.
  

• 15 слайд

  Правила нахождения производной
  1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем
  (u + v)′ = u′ + v′
  2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С∙u(x) также имеет в этой точке производную, причем
  (Сu)′ = С∙u′
  

• 16 слайд

  Правила нахождения производной
  3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем
  (u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′
  4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем
  v(x)
  1
  v 2
  v′
  = –
  v
  1
  ( )
  ′
  

• 17 слайд

  Правила нахождения производной
  5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем
  v(x)
  u(x)
  v 2
  u′v – uv′
  =
  ( )
  v
  u
  ′
  

• 18 слайд

  Производная сложной функции
  (f(g(x)))′ = f′(g(x))∙g′(x)
  Примеры:
  1. ((5x – 3)3)′ = 3(5x – 3)2∙(5x – 3)′ =
  = 3(5x – 3)2 ∙ 5 = 15(5x – 3)2
  2. (sin(4x + 8))′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8)′ =
  = cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)
  

• 19 слайд

  Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х, то она непрерывна в этой точке.