Презентация по алгебре на тему "Решение задач с помощью квадратных уравнений"

• 1 слайд

  Решение задач
  с помощью квадратных уравнений
  
  
  Подготовила:
  учитель математики
  Кутоманова Е.М.
  
  2015-2016 учебный год
  Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №30 имени А.И.Колдунова
  

• 2 слайд

  Необходимость решать квадратные еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н. э. правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
  
  

• 3 слайд

  Диофант (ок.3 в.дон.э.)
  древнегреческий математик из Александрии
  Он собирал известные и придумывал новые задачи, а позднее объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть пережили хаос Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения. Остальные семь книг погибли в результате цепочки трагических событий, которые отбросили математику к временам древних вавилонян.
  В верхней строке записано уравнение
  Лист из Арифметики
  

• 4 слайд

  Фибоначчи-1170г
  Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в”Книге об абаке”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.
  

• 5 слайд

  Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году немецким математиком М.Штифелем.
  М.Штифель
  

• 6 слайд

  Спортивная площадка площадью 1800кв.м имеет форму прямоугольника, длина которого на 5м больше ширины. Найдите размеры площадки.
  Задача №1
  

• 7 слайд

  решение
  
  Х м
  х м- ширина площадки,
  (х+5)м- длина площадки,
  S=х(х+5).
  х(х+5)=1800,
  х2+5х-1800=0,
  D=25+7200=7225>0,
  х=(-5±85):2,
  х1=-45 не удовлетворяет условию задачи,
  х2=40, х+5=45
  
  Ответ: 40м и 45м
  
  
  
  

• 8 слайд

  Задача №2
  Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 132.
  
  Пусть х и х+1 – неизвестные числа, тогда
  х(х+1)=132,
  х2 + х -132=0,
  D=1+528=529>0,
  х=(-1±23):2,
  х1=-12- не удовлетворяет условию задачи,
  х2=11, х+1=12.
  Ответ: 11 и 12.
  
  
  Справка.
  Натуральные числа: 1,2,3,4,5,6,7,…
  
  

• 9 слайд

  Задача №3
  Найти два последовательных нечетных числа, если их произведение равно 195.
  Пусть х и х+2 – искомые числа, тогда
  х(х+2)=195,
  х2+2х-195=0,
  D=1+195=196>0,
  х=-1±14,
  х1=-15-не удовлетворяет условию задачи,
  х2=13, х+2=15.
  Ответ: 13и15.
  Справка.
  Нечетные числа: 1,3,5,7,9,11,..
  

• 10 слайд

  Задача №4 Периметр прямоугольника равен 10 м, площадь-6 м2. Найти его стороны.
  
  
  Пусть а и b – стороны прямоугольника, тогда Р=2(а+b),
  2(а+b)=10, а+b=5, а=5-b;
  S=b(5-b),
  5b-b2 =6,
  b2 -5b+6=0,
  D=25-24=1>0,
  b=(5±1):2,
  b1=3, b2=2;
  а1=2, а2 =3.
  Ответ: 2м и 3м.
  
  

• 11 слайд

  Задача5.Индусская задача
  «На две партии разбившись
  Забавлялись обезьяны.
  Часть восьмая их в квадрате
  В роще весело резвилась
  Криком радостным двенадцать
  Воздух свежий оглашали...
  Вместе сколько ты мне скажешь,
  Обезьян там было в роще?»
  

• 12 слайд

  решение
  Задача имеет два решения
  

• 13 слайд

  Задача №6
  Определите стороны прямоугольного поля площадью 140 га, если одна его сторона на 400 м больше другой.
  Справка
  1га=10000м²
  

• 14 слайд

  решение
  хм – сторона поля;
  (х+400)м- другая сторона.
  По условию площадь 1400000м2.
  Составим уравнение.
  х(х+400)=1400 000,
  х 2 + 400 х – 1400 000=0,
  D = 160000 + 5600 000 = 5760000
  
  х1 =1000,
  х2 =1400.
  Ответ. 1000м, 1400м.
  
  Х м
  

• 15 слайд

  Задача №6
  Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью  90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами?
  

• 16 слайд

  решение
  х км-расстояние между городами;
  х/90 ч-время скорого поезда;
  х/60 ч-время товарного поезда;
  х/90 меньше х/60 на 1,5часа.
  Составим уравнение:
  х/60  - х/90 = 3/2;
  3х-2х=270;
  х=270.
  Ответ. 270 км.
  

• 17 слайд

  Задача №7
  Ученику и мастеру дано задание изготовить одинаковое количество деталей. Мастер, изготовляя 18 деталей в час, затратил на выполнение задания на 3 ч меньше, чем ученик, который изготавливал лишь 12 деталей в час. Сколько деталей было заказано?
  

• 18 слайд

  Решение.
  х-вся работа;
  х/18 ч.- время затраченное мастером;
  х/12 ч.- время затраченное учеником;
  х/18 меньше х/12 на 3 часа.
  Составим уравнение:
  х/12 – х/18 = 3;
  3х-2х=108;
  х=108.
  Ответ.108 деталей.
  

• 19 слайд

  Задача №8
  Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 60км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 5 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси? 
  

• 20 слайд

  решение
  

• 21 слайд

  60/(х+10) меньше 60/х на1/12.
  Составим уравнение:
  60/х -60/(х+10)=1/12;
  720(х+10)-720х=х(х+10);
  720х+7200-720х= х²+10х;
  х²+10х-7200=0;
  D=28900;
  x1=-90 не удовлетворяет условию задачи;
  х2= 80.
  Ответ. 80 км/час.
  
  
  

• 22 слайд

  Задача №9
  Для вывоза песка из карьера в автопарке было заказано несколько одинаковых грузовых автомобилей. Руководство автопарка решило, что на каждую машину можно погрузить на одну тонну груза больше, чем рассчитывали, и поэтому прислало на 4 машины меньше. В итоге все 80 тонн песка были вывезены. Сколько машин было заказано в автопарке? 
  

• 23 слайд

• 24 слайд

  =
  80/(х-4) больше 80/х на 1 тонну.
  Составим уравнение:
  80/(х-4)-80/х=1;
  80х-80х+320 = х²-4х;
  х²-4х-320=0;
  D=1296;
  x 1=-16 –не удовлетворяет условию задачи;
  х2 =20.
  Ответ. 20 машин.
  
  

• 25 слайд

  1. Ученик решил прочитать книгу, содержащую 480 страниц, за несколько дней. Но каждый день он читал на 20 страниц больше, чем предполагал, и поэтому прочитал книгу на 4 дня раньше. За сколько дней была прочитана книга?
  
  2.Теплоход прошёл 18 км по озеру и 40 км по течению реки за 2 ч. Найдите скорость теплохода при движении по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
  
    3.Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью  90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами?
  

• 26 слайд

  Ответы:
  1. 480/(х-4) – 480/х = 20; х = 8
  2. 18/х + 40/(х+3) = 2, х = 27
  3. 270км
  

• 27 слайд

  Решение задач.
  №1.
  х страниц предполагал читать ученик в день,
  480/х дней предполагал ученик читать книгу,
  (х+20) страниц читал ученик в день,
  480/(х+20) дней читал ученик книгу,
  480/х- 480/(х+20) =4,
  480(х+20)-480х=4х(х+20),
  120(х+20)-120х=х(х+20),
  120х+2400-120х=х2+20х,
  х2+20х-2400=0,
  D1=100+2400=2500>0,
  х=-10±50,
  х1=-60 не удовлетворяет условию задачи,
  х2=40, х+20=60, 480:60=8(дней) читал ученик книгу.
  Ответ: 8 дней.
  
  
  
  
  

• 28 слайд

  №2
  х км/ч-скорость теплохода по озеру,
  18/х ч шёл теплоход по озеру,
  (х+3)км/ч – скорость теплохода по течению реки,
  40/ (х+3)ч шёл теплоход по реке,
  18/х+ 40/ (х+3)=2,
  18 (х+3)+40х=2х (х+3),
  9(х+3)+20х=х(х+3),
  9х+27+20х=х2+3х,
  х2 -26х-27=0,
  D1=169+27=196>0,
  х=13±14,
  х1=-1 не удовлетворяет условию задачи,
  х2=27.
  Ответ: 27 км/ч
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 29 слайд

  №3.
  х км- расстояние между городами;
  х/90 ч затратил скорый поезд на весь путь;
  х/60 ч затратил грузовой поезд на весь путь;
  х/60 > х/90 на 1,5;
  х/60-х/90=1,5;
  умножим обе части уравнения на 180, получим
  3х-2х=270;
  х=270.
  Ответ: 270км