Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Теорема Кро некера — Капе лли» - урок 11-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.

• 1 слайд

  
  Теорема
  Кро́некера — Капе́лли
  
  ГБОУ СПО МО «ЛПТ»
  Преподаватель математики
  Осипова Людмила Евгеньевна
  Mila139139 @ yandex.ru
  
  Тема 1.2.
  Системы линейных алгебраических уравнений.
  Раздел 1. Элементы линейной алгебры.
  Лекция № 9
  УРОК ОДИННАДЦАТЫЙ
  

• 2 слайд

  Леопольд Кронекер
  немецкий математик
  Родился 7 декабря 1823, Лигниц, Германия, ныне Легница, Польша в еврейской семье, за год до смерти принял христианство.
  Иностранный корреспондент Петербургской Академии наук (1872), член Берлинской АН (1861), профессор университета в Берлине. Основные труды по алгебре и теории чисел.
  Большое значение имеют его исследования по арифметической теории алгебраических величин.
  07.12.1823 — 29.12.1891
  

• 3 слайд

  Альфред Капелли
  итальянский математик
  Родился 5 августа 1855 года в Милане. В 1877 году окончил Римский университет.
  В 1881 году стал профессором алгебраического анализа в университете Палермо. В 1886 году переехал в Неаполь и остался жить в этом городе до самой смерти. В Неапольском университете возглавил кафедру алгебры. С 1894 по 1910 годы, продолжая профессорскую деятельность, был редактором математического издания членом Национальной академии.
  05.08.1855 — 28.01.1910
  

• 4 слайд

  Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
  а11x1 + а12x2 + ... + а1nxn = b1
  a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
  ………………………………..
  am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
  1
  Это — критерий совместности СЛАУ, которая отвечает на первые два вопроса о совместности системы и количестве решений.
  Теорема Кро́некера — Капе́лли
  

• 5 слайд

  А =
  а11 а12 ... ..a1n
  a21 a22 … ..a2n
  ........................
  am1 am2 … amn
  А – основная матрица системы
  B =
  b1
  b2
  ….
  bm
  В – матрица-столбец свободных членов.
  A/B =
  а11 а12 ... a1n b1
  a21 a22 … a2n b2
  ..................... ....
  am1 am2 … amn bm
  А|В - расширенная матрица системы
  Вспомним такие понятия как:
  СЛАУ ( 1 )
  

• 6 слайд

  Теорема Кро́некера — Капе́лли
  Для того, чтобы система линейных уравнений (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы
  rang A/B = rang A
  Если ранг основной матрицы не равен рангу расширенной матрицы, то система не имеет решения.
  ≠
  rang (A) rang (A/B)
  система несовместна.
  система имеет единственное решение.
  система совместна.
  rang (A/B)= rang (A)= n
  система имеет бесконечно много решений.
  rang (A/B) = rang (A)< n
  Где n число неизвестных переменных в заданной СЛАУ
  

• 7 слайд

  Рассмотрим пример 1
  Задание.
  Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
  Х1 + Х2 = 3
  Х1 – Х2 = 1
  Решение.
  А =
  1
  1 -1
  - основная матрица.
  A | B =
  1 3
  1 -1 1
  - расширенная матрица.
  

• 8 слайд

  1) Найдём ранг основной матрицы А
  Μ2 =
  1
  1
  1 -1
  = (-1-1)= -2
  Старший минор не равен нулю
  rang (A) = 2
  2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ
  Μ2 =
  1
  1 3
  -1 1
  = (1+3)= 4
  Старший минор не равен нулю
  rang (AΙΒ) = 2
  Получаем: rang(A) = rang(A|B)=2, количество переменных в системе n=2, то по теореме Кронекера - Капелли система имеет решение, и только одно.
  
  Ответ: Система является - совместной определённой
  

• 9 слайд

  Рассмотрим пример 2
  Задание.
  Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
  Х1 + Х2 = 3
  2Х1 + 2Х2 = 6
  Решение.
  А =
  1
  2 2
  - основная матрица.
  A | B =
  1 3
  2 2 6
  - расширенная матрица.
  

• 10 слайд

  1) Найдём ранг основной матрицы А
  Μ1 = Ι2Ι =2
  1
  rang (A) = 1
  2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ
  Μ1 = Ι2Ι = 2
  1
  rang (AΙΒ) = 1
  Получилось, что rang(A) = rang(A|B)= 1, но n=2. (1<2) Следовательно, система совместна, имеет бесконечное множество решений.
  Ответ: Система является - совместной неопределённой
  

• 11 слайд

  Рассмотрим пример 3
  Задание.
  Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
  Х1 + Х2 = 3
  Х1 + Х2 = 7
  Решение.
  А =
  1
  1 1
  - основная матрица.
  A | B =
  1 3
  1 1 7
  - расширенная матрица.
  

• 12 слайд

  1) Найдём ранг основной матрицы А
  Μ1 = Ι1Ι =1
  1
  rang (A) = 1
  2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ
  Μ2 =
  1
  1 3
  1 7
  = (7-3)= 4
  Старший минор не равен нулю
  rang (AΙΒ) = 2
  Итак, rang(A) = 1, rang(A|B) = 2, они не равны, следовательно, система не имеет решений.
  Ответ: Система является - несовместной
  

• 13 слайд

  Рассмотрим пример 4
  Задание.
  Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
  Х1 + Х2 = 25
  Х1 - Х2 = 0
  2
  2
  Решение.
  Эту систему не исследуем, так как теорема
  Кронекера - Капелли применима только к системам линейных алгебраических
  уравнений.
  

• 14 слайд

  Рассмотрим пример 5
  Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
  Задание.
  Х1 + 2Х2 = 0
  3Х1 + 5Х2 = 0
  Решение.
  А =
  2
  3 5
  - основная матрица.
  A | B =
  2 0
  3 5 0
  - расширенная матрица.
  

• 15 слайд

  1) Найдём ранг основной матрицы А
  Μ2 =
  1
  2
  3 5
  = (5-6)= -1
  rang (A) = 2
  2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ
  Μ2 =
  1
  1 2
  3 5
  = (5-6)= -1
  rang (AΙΒ) = 2
  Количество переменных n=2. rang(A) = rang(A|B) = 2
  
  Ответ: система является совместимой и имеет единственное решение. А так как система однородная, то это единственное решение и есть (0;0).
  В однородных системах ранги основной матрицы и
  расширенной всегда равны между собой. Столбец свободных членов в расширенной матрице – нулевой.
  ПРИМЕЧАНИЕ
  

• 16 слайд

  Рассмотрим пример 6
  Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
  Задание.
  2Х1 + 3Х2 = 0
  6Х1 + 9Х2 = 0
  Решение.
  А =
  2 3
  6 9
  - основная матрица.
  A | B =
  2 3 0
  6 9 0
  - расширенная матрица.
  

• 17 слайд

  1) Найдём ранг основной матрицы А
  А =
  2 3
  6 9
  2 3
  0 0
  ⇔
  rang (A) = 1
  2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ
  A | B =
  2 3 0
  6 9 0
  2 3 0
  0 0 0
  ⇔
  rang (АΙΒ) = 1
  rang(A) = rang(A|B) = 1
  Итак:
  Количество переменных n=2.
  Значит, система имеет бесконечное множество решений
  Ответ: Система является - совместной неопределённой
  

• 18 слайд

  Рассмотрим пример 7
  Задана система уравнений. Вычислим ранги основной и расширенной матрицы, т.е. проверим систему на совместимость.
  Задание.
  3x + 4y + 7z = 0
  x - 5y + 6z = 1
  8x + y – z = 10
  Решение.
  А =
  3 4 7
  1 -5 6
  8 1 -1
  - основная матрица.
  A | B =
  3 4 7 0
  1 -5 6 1
  8 1 -1 10
  - расширенная матрица.
  

• 19 слайд

  1) Найдём ранг основной матрицы А
  Μ3 =
  1
  = 15+7+192 +280-18+4 = 480
  rang (A) = 3
  3 4 7
  1 -5 6
  8 1 -1
  2) Найдём ранг расширенной матрицы АΙΒ
  Μ3 =
  1
  3 4 7
  1 -5 6
  8 1 -1
  = 480
  rang (АΙΒ) = 3
  Ответ: Это неоднородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Система является - совместной определённой - (решение только одно).
  Старший минор не равен нулю
  Старший минор не равен нулю
  

• 20 слайд

  Основные источники
  Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )
  Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.
  Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.
  http://mathsun.ru/ - История математики. Биографии великих математиков