Презентация по геометрии в 11 классе на тему " Решение 14 задания ЕГЭ координатным методом".

• 1 слайд

  «Вперед к задачам №14 ЕГЭ»
  «Человек, по-настоящему мыслящий,
  черпает из собственных ошибок
  не меньше познания, чем из успехов».
  
  

• 2 слайд

  Координатный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).
  Мы уже хорошо знакомы с векторами, координатами и их свойствами. Цель нашей работы: научиться применять знания для решения задач стереометрии.
  

• 3 слайд

  Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:
  Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.
  Находим координаты необходимых для нас точек.
  Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.
  Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.
  

• 4 слайд

  В задании ЕГЭ по стереометрии чаще всего требуется найти:
  угол между двумя скрещивающимися прямыми,
  угол между прямой и плоскостью,
  угол между двумя плоскостями,
  расстояние между двумя скрещивающимися прямыми,
  расстояние от точки до прямой,
  расстояние от точки до плоскости.
  

• 5 слайд

  
  Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
  
  
  При нахождении угла между прямыми используют формулу
  
  
  или в координатной форме
  
  
  
  

• 6 слайд

  Задача на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
  Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 2, высота — 4. Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD. Найдите угол между прямыми CF и B1E.
  

• 7 слайд

  Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
  Угол между прямой и плоскостью можно вычислить:
  
  по формуле
  или в координатах
  
  
  ,
  
  где - вектор нормали к плоскости α,
  - направляющий векор прямой l
  

• 8 слайд

  Задача на нахождение
  угла между прямой и плоскостью
  В прямоугольном параллелепипеде АВСDAB1C1D1 АВ=8, ВС=6, АА1=12.
  Точка К – середина ребра АD,
  точка М лежит на ребре DD1
  так, что DM:D1M=1:2.
  а) Докажите, что прямая ВD1 параллельна плоскости СКМ.
  б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью СКМ .
  Вариант 126 aleks.larin
  
  

• 9 слайд

  Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
  
  Расстояние от точки М до плоскости α
  
  вычисляется по формуле ,
  где М(х0;у0;z0), плоскость задана уравнением
  
  ax+by+cz+d=0;
  

• 10 слайд

  Задача на нахождение
  расстояния от точки до плоскости.
  
  
  
  В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1
  АВ=6, ВС=4, АА1=7.
  Точка Р – середина ребра АВ, точка М лежит на ребре DD1 так, что DM:D1M=2:5.
  Найдите расстояние от точки D до плоскости МРС.
  Вариант 125 aleks.larin
  
  

• 11 слайд

  В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб АВСD с
  диагоналями АС = 8 и ВD = 6.
  а) Докажите, что прямые ВD1 и АС перпендикулярны.
  б) Найдите расстояние между прямыми ВD1 и АС, если известно, что боковое ребро
  призмы равно 12.
  Вариант 124 aleks.larin
  
  Задача на нахождение
  расстояния между двумя прямыми.
  

• 12 слайд

  Решение.
  Введём декартову систему координат. Чтобы вычислить координаты т.К, воспользуемся формулой для нахождения координат точки, которая делит отрезок BD1 в отношении λ=ВК:КД1 ,где К(х;у;z)
  

• 13 слайд

  Расстояние между точками А и В можно вычислить:
  
  по формуле ,
  где A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2);
  
  
  

• 14 слайд

  Задача на нахождение
  расстояния между двумя точками.
  В кубе АВСDA1В1С1D1 АВ =6, точка Р середина ребра АД, а точка М расположена на диагонали СС1 так, что СМ = 2МС1. Найдите расстояние между точками Р и М.
  

• 15 слайд

  Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
  Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить:
  по формуле
  
  или в координатной форме
  
  где - вектор нормали плоскости Ах+Ву+Сz+D=0,
  

• 16 слайд

  Задача на нахождение
  угла между двумя плоскостями.
  В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1.
  

• 17 слайд

  Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей
  

• 18 слайд

  Как вы видите, все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), координатным методом получаются в ходе несложных алгебраических вычислений. Нам не нужно задумываться, к примеру, как проходит та или иная плоскость, как упадет перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость, каким образом скрещивающие прямые перенести, чтобы они были пересекающимися и т.д. Нам просто надо поместить тело в прямоугольную систему координат, определить координаты точек, векторов или плоскостей и воспользоваться формулой.
  

• 19 слайд

  Благодарим за внимание!