Презентация по математике на тему "Геометрическое и физическое приложение неопределенного интеграла"

• 1 слайд

  Геометрическое и физическое приложение неопределенного интеграла. Преподаватель ГАПОУ «ЛНТ» Шаммасова А.А.

• 2 слайд

  Цель урока: Формирование представлений о геометрическом и физическом приложениях неопределенного интеграла. Формирование умений применять неопределенный интеграл при составлении уравнений кривых при известном угловом коэффициенте, при решении физических задач на определение уравнения движения тела.

• 3 слайд

  1. Нахождение первообразной по начальным условиям. При интегрировании функции получается совокупность (множество) ее первообразных y=F(x)+C, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым C. С может принимать любые числовые значения, если на первообразную функцию не наложено никаких начальных условий. Чтобы из множества первообразных функций выделить одну определенную функцию, должны быть заданы начальные условия. Начальные условия – это задание частных значений x и y для первообразной функции y=F(x)+C, по которым находится определенное значение С, удовлетворяющее этим начальным условиям.

• 4 слайд

  Примеры. Найти функцию, производная которой: y′=3x² - 6x +2. Решение.

• 5 слайд

  2. Найти функцию, производная которой: y′=2x – 3, если при x=2 эта функция принимает значение, равное 6. Решение.

• 6 слайд

  3. Найти ∫(cos x – sin x)dx, если при x=π/2 значение первообразной функции равно 6. Решение.

• 7 слайд

  2. Выделение из семейства кривых с одинаковым наклоном линии, проходящей через конкретную точку. Вспомним: Наклон k кривой y=(x) – угловой коэффициент касательной – это тангенс угла наклона касательной к этой кривой в данной точке. Он равен значению производной в этой точке: k=y′. Обратная задача: Зная наклон k кривой в любой ее точке как функцию абсциссы этой точки: k=f(x), найти уравнение кривой. Получили уравнение, содержащее произвольную постоянную С.

• 8 слайд

  Этому уравнению на плоскости соответствует бесконечное множество кривых (семейство кривых), уравнения которых отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Графики функций, получающихся в результате интегрирования, называются интегральными кривыми. Каждый интеграл дает семейство интегральных кривых. Интегральные кривые одного семейства имеют одну и ту же форму и смещены друг относительно друга по вертикали. Сдвиг кривой зависит от постоянной С. Из семейства этих кривых, имеющих один и тот же наклон, нам нужно уметь выделять ту, которая проходит через данную точку.

• 9 слайд

  Примеры. Найти уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке (x;y) равен 2x. Решение. k=2x Мы нашли семейство кривых, для которых угловой коэффициент касательной в любой точке равен 2x. Эти кривые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое С. При С=0 получим параболу y=x² с вершиной в начале координат, при С=1 – параболу y=x²+1 с вершиной в точке (0;1), при С=-2 – параболу y=x²-2 с вершиной в точке (0;-2) и т.д.

• 10 слайд

  2. Составить уравнение линии, если угловой коэффициент касательной в любой точке касания равен y/x. Решение. k=y/x Потенцируя, получим: y=Cx – уравнение семейств прямых, проходящих через начало координат.

• 11 слайд

  3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0;1), у которой касательная в любой точке кривой имеет угловой коэффициент, равный ординате точки касания. Решение.

• 12 слайд

  3. Составление уравнения движения тела по заданному уравнению скорости или ускорения его движения. Вспомним (из дифференциального исчисления): V=S′(t) – скорость движущегося тела a(t)=V′(t)=S′′(t) – ускорение движущегося тела S(t) – путь Тогда закон движения тела S(t) по заданной скорости можно найти интегрированием, а по заданному ускорению – двукратным интегрированием.

• 13 слайд

  Примеры. 1. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону V=3t² - 2t. Найти закон ее движения. Решение.

• 14 слайд

  2. Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону V=3t² +4. Найти закон ее движения S, если за время t=2с точка прошла 20м. Решение.

• 15 слайд

  3. Найти закон движения свободно падающего тела при постоянном ускорении g, если в начальный момент движения тело находилось в покое. Решение.

• 16 слайд

• 17 слайд

  4. Точка движется прямолинейно с ускорением a=6t–12. В момент времени t=0 (начало отсчета) начальная скорость V0=9м/с; расстояние от начала отсчета S0=10м. Найти: 1) скорость и закон движения точки; 2) значения ускорения, скорости и пути в момент t=2с; 3) момент, когда скорость является наименьшей. Решение. 1)

• 18 слайд

• 19 слайд

  2) При t=2 c: 3) Исследуем функцию, определяющую изменение скорости, на максимум и минимум: Следовательно, скорость является наименьшей при t=2 с.