Презентация по математике на тему "Комплексные числа"

• 1 слайд

  Комплексные числа и арифметические операции над ними.
  

• 2 слайд

  1-6+5=0
  x1=1; x2=5
  
  Решите уравнение:
  х2-6х+5=0
  

• 3 слайд

  (2x+1)2=0
  2x+1=0
  x=-0,5
  
  
  Решите уравнение:
  4х2+4х+1=0
  
  

• 4 слайд

  D=22-4∙1∙2= - 4
  D< 0, корней нет
  Решите уравнение:
  х2+2х+2=0
  

• 5 слайд

• 6 слайд

  - комплексное число
  - мнимая единица
  = i
  = 2i
  Мнимая единица -
  это такое число i, квадрат которого равен -1
  
  
  
  i2= -1
  

• 7 слайд

  Мнимая
  единица
  i – начальная буква французского слова
  imaginaire – «мнимый»
  

• 8 слайд

  х2+2х+2=0
  
  
  x2= -1- i
  x1= -1+ i
  

• 9 слайд

  Например,
  
  Вычислите:
  

• 10 слайд

  Комплексные числа
  
  Определение. Числа вида a + bi,
  где a и b – действительные числа,
  i – мнимая единица,
  называются комплексными.
  a - действительная часть ,
  bi – мнимая часть,
  b – коэффициент при мнимой части.
  
  

• 11 слайд

  VII в.н.э.-
  квадратный корень из положительного числа имеет два значения –
  положительное и отрицательное,
  а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя:
  нет такого числа х, чтобы
  х2 = -9.
  
  

• 12 слайд

  В XVI
  веке
  в связи с изучением
  кубических уравнений
  оказалось необходимым
  извлекать квадратные корни
  из отрицательных чисел.
  Первым учёным,
  предложившим ввести
  числа новой природы,
  был Джорж Кордано.
  

• 13 слайд

  Он предложил
  
  Кордано назвал такие величины
  “чисто отрицательными” или даже “софистически отрицательными”, считая их бесполезными и стремился не применять их.
  

• 14 слайд

  в 1572
  году
  итальянский учёный
  Бомбелли
  выпустил книгу, в которой были
  установлены первые правила
  арифметических операций над
  комплексными числами,
  вплоть до извлечения из них
  кубических корней.
  

• 15 слайд

  Название
  “мнимые числа”
  ввёл французский математик и философ
  Р. Декарт
  
  
  
  в 1637
  году
  

• 16 слайд

  один из крупнейших
  математиков
  XVIII века –
  Л. Эйлер
  предложил использовать
  первую букву
  французского слова
  imaginare (мнимый)
  для обозначения
  в 1777
  году
  

• 17 слайд

  
  гораздо
  В настоящее время
  в математике
  шире,
  комплексные числа
  используются
  действительные
  чем
  
  

• 18 слайд

  Комплексные
  числа имеют
  прикладное значение
  во многих областях науки, являются
  основным аппаратом
  для расчетов
  в электротехнике и связи.
  

• 19 слайд

  Символический метод расчета цепей переменного тока
  Изменение тока в емкости по синусоидальному закону:
   i(t) = ImC sin(ωt + ψi)
  Изменение тока в индуктивности по синусоидальному закону:
  i(t) = ImL sin(ωt + ψi)
  Уравнение связи между током и напряжением в индуктивности:
  uL = L · di / dt
  
  
  
  

• 20 слайд

  Методы операционного исчисления
  - напряжение на конденсаторе;
  (0) – начальное напряжение на конденсаторе, обусловленное тем, что конденсатор уже был ранее заряжен.
   
  
  По второму закону Кирхгофа
  

• 21 слайд

  Переменный ток и бытовая техника
  Все электропотребляющие устройства обладают активной и реактивной нагрузкой.
  Общая нагрузка описывается
  как комплексное число:
  
  
  S – полная мощность, φ - полярный угол.
  Показатель cos(φ) является важным показателем работы энергосистемы и в бывшем СССР, а сегодня и в России по ГОСТ cos(φ) равен 0,8
  
  

• 22 слайд

  Применяются
  при
  конструировании
  
  ракет и самолетов
  

• 23 слайд

  При вычерчивании
  географических карт
  

• 24 слайд

  В исследовании
  
  течения воды,
  а также
  во многих
  других науках.
  

• 25 слайд

  =
  =
  =
  𝒊 𝟒
  ·
  𝒊 𝟐 =
  𝒊 𝟒
  𝒊 𝟒
  ·
  ·
  𝒊 𝟑 =
  𝒊 𝟒 =
  1(-i )
  1 1
  1(-1)
  ·
  

• 26 слайд

  Значения степеней числа i
  повторяются с периодом,
  равным 4.
  
  Найдем:
  

• 27 слайд

  Решение.
  i ,– 1, – i , 1 ,
  ост. 1 2 3 без
  Имеем, 28 = 4×7 (нет остатка);
  
  
  33 = 4×8 + 1 ;
  
  
  135 = 4×33 + 3 .
  Соответственно получим
  

• 28 слайд

  Вычислите:
  -1
  -i
  1
  2-i
  -1
  

• 29 слайд

  Определение.
  
  z1 = a+bi z2 = c+di
  Комплексные числа z1 и z2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части
  a=c, b=d
  

• 30 слайд

  Решение.
  Согласно условию равенства комплексных чисел имеем
  3y = 15, 5x = – 7.
  Отсюда
  Найти x и y из равенства:
  3y + 5xi = 15 – 7i;
  
  Пример .
  
  

• 31 слайд

  Действия над комплексными числами
  Сложение
  Вычитание
  Умножение
  Деление
  
  
  

• 32 слайд

  (а+bi)
  
  Вычитание
  =(a+c)
  +
  (c+di)
  Сложение
  (b+d)
  +
  i
  (а+bi)
  -
  (c+di)
  =(a-c)
  +
  (b-d)
  i
  Суммой (разностью) двух комплексных чисел является комплексное число:
  

• 33 слайд

  Выполните действия:
  z1 = 2 + 3i z2 = 5 – 7i.
  Найти: а) z1 + z2;    б) z1 – z2;   
  а) z1 + z2 =(2 + 3i) + (5 – 7i) =
  =2 + 5 + 3i – 7i = 7 – 4i
  
  
  
  б) z1 – z2 =(2 + 3i) – (5 – 7i) =
  =2 + 3i - 5 +7i = – 3 + 10i
  
  Решение.
  

• 34 слайд

  Выполните действия
  Задание:
  z1=2i-3
  z2=3-4 i
  z1 - z2=?
  z1 + z2=?
  z1+z2=(2i – 3)+(3 - 4i)=
  =2i -3+3- 4i=-2i
  z1 - z2=(2i – 3) - (3 - 4i)=
  =2i – 3 -3+ 4i=- 6+6i
  

• 35 слайд

  Умножение
  (c+di)
  = ac
  bс
  i
  =
  +
  +
  +
  аd
  bd
  (а+bi)
  i
  =
  =
  (ac-bd)
  +
  (аd+bc)
  i
  i2
  Произведением комплексных чисел является комплексное число:
  = ac
  аd
  bс
  bd
  =
  +
  +
  -
  i
  i
  

• 36 слайд

  Выполните действия:
  (5 + 3i)(5 – 3i)  
  (2 + 3i)(5 – 7i)
  (2 – 7i)2
  =
  =
  =
  =
  10-14i +15i -21 𝒊 𝟐
  =
  31+i
  25-9i2
  =
  34
  4 - 28i + 49i2
  =
  -45-28i
  

• 37 слайд

  Определение.
  Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
  z1= a+bi и 𝑧2=a-bi
  

• 38 слайд

  Выбрать комплексное число, сопряженное данному
  Задание:
  

• 39 слайд

  ( 6+5i)(6-5i)=
  62 - (5i)2 = 62 - 52i2 = 62 + 52
  
  Произведение
  сопряженных комплексных чисел равно сумме квадратов действительной части
  и коэффициентов при i
  
  (a+bi)(a-bi) = a2+b2
  

• 40 слайд

  Для того, чтобы разделить два комплексных числа, нужно делимое и делитель умножить на число, сопряженное делителю,т.е.
  Деление
  

• 41 слайд

  =
  =
  =
  Выполните действия:
  =
  10+15𝑖+14𝑖+21 𝑖 2 25−49 𝑖 2 =
  10+29𝑖−21 25+49 =
  =
  

• 42 слайд

  Выполните действиe
  z1=2i-3
  z2=3-4 i
  z1 : z2=?
  =
  6𝑖−8−9−12𝑖 9+16 =
  =
  

• 43 слайд

  Выполните действия:
  =
  =
  =
  2
  

• 44 слайд

  Решить примеры.
  
  2) Найти x и y из равенства:
  (2x + 3y) + (x – y)i = 7 + 6i.
  
  1) (i63+i17+i13+i82)(i72–i34);
  3)
  

• 45 слайд

  После изучения темы «Комплексные числа учащиеся должны:
  Знать:
  алгебраическую форму комплексного числа.
  Уметь:
  производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа;
  в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.