Презентация по математике на тему "Нахождение расстояния от точки до прямой и между скрещивающимися прямыми"к учебнику геометрии авторов И.М.Смирнова, В.А.Смирнов

• 1 слайд

  Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой
  Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую (рис.1).
  Для нахождения расстояния от точки А до прямой ɑ сначала находят основание А’ перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ɑ. Если нахождение длины перпендикуляра АА’ не вытекает непосредственно из условия задачи, то на прямой ɑ выбирают какие-нибудь точки В, С и рассматривают треугольник АВС, в котором АА’ является высотой (рис. 2). Для нахождения высоты АА’ используют теорему Пифагора или другие теоремы и формулы.
  

• 2 слайд

  1. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой ВС (рис. 3)
  Отрезок АВ является перпендикуляром, опущенным из точки А на прямую ВС, и, следовательно, его длина является искомым расстоянием от точки А до прямой ВС.
  (Грань АВСD является квадратом. Следовательно, АВ является перпендикуляром, опущенным из точки А на прямую ВС.) Искомое равно длине этого перпендикуляра и равно 1.
  1’. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой: а) CD; б) ВВ1; в) DD1; г) А1В1; д) A1D1.
  (Вместо точки А можно выбирать любую другую вершину куба.)
  

• 3 слайд

  2’. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой: а) DC1; б) A1C1.
  Так же как и в предыдущих задачах, вместо точки А можно брать любую другую вершину куба.
  2. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой ВС1 (рис. 4)
  Для доказательства перпендикулярности прямых АВ и ВС1 можно воспользоваться тем, что прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС1 и, значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости. Искомое расстояние равно длине отрезка АВ и равно 1.
  

• 4 слайд

  3. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой СВ1 (рис. 5)
  В этой задаче требуется построить (изобразить) искомый перпендикуляр. Заметим, что треугольник АСВ1 - равносторонний, следовательно, его медиана АМ будет высотой (рис. 6). Таким образом, для построения искомого перпендикуляра достаточно отметить середину М отрезка СВ1 и соединить ее с точкой А. Так как стороны треугольника АСВ1 равны , искомое расстояние равно .
  
  
  3’. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой: а) СD1; б) В1D1.
  Следующие задачи наиболее трудные.
  

• 5 слайд

  4. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой ВD1 (рис. 7).
  Для нахождения искомого перпендикуляра рассмотрим треугольник АВD1 (рис. 8). Он является прямоугольным (угол А – прямой) с катетами АВ = 1, AD1 = и гипотенузой BD1 = . Найдем его высоту AN. Для этого можно использовать или преобразование подобия, или тригонометрические функции, или площадь треугольника. Искомое расстояние равно .
  
  
  
  4’. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой: а) DВ1; б) СА1.
  
  

• 6 слайд

  Задачи на нахождение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми
  Напомним, что расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым.
  Если одна из двух данных скрещивающихся прямых лежит в плоскости, а другая – параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между второй прямой и плоскостью (рис. 9).
  
  Если данные скрещивающиеся прямые a и b лежат соответственно в параллельных плоскостях ɑ и β, то расстояние между прямыми a и b равно расстоянию между плоскостями ɑ и β. В этом случае длина перпендикуляра CD, опущенного из произвольной точки C плоскости ɑ на плоскость β, будет равна расстоянию между прямыми a и b (рис. 10).
  

• 7 слайд

  5. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми АА1 и BС (рис.11)
  Отрезок АВ является общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым АА1 и ВС и, следовательно, его длина, равная 1, является искомым расстоянием между этими прямыми.
  5’. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки АА1 до прямой: а) СD; б) В1С1; в) C1D1; г) BC1; д) CB1; е) CD1; ж) DC1; з) BD; и)B1D1.
  Следующая задача немного труднее.
  
  

• 8 слайд

  6. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми АА1 и BD1 (рис.12)
  Здесь общим перпендикуляром является отрезок ЕF, соединяющий середины отрезков АА1 и BD1 (рис. 13).
  Действительно, пусть О – центр грани ABCD (рис.14). В четырехугольнике AOFE стороны АЕ и OF равны и параллельны. Значит, этот четырехугольник – параллелограмм, следовательно, стороны EF и AO равны и параллельны.
  Прямая АА1 перпендикулярна АО, так как она перпендикулярна плоскости АВС. Прямая BD1 перпендикулярна АО по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, и прямая EF перпендикулярна АА1 и ВД1. ЕF является искомым общим перпендикуляром, длина которого равна .
  
  6’. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми: а) АА1 и DB1 ; б) АВ и СА1; в) ВС и АС1; г) СD и BD1; д) AD и BD1.
  Наиболее трудной из этой серии является следующая задача.
  
  

• 9 слайд

  7. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми АВ1 и BС1 (рис.15)
  Расстояние между данными прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями АВ1D1 и BDC1 (рис. 16).
  Диагональ СА1 перпендикулярна этим плоскостям и делится ими в точках пересечения E и F на три равные части. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка EF и равно .
  
  7’. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми: а) ВА1 и СB1; б) ВА1 и AС; в) ВА1 и B1D1; г) BA1 и AD1.
  
  

• 10 слайд

  Предлагаемая методика тренировочных задач реализована в пособиях:
  Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. 10-11 классы : учеб. Для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни). – М. : Мнемозина, 2009-2011г.
  Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Расстояния и углы в пространстве. – М. : Экзамен, 2009. – (ЕГЭ 100 баллов).
  Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия.. Объемы и площади поверхностей пространственных фигур. – М. : Экзамен, 2009. - (ЕГЭ 100 баллов).
  Смирнов В.А. Геометрия. Стереометрия : пособие для подготовки к ЕГЭ / под ред. И.В. Ященко и А.В. Семенова. – М.:МЦНМО, 2009.
  Презентация выполнена по материалам статьи
  «Как научить школьников решать задачи по геометрии?»
  И.М.Смирновой, В.А.Смирнова. Математика в школе. №8, 2010г.