Презентация по математике на тему "Основные свойства функций. Функции и их графики"

• 1 слайд

  Основные свойства функций
  Функции и их графики
  

• 2 слайд

  Числовая функция
  С понятием функции вы познакомились в курсе алгебры. При изучении начал анализа удобно принять следующее определение:
  О п р е д е л е н и е. Числовой функцией с областью определения 𝑫 называется соответствие, при котором каждому числу 𝒙 из множества 𝑫 сопоставляется по некоторому правилу число 𝒚, зависящее от 𝒙.
  Функции обычно обозначают латинскими (а иногда греческими) буквами. Рассмотрим произвольную функцию 𝑓. Независимую переменную 𝑥 называют также аргументом функции. Число 𝑦, соответствующее числу 𝑥, называют значением функции 𝑓 в точке 𝑥 и обозначают 𝑓 𝑥 . Область определения функции 𝑓 обозначают 𝐷 𝑓 . Множество, состоящее из всех чисел 𝑓 𝑥 , таких, что 𝑥 принадлежит области определения функции 𝑓, называют областью значений функции 𝑓 и обозначают 𝐸 𝑓 .
  Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. При этом, если не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл. Например, формула 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 имеет значение при всех 𝑥≠0, поэтому областью определения функции 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 считают множество всех не равных нулю действительных чисел. Область её значений совпадает с областью её определений и является объединением интервалов −∞;0 и 0;∞ .
  Вообще объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Объединение множеств А и В обозначается так: 𝐴∪𝐵. Например, объединением отрезков 0;2 и 1;3 является отрезок 0;3 .
  Символом ∪ удобно пользоваться для обозначения числовых множеств, которые можно представить в виде объединения числовых промежутков. Так, для функции 𝑓 𝑥 = 1 𝑥
  
  Область определения функции 𝑦= tan 𝑥 ‒ объединение всех интервалов вида − 𝜋 2 +𝜋𝑛; 𝜋 2 +𝜋𝑛 , где 𝑛∈𝒁; область её значений ‒ вся числовая прямая, т. е. 𝐸 tan = −∞; ∞ .
  Функции вида 𝑓 𝑥 =𝑝 𝑥 , где 𝑝 𝑥 ‒ многочлен, называют целыми рациональными функциями, а функции вида 𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 , где 𝑝 и 𝑞 ‒ многочлены, называют дробно-рациональными функциями. Частное 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 определено, если 𝑞 𝑥 не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции 𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 ‒ множество всех действительных чисел, из которого исключены корни 𝑞 𝑥 .
  

• 3 слайд

  Числовая функция (продолжение)
  ⃝ П р и м е р 1. Найдём область определения дробно-рациональной функции
  
  
  Корни многочлена 𝑥 3 −3 𝑥 2 +2𝑥 ‒ числа 0, 1 и 2. Поэтому 𝐷 𝑓 = −∞;0 ∪ 1;2 ∪ 2;∞ .
  

• 4 слайд

  График функции
  Графиком функции 𝑓 называют множество всех точек 𝑥;𝑦 координатной плоскости, где 𝑦=𝑓 𝑥 , а 𝑥 «пробегает» всю область определения функции 𝑓.
  Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси 𝑂𝑥. Например, множество, изображённое на рисунке 15, не является графиком функции, так как оно содержит две точки с одной и той же абсциссой 𝑎, но разными координатами 𝑏 1 и 𝑏 2. Если бы мы сочли это множество графиком функции, то пришлось бы считать, что эта функция имеет при 𝑥=𝑎 сразу два значения 𝑏 1 и 𝑏 2 , что противоречит определению функции.
  
  
  
  
  
  Рис. 15
  Часто функцию задают графически. При этом для любого 𝑥 0 из области определения легко найти соответствующее значение 𝑦 0 =𝑓 𝑥 0 функции (рис. 16).
  
  
  
  
  
  
  
  Рис. 16
  

• 5 слайд

  Преобразования графиков
  Запас функций, графики которых вы умеете строить, пока невелик ‒ это функции 𝑦=𝑘𝑥+𝑏, 𝑦=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐, 𝑦= 𝑘 𝑥 , 𝑦= sin 𝑥 , 𝑦= cos 𝑥 , 𝑦= tan 𝑥 , 𝑦= cot 𝑥 . Покажем, что, применяя известные из курса геометрии сведения о преобразованиях фигур, этот список можно существенно расширить.
  1) Рассмотрим сначала параллельный перенос на вектор 0;𝑏 вдоль оси ординат. Обозначая здесь и далее через 𝑥ʹ;𝑦ʹ координаты точки, в которую переходит произвольная точка 𝑥;𝑦 плоскости при данном преобразовании, получим известные вам формулы
  (1)
  Пусть 𝑓 ‒ произвольная функция с областью определения 𝐷 𝑓 . Выясним, в какую фигуру переходит график этой функции при данном переносе. Из формул (1) сразу получаем, что произвольная точка 𝑥;𝑓 𝑥 графика переходит в точку 𝑥;𝑓 𝑥 +𝑏 . Это означает, что график переходит в фигуру, состоящую из всех точек 𝑥;𝑓 𝑥 +𝑏 , где 𝑥∈𝐷 𝑓 .
  По определению графика функции эта фигура является графиком функции 𝑦=𝑓 𝑥 +𝑏. Сказанное позволяет сформулировать правило:
  Для построения графика функции 𝑓 𝑥 +𝑏, где 𝑏 ‒ постоянное число, надо перенести график 𝑓 на вектор 0;𝑏 вдоль оси ординат.
  
  
  
  
  
  
  
  
  Рис. 17
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Рис. 18
  ⃝ П р и м е р 2. Построим графики функций: а) 𝑦= sin 𝑥 +2, б) 𝑦= 𝑥 2 −5.
  а) В соответствии с правилом переносим график функции 𝑦= sin 𝑥 на вектор 0; 2 , т. е. вверх по оси 𝑂𝑦 на две
  

• 6 слайд

  Преобразования графиков (продолжение)
  единицы (рис. 17).
  б) Построение осуществляется переносом параболы 𝑦= 𝑥 2 на вектор 0; −5 т .е. вниз по оси 𝑂𝑦 (рис. 18).
  2) Новым для вас преобразованием является растяжение вдоль оси 𝑂𝑦 с коэффициентом 𝑘, которое задаётся формулами
  (2)
  Для построения точки 𝑀ʹ, в которую переходит данная точка 𝑀 при растяжении, надо построить на прямой 𝐴𝑀, где 𝐴 ‒ проекция 𝑀 на ось 𝑂𝑥 (рис. 19, а), точку, гомотетичную 𝑀 относительно центра 𝐴 (коэффициент гомотетии равен коэффициенту 𝑘 растяжения). На рисунке 19, б показано построение точек, в которые переходят данные при растяжении с коэффициентами 1 2 и −2.
  Выясним, в какую фигуру переходит график функции 𝑓 при растяжении. Из формул (2) сразу получаем, что произвольная точка 𝑥; 𝑓 𝑥 графика 𝑓 переходит в точку 𝑥;𝑘𝑓 𝑥 . Отсюда следует, что график 𝑓 переходит в фигуру, состоящую из всех точек 𝑥;𝑘𝑓 𝑥 , где 𝑥∈𝐷 𝑓 . Эта фигура является графиком функции 𝑦=𝑘𝑓 𝑥 . Доказано следующее правило:
  Для построения графика функции 𝑦=𝑘𝑓 𝑥 надо растянуть график функции 𝑦=𝑓 𝑥 в 𝑘 раз вдоль оси координат.
  
  
  
  
  
  
  
  Рис. 19
  ⃝ П р и м е р 3. Построим графики функций 𝑦=−2 𝑥 2 и 𝑦= 1 3 cos 𝑥 .
  Построение осуществляется в первом случае из графика функции 𝑦= 𝑥 2 (рис. 20), а во втором случае сначала строим график функции 𝑦= cos 𝑥 , затем воспользуемся растяжением вдоль оси ординат с коэффициентом 1 3 (рис. 21).
  З а м е ч а н и е. Если 0< 𝑘 <1, то растяжение с коэффициентом 𝑘 часто называют сжатием. Например, растяжение с коэффициентом 1 2 называют сжатием в два раза. Отметим также, что если 𝑘<0, то для построения графика функции 𝑦=𝑘𝑓 𝑥 надо сначала растянуть график 𝑓 в 𝑘 раз, а затем отразить его симметрично оси абсцисс (см. рис. 20).
  3) Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на вектор
  

• 7 слайд

  Преобразования графиков (продолжение)
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Рис. 20
  
  
  
  Рис. 21
  𝑎;0 задаётся формулами
  (3)
  Каждая точка графика функции 𝑓 переходит согласно формулам (3) в точку 𝑥+𝑎;𝑓 𝑥 . К тому же с помощью переменных 𝑥ʹ, 𝑦ʹ, можно записать, что график 𝑓 переходит в фигуру Ф, состоящую из точек 𝑥ʹ, 𝑓 𝑥ʹ−𝑎 , где 𝑥ʹ принимает все значения вида 𝑥+𝑎 (𝑥 «пробегает» 𝐷 𝑓 ).
  Именно при этих значениях 𝑥ʹ число 𝑥ʹ ‒ 𝑎 принадлежит 𝐷 𝑓 и 𝑓 𝑥ʹ−𝑎 определено. Следовательно, фигура Ф есть график функции 𝑦=𝑓 𝑥−𝑎 . Итак, можно сделать вывод:
  График функции 𝑦=𝑓 𝑥−𝑎 получается из графика 𝑓 переносом (вдоль оси абсцисс) на вектор 𝑎;0 .
  Обратите внимание: если 𝑎>0, то вектор 𝑎;0 направлен в положительном направлении оси абсцисс, а при 𝑎<0 ‒ в отрицательном.
  ⃝ П р и м е р 4. Построение графиков функций 𝑦= 𝑥+1 и 𝑦= cos 𝑥− 𝜋 4 показано на рисунках 22 и 23.
  4) Растяжение вдоль оси 𝑂𝑥 с коэффициентом 𝑘 задаётся формулами
  (4)
  Произвольная точка графика функции 𝑓 переходит при таком растяжении в точку 𝑘𝑥;𝑓 𝑥 . Переходя к переменным 𝑥ʹ, 𝑦ʹ, можно записать, что график 𝑦=𝑓 𝑥 переходит в фигуру, состоящую из точек 𝑥ʹ;𝑓 𝑥ʹ 𝑘 , где 𝑥ʹ принимает все значения вида 𝑥ʹ=𝑘𝑥, а 𝑥∈𝐷 𝑓 .
  

• 8 слайд

  Преобразования графиков (продолжение)
  Эта фигура есть график функции 𝑦=𝑓 𝑥 𝑘 . Итак:
  Для построения графика функции 𝑦=𝑓 𝑥 𝑘 надо подвергнуть график функции 𝑓 растяжению с коэффициентом 𝑘 вдоль оси абсцисс.
  
  
  
  
  
  Рис. 22
  
  
  
  
  Рис. 23
  ⃝ П р и м е р 5. Построение графиков функций 𝑦= cos 2𝑥 и 𝑦= sin 1 3 𝑥 показано на рисунках 24 и 25.
  
  
  
  
  
  
  Рис. 24
  
  
  
  Рис. 25
  

• 9 слайд

  Отображение
  Функцию с областью определения 𝐷 и областью значений 𝐸 называют также отображением множества 𝐷 на множество 𝐸. Можно сказать, например, что формула 𝑦= sin 𝑥 задаёт отображение множества 𝑹 действительных чисел на отрезок −1; 1 . Слова «функция» и «отображение» ‒ синонимы.
  Нередко рассматривают функции (отображения), область определения или область значений которых ( а возможно, и оба этих множества) не являются числовыми множествами. С такими примерами, по существу, вы уже встречались в курсе геометрии. Например, областью определения функции «Площадь многоугольника» при фиксированной единице измерения площадей является множество многоугольников плоскости. Область значений этой функции ‒ множество неотрицательных чисел (площадь 0 имеют «вырожденные» многоугольники, например отрезок).
  Движение (так же как и преобразование подобия), переводящее фигуру 𝐹 в фигуру 𝐹ʹ, также является отображением, его область определения 𝐹 и область значений 𝐹ʹ состоят из точек.
  Понятие отображение часто относят к числу основных понятий всей математики. С его помощью можно дать такое определение функции: функцией с областью определения 𝐷 и областью значений 𝐸 называется отображение множества 𝐷 на множество 𝐸, при котором каждому элементу множества 𝐷 соответствует один вполне определённый элемент множества 𝐸 и каждый элемент множества 𝐸 поставлен в соответствие некоторому (хотя бы одному) элементу множества 𝐷.