Презентация по математике на тему "погрешности" для 1 курса

• 1 слайд

  Приближенные
  вычисления
  Составил преподаватель математики первой категории Ильина И.А.
  

• 2 слайд

  Цели урока:
  Изучить понятия «абсолютная погрешность», «относительная погрешность»
  Научиться вычислять погрешности
  

• 3 слайд

  вспомним
  
  Что называется модулем числа?
  

• 4 слайд

• 5 слайд

  Определите, чему равен модуль разности:
  
  5 и 3, 7
  -9, 5 и 9;
  

• 6 слайд

  Вспомним правило
  
  округления чисел
  

• 7 слайд

  Правило округления.
  
  При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая оставшаяся за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.
  

• 8 слайд

  
  Округлите
  2,635; – до десятых, сотых.
  
  
  10,781 – до десятых, сотых.
  

• 9 слайд

  Ответ
  
  2,6 и 2,64
  
  10,8 и 10,78
  

• 10 слайд

  При округлении десятичных дробей до десятых, до сотых, до тысячных и т.д. получаются приближенные значения с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.
  

• 11 слайд

  Если х=1,5 то у≈2,3
  Если х=2,1 то у≈4,4
  у=х²
  

• 12 слайд

  По формуле у= х² найдем точные значения этой функции:
  Если х=1,5
  Если х=2,1
  то у=1,5² =2,25
  
  то у=2,1² =4,41
  

• 13 слайд

  На сколько отличается приближенное значение от точного?
  2,3-2,25=0,05
  
  
  4,41-4,4=0,01
  

• 14 слайд

  Вывод: Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа, вычесть меньшее.
  Надо найти модуль разности точного и приближенного значения. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.
  

• 15 слайд

  Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений.
  

• 16 слайд

  А относительная погрешность оценивает качество измерения и
  выражается в процентах.
  

• 17 слайд

  Если х ≈ α, где х – точное значение, а α – приближенное,
  то абсолютная погрешность будет равна │х – α │,
  а относительная:
  │х – α │∕ │α│, умноженное на 100%
  

• 18 слайд

  Рассмотрим примеры на
  вычисление погрешностей.
  

• 19 слайд

  1 2
  1
  2
  3
  4
  Выполните упражнение:
  При х=1,2
  у≈1,6
  При х=1,5
  у≈3,4
  По графику - приближенное значение
  По формуле – точное значение
  При х=1,2
  у=1,2³=1,728
  При х=1,5
  у=1,5³=3,375
  Чему равна абсолютная погрешность?
  \1,728-1,6\=\0,128\=0,128
  \3,375-3,4\=\0,025\=0,025
  у=х³
  

• 20 слайд

  Вычислим относительную погрешность этих приближений:
  
  
  0,128 : │1,6│= 0, 128 : 1,6 =
  0,08 = 8%
  0,025 : │3,4│= 0, 025:3,4 = 0,007 = 0,7%
  

• 21 слайд

  Отчего зависит точность приближенного значения?
  

• 22 слайд

  Она зависит от многих причин. Если приближенное значение получено при измерении, то его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение. Никакое измерение не может быть выполнено совершенно точно. Даже сами меры заключают в себе погрешность. Изготовить совершенно точные метровые линейки, килограммовую гирю, литровую кружку чрезвычайно трудно и закон допускает при изготовлении некоторую погрешность.
  

• 23 слайд

  0 1 2 3
  А
  В
  Цена деления линейки 0,1 см
  \АВ-4,3\≥0,1
  

• 24 слайд

  Например, при изготовлении метровой линейки допускается погрешность 1мм. Само измерение тоже вводит неточность, погрешность в гирях, весах. Например на линейке, которой мы пользуемся, нанесены деления через 1мм, т.е. 0,1см, значит точность измерения этой линейкой до 0,1 ( ≤ 0,1). На медицинском термометре деления через 0,10 , значит точность до 0,1 ( ≤ 0,1). На весах деления нанесены через 200г, значит точность до 200 ( ≤ 200).
  
  Округляя десятичную дробь до десятых точность будет до 0,1 ( ≤ 0,1); до сотых – точность до 0,01 ( ≤ 0,01).
  Точнейшие в мире измерения производятся в лабораториях Института мер.
  

• 25 слайд

  Всегда ли можно найти абсолютную и относительную погрешности?
  
  
  

• 26 слайд

  Не всегда можно найти абсолютную погрешность, так как неизвестно
  точное значение величины, а отсюда и относительную погрешность.
  В этом случае принято считать что абсолютная погрешность не превосходит цены деления шкалы прибора. Т.е. если например цена деления линейки 1мм = 0,1см, то абсолютная погрешность будет с точностью до 0,1 ( ≤ 0,1) и будет определена только оценка относительной погрешности (т.е. ≤ какому числу %).
  

• 27 слайд

  Если х≈а абсолютная погрешность этого приближенного значения не превосходит некоторого числа h, то число а называют приближенным значением х с точностью до h.
  х≈а с точностью до h.
  

• 28 слайд

• 29 слайд

  Задача.
  Найдем относительную погрешность при измерении длины листа тетради линейками: одна – с точностью до 0,1см (деления через 0,1см); вторая - с точностью до 1см (деления через 1см).
  ℓ1 = 20,4см ℓ2 = 20,2см
  0,1 : 20,4 = 0,0049 = 0,49% 1 : 20,2 = 0,0495 = 4,95%
  
  

• 30 слайд

  Говорят, относительная погрешность в первом случае до 0,49%(т.е ≤ 0,49%), во втором случае до 4,95% (т.е. ≤ 4,95%).
  В первом случае точность измерения выше.
  Мы говорим не о величине
  относительной погрешности, а ее оценке.
  

• 31 слайд

  Найдите абсолютную и относительную погрешности, полученные в результате округления
  а) до десятых 6,56; 0,475; 3,671
  б) до десятков 124; 361; 720
  

• 32 слайд

  На производстве при изготовлении деталей мы пользуемся
  штангенциркулем (для измерения глубины; диаметра: наружного и внутреннего).
  Абсолютная погрешность при измерении этим прибором составляет точность до 0,1мм. Найдем оценку относительной погрешности при измерении штангенциркулем:
  d = 9,86см = 98,6мм
  0,1 : │98,6│= 0,1 : 98,6 = 0,001 = 0,1%
  

• 33 слайд

  Относительная погрешность с точностью до 0,1% (т.е. ≤ 0,1%).
  Если сравнить с предыдущими двумя измерениями, то получается точность измерения выше.
  

• 34 слайд

  Из практических примеров можно сделать вывод, что точных значений быть не может, при условии, что измерения проводят в обычных условиях.
  Но чтобы точнее выполнить измерение нужно взять измерительный прибор цена деления которого как можно меньше.
  

• 35 слайд

  Задача
  При измерении длины стержня пользовались линейкой, штангенциркулем, микрометром. При этом были получены результаты 17,9 мм; 18 мм; 17,88 мм. Каким прибором измеряли?
  
  

• 36 слайд

  Задача
  Найдите абсолютную погрешность, полученную в результате округления
  а) до десятых 6,56; 0,475; 3,671
  б) до десятков 124; 361; 720
  

• 37 слайд

  какие из значений величин точные и какие приближенные?
  Толщина книги 25 мм
  Температура воздуха 18*
  В самолете 122 пассажира
  Скорость звука в воздухе 322 м/с
  Масса дыни 3,5 кг
  Стоимость ручки 5 руб.
  В тетради начерчен угол 50*
  Рекорд соревнований в беге на 1500м равнялся 3мин 56с
  Точные
  Приближенные
  

• 38 слайд

  Найдите абсолютную погрешность
  286≈290
  0,35≈0,4
  6912≈6900
  4
  0,4
  0,04
  0,05
  0,01
  0,1
  0,1
  12
  2
  

• 39 слайд

  Какова точность измерения?
  А)длина отрезка линейкой с миллиметровой шкалой
  Б)температура с помощью термометра, штрихи на шкале которого нанесены через 0,5*
  В)масса на бытовых весах, цена деления шкалы которых равна 20г
  Г)промежутков времени часами с секундной стрелкой
  Д)градусной меры угла с помощью транспортира
  Е)Объёма жидкости с помощью мензурки, цена деления которой 2мл
  

• 40 слайд

  
  
  
  Приближенное значение величины равно числу
  17. Точность приближения до 0,5.Может
  ли точное значение величины быть равным:
  17,2
  16,9
  16,4
  17,5
  18
  Да
  Нет
  

• 41 слайд

  Домашнее задание
  1. При вычислении дробь    заменили
  
  десятичной дробью 0,5. Какова абсолютная и относительная погрешность этого приближения?
  
  2. Найдите с помощью графика функции y=x2 значение y при x =2,4.Вычислите погрешности полученного приближенного значения.
  

• 42 слайд

  Подведение итогов урока
  Сформулируйте определение абсолютной погрешности.
  Если нельзя найти абсолютную погрешность, каким понятием пользуются?
  Чему равна точность измерения?
  Приведите примеры точности измерения некоторых приборов.
  Для чего используется относительная погрешность?
  Что такое относительная погрешность?
  

• 43 слайд

  Викторина
  Какие из измерений являются точными, а какие приближенными?
  1. В классе 36 учеников
  2. В рабочем поселке 1000 жителей
  3. Железнодорожный рельс имеет длину 50 м
  4. Рабочий получил в кассе 10 тысяч рублей
  5. В самолете ЯК – 40 120 пассажирских мест
  6. Расстояние между Москвой и Санкт – Петербургом 650 км
  7. В килограмме пшеницы содержится 30000 зерен
  8.Расстояние от Земли до Солнца 1,5 ∙ 108 км
  9. Один из школьников на вопрос о том, сколько учащихся учится в школе, ответил: «1000», а другой ответил «950». Чей ответ точнее, если в школе учится 986 учащихся?
  10. Буханка хлеба весит 1 кг и стоит 2500 р.
  11. Тетрадь в 12 листов стоит 600 р. и имеет толщину 3 мм
  
  
  

• 44 слайд

  
  
  
  
  
  Спасибо за внимание 