Презентация по математике на тему "Производная и первообразная" (10-11 класс)

• 1 слайд

  Подготовка к ЕГЭ-2015
  по математике
  «Применение производной и первообразной»
  прототипы из открытого банка заданий ЕГЭ
  
  Презентацию составила Дьяур А. В., учитель математики ГБОУ СОШ №69 им.Б.Ш.Окуджавы
  г. Москвы
  

• 2 слайд

  Немного теории.
  Производная
  и её применение для исследования функции
  

• 3 слайд

  х
  y
  0
  
  
  
  k – угловой коэффициент прямой(секущей)
  Касательная
  Секущая
  Обозначение:
  Опредление производной функции в данной точке.
  

• 4 слайд

  Угловой коэффициент прямой.
  Прямая проходит через начало
  координат и точку Р(3; -1). Чему
  равен ее угловой коэффициент?
  y=kx+b
  y=kx
  

• 5 слайд

  х
  y
  0
  
  
  
  
  k – угловой коэффициент прямой(секущей)
  Секущая стремится занять положение касательной. То есть, касательная есть предельное положение секущей.
  Касательная
  Секущая
  1. Геометрический смысл производной.
  Р
  Р1
  

• 6 слайд

  х
  y
  0
  
  
  
  
  k – угловой коэффициент прямой (касательной)
  Касательная
  Геометрический смысл производной
  Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
  

• 7 слайд

  Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точке t – это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она изменяется, в точку t или в символической записи
  2. Механический смысл производной.
  Производная
  - это скорость
  

• 8 слайд

  .
  Δх – перемещение тела
  Δt – промежуток времени
  в течение которого выполнялось
  движение
  2. Механический смысл производной.
  

• 9 слайд

  Прототип B8 № 27485
  Прямая y=7x-5  параллельна касательной к графику функции y=x²+6x-8 . Найдите абсциссу точки касания.
  Решeние:
  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой  их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения y´=7 :
  (x²+6x-8)´=7; 2x+6=7; x=0,5
  Ответ: 0,5.
  
  

• 10 слайд

  Прототип B8 № 27487
  На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
  
  Решeние:
  Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,6; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.
  Ответ: 4.
  
  

• 11 слайд

  Прототип B8 № 27489
  На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.
  
  Решeние:
  Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.
  Ответ: 4.
  
  

• 12 слайд

  Прототип B8 № 27490
  На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
  
  Решeние:
  Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.
  Ответ: 44.
  
  

• 13 слайд

  Прототип B8 № 27496
  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
  Решeние:
  Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной — изображенным на графике нулем производной. Производная обращается в нуль в точках −6, −2, 2, 6, 9. На отрезке [−10; 10] функция имеет 5 точек экстремума.
  Ответ: 5.
  
  

• 14 слайд

  Прототип B8 № 27491
  На рисунке изображен график производной функции  , определенной на интервале  . В какой точке отрезка    функция    принимает наибольшее значение?
  Решeние:
  На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.
  Ответ: −3.
  
  

• 15 слайд

  Прототип B8 № 27497
  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
  Решeние:
  Промежутки возрастания данной
  функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (−7; −5,5), (−2,5; 4). Данные интервалы содержат целые точки –6, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна –3.
  Ответ: –3.
  

• 16 слайд

  Прототип B8 № 27501
  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x−11 или совпадает с ней.
  
  Решeние:
  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x−11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y'(x0) = −2, геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.
  Ответ: 5.
  

• 17 слайд

  Прототип B8 № 27503
  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
  Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
  Решeние:
  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB
  
  
  
  Ответ: 2.
  
  
  

• 18 слайд

  Прототип B8 № 27504
  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
  
  Решeние:
  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому
  Ответ: 0,25.
  
  
  

• 19 слайд

  Прототип B8 № 27505
  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
  
  
  
  
  
  
  
  Решeние:
  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точкахA (−2; −9), B (−2; −3),C (−5; −3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Поэтому
  
  Ответ: -2.
  
  
  

• 20 слайд

  Прототип B8 № 40129
  На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f'(8).
  Решeние:
  Поскольку касательная проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид y = kx. Эта прямая проходит через точку (8; 10), поэтому k = 1,25. Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем: f'(8) = 1,25.
  Ответ: 1,25.
  
  
  

• 21 слайд

  Прототип B8 № 40131
  На рисунке изображен график производной функции  f(x) . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику  y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
  
  
  
  
  Решeние:
  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, она имеет вид  y=b, и её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Поэтому искомая точка  x=-3
  ответ: -3.
  

• 22 слайд

  Прототип B8 № 501541
  На рисунке изображен график функции  , определенной на интервале (−1;12). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
  y=-12  .
  
  
  Решeние:
  
  Поскольку касательная параллельна прямой  y=-12, её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, необходимо найти точки, в которых угловой коэффициент касательной, равен нулю. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поэтому необходимо найти точки, в которых производная равна нулю. Это точки экстремума, их 7.
  Ответ: 7.
  

• 23 слайд

  Прототип B8 № 119971
  На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
  
  
  
  
  
  Решeние:
  Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов: −4,7; 1,4; 2,6 и 4,2. Производная равна нулю в 4 точках.
  Ответ: 4.
  
  

• 24 слайд

  Прототип B8 № 500954
  Материальная точка М начинает движение из точки А и движется по прямой на протяжении 11 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки Адо точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат − расстояние s в метрах. Определите, сколько раз точка М меняла направление движения.
  
  Решeние:
  В момент времени, когда точка меняет направление движения, ее мгновенная скорость равна нулю. Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции s(t). Точек экстремума на графике 8.
  Ответ: 8.
  

• 25 слайд

  Прототип B8 № 119975
  Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=6t²-48t+17  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах,  t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.
  Решeние:
  Найдем закон изменения скорости:
  V(t)=x´(t)=12t-48
  При t = 9 c имеем:
  V(9)=12*9-48=60 м/с.
  Ответ: 60.
  
  

• 26 слайд

  Прототип B8 № 119978
  Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t²-13t+23 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
  Решeние:
  Найдем закон изменения скорости: v(t)=x´(t)=2t-13м/с. Чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, решим уравнение: 2t-13=3;
  2t=16; t=8c.
   
  Ответ: 8.
  

• 27 слайд

  Прототип B8 № 317539
  На рисунке изображён график функции y=f(x)   и восемь точек на оси абсцисс:  x₁;x₂; x₃;…; x₈. В скольких из этих точек производная функции   положительна?
  
  
  Решeние:
  
  Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция y=f(x) возрастает. На них лежат точки  x₁;x₂; x₅; x₆; x₇. Таких точек 5.
  Ответ:5.
  
  
  

• 28 слайд

  Прототип B8 № 500035
  На рисунке изображены график функции  y=f(x)  и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции y=f(x)    в точке  x₀.
  
  
  Решение:
  Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках  A(5;8), B(5;-2) и C(0;-2). Угол ACB равен углу наклона касательной. Его тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
  
  Ответ: 2.
  

• 29 слайд

  Прототип B8 № 317540
  На рисунке изображён график функции  и двенадцать точек на оси абсцисс: x₁;x₂; x₃;…; x₁₂ В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
  
  Решeние:
  Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция f(x) убывает. В этих интервалах лежат точки  x₄; x₅; x₆; x₇; x₈; x₁₁; x₁₂. Таких точек 7.
  Ответ:7.
  

• 30 слайд

  Прототип B8 № 317543
  На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
  Решeние:
  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная положительна в точках −2 и 2. Угол наклона (и его тангенс) явно больше в точке −2.
  Ответ:−2.
  

• 31 слайд

  Прототип B8 № 317544
  На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
  Решeние:
  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.
  Ответ:4.
  

• 32 слайд

  Немного теории.
  Первообразная, интеграл
  и их применение
  

• 33 слайд

  Обозначения:
  ПЕРВООБРАЗНАЯ
  Функция F называется первообразной для функции f, если выполняется условие
  

• 34 слайд

  Совокупность всех первообразных F(x)+c
  для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается
  НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  где f(x) – подинтегральная функция,
  f(x)dx – подинтегральное выражение (дифференциал),
  с – постоянная интегрирования.
  

• 35 слайд

  a
  b
  х=а
  x=b
  0
  y = f(x)
  Х
  У
  Криволинейная трапеция
  Отрезок [a;b] называют основанием
  этой криволинейной трапеции
  Криволинейной трапецией называется фигура,
  ограниченная графиком непрерывной и не меняющей
  на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми
  х=а, x=b и отрезком [а;b].
  

• 36 слайд

  Площадь криволинейной трапеции.
  где F(x) – любая первообразная функции f(x).
  

• 37 слайд

  Формула Ньютона-Лейбница
  1643—1727
  1646—1716
  

• 38 слайд

  Прототип B8 № 323077
  На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2;4].
  
  Решeние:
  По определению первообразной на интервале
  (−3; 5) справедливо равенство: f(x)=F´(x)
  Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x). Это точки −2,6; −2,2; −1,2; −0,5; 0; 0,4; 0,8; 1,2; 2,2; 2,8; 3,4; 3,8. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек. Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение f(x)=0  имеет 10 решений.
  Ответ:10.
  

• 39 слайд

  Прототип B8 № 323078
  На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2), где F(x)—одна из первообразных функцииf(x).
  Решение:
  Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции ABCD.  Поэтому
  F(b)-F(a)=(1+6)/2*2=7
  Ответ:7.
  
  

• 40 слайд

  Прототип B8 № 323080
  На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x)  . Функция F(x)=-3x³-27x²-240x-8 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
  Решeние:
  Найдем формулу, задающую функцию  f(x), график которой изображён на рисунке.
  
  Следовательно, график функции f(x) получен сдвигом графика функции y=3-3x² на 9 единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции y=3-3x²  и отрезком   оси абсцисс. Имеем:
  
  
  
  Ответ: 4.
  

• 41 слайд